三角函数的性质

一、选择题1.已知。>0,若函数f(x)二4sin臀·。os等在区 “间〔一粤,平〕上单调递增,则。的取值范围是( J斗3一2 nU B.A.(0令〕是(C·〔号,+co)D.〔1,+co)2.函数y=cos3x+sinzx一。x(x〔R)的最大值 ). 10.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x任R,都有f(二+T)=Tj(x)成立.若函数f(x)=。in、任M,则实数。的取值范围是 1‘若!鲡登!<2,则使f(二)一sin(二+。)+cos(x一a)(x〔R)为偶函数的实数a的个数是 12.函数f(x)二}sinxl+51矿Zx+1 oxl的最大值是~8~4七云以万A扫C CC6,设阴=sinA+sinB+sinC,+cos琴,则m、。的…     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

如何由sinα+cosα的值判断α的范围

在直角坐标系xoy中,各象限的角平分线连同轴、y轴共八条射线,它们把直角坐标系分成八个区域,在各射线上标上相应的sinα+cosα的值,就可以很方便地判断出α的范围。如上图建立坐标系,设sinα+cosα=x,且α∈〔02π〕,A(1,1).〔结论1〕若1相似文献   

曲线切线的导数求解法及其运用

众所周知,导数y′=f′(x0)的几何意义,是曲线y=f(x)以P(x0,f(x0))为切点所作切线的斜率.相对于传统知识而言,由导数所衍生出的"曲线的切线     

"逆"思维应用例举

“逆“是数学中的一个重要概念.设由A则B为“正向“,那么由B则A就为“逆向“,由此给出了一连串可逆的知识.例如:逆运算,逆命题、逆定理、逆对应、逆证法、逆推理等.……     

函数问题中的周期条件与对称条件

1问题定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 1) =-f(x),且在\[-3,-2\]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,则( ) A．f(sinα)＞f(cosβ) B．f(sinβ)＜f(cosα) C．f(sinα)＞f(sinβ) D．f(cosα)＜f(cosβ)分析问题：最后是要比较大小,显然要应用函数的单调性,而对于sinα、cosα、sinβ、cosβ来说,其所在区间     

读者·作者与编者——一类复合函数的讨论

最近,收到好几位老师的来稿,就如下一类复合函数问题提出了各自的看法,这些问题是: 1.已知f(cos x)=cos 17x,求证f(sin x)=sin 17x. (选自<中学数学月刊>) 2.若f(sin x)=sin 2x,求f(cos 105°). (选自<数学通讯>) 3.已知f(tan x)=sin x,求f(cot x). (选自<数学通报>)等等.     

函数f(x)=│sinx│+│cosx│的最小正周期的求法

在高中数学教学中,对于函数f(x)=sin x cosx的最小正周期的求法,总避开不提.问题的提法,多以选择题或是证明题的形式出现.如求证:f(x)=sin x cosx的最小正周期是2π.解题过程很简单:证明∵对任意的x∈R,都有f(x π2)=sin(x π2) cos(x π2)=cos x ?sin x=f(x).∴T=π2是函数f(x)=sin x cosx的周期.假设存在0相似文献   

向量考题的三个交汇点

向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面举例说明向量与三角函数、解析几何、立体几何的交汇 .一、向量与三角函数的交汇例 1　已知 ,a=cos32 x ,sin32 x ,b=cos x2 ,-sin x2 且x∈ 0 ,π2 .( 1)求a·b及 ｜a +b｜ ;( 2 )求函数 f(x) =a·b -4 ｜a +b｜的最小值 .解　 ( 1)按向量运算的意义 ,有a·b=cos32 xcosx2 +sin 32 x　· -sin x2=cos 32 x +x2=cos 2x .a+b =cos32 x+cos x2 ,sin32 x-sin x2 ,｜a +b｜ =cos32 …     

巧用对称思想解题

中学数学中有些问题,直接解答往往受阻,如果能恰当地运用对称思想,可使问题容易解决,同时也给人以美的享受.本文通过几例,介绍它在解题中的几种巧用.一、解三角问题例1.求cosπ7cos2π7cos3π7的值.解:设x=cosπ7cos2π7cos3π7,y=sinπ7sin2π7sin3π7,则xy=18sin2π7sin4π7sin6π7=18sinπ7sin2π7sin3π7=18y.∵y≠0,∴x=18,即cosπ7cos2π7cos3π7=18.点评:这类三角问题常见,若用常规解法难而繁,这里我们挖掘问题潜在的对称性,构造出对称式,使问题得以轻松解决.二、解复数问题例2.已知z∈C,解方程zz-3iz=1+3i.〔1992年高考(理)题24〕…     

“三角函数的图象和性质”单元测评题

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,以下k任Z) 1.y“了eos(sinx)的定义域是(),函数,一in音二的图象、,)。.A·[Zk二一晋,Zk二+合〕“·〔Zk‘,“k”+合,C.〔Zk二,Zk二+兀〕D.(一~,+co)2.f(x)=万。05(3x一夕)一sin(3x一。)是奇函数,则 ).A.向右平移晋’,“”渗询矫移晋c.向右平移誓,‘。;‘D·,向~警6.函数f(x)一sin(毗一的以2为最小正周期,且能在x一2是().则0的一个值口~‘言‘A.k兀B.k二+粤 bC.k7t一粤 JD.k二+粤 J 3才、.一,厂沉 几一5廿。一气~筑 4 “·在〔晋是().〕上与函数y一cos(x一们的图象相同的函数 7.。是正实…     

求函数解析式八法

一、配凑法形如f[g(x)]=F(x),可以从F(x)中凑出g(x),然后再直接把g(x)换成x即可.例1 (2006年全国卷二)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x C.3 cos2x D.3 sin2x解(解法一)f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=3-cos2(π/2-x)= 3-cos(π-2x)=3 cos2x.选C.     

高一数学综合检测

一、选择题1.设sinα=-35,cosα=54,那么下列的点在角α的终边上的是().A.(-3,4)B.(-4,3)C.(4,-3)D.(3,4)2.下列四组函数f(x)与g(x),表示同一个函数的是().A.f(x)=sinx,g(x)=xsxinxB.f(x)=sinx,g(x)=1-cos2xC.f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2xD.f(x)=1,g(x)=tanxcotx3.tanx+tany=0是tan(x+y)=0的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到y=sin2x-π3的图象,只需将y=sin2x的图象().A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π5.若α、β∈0,π2,则().A.cos(α+β)>cosα+cosβB.cos(α+β)>s…     

一个三角恒等式的浅显证明

文 [1]中给出如下问题 :设 sin4xa +cos4xb =1a+b,a>0 ,b>0 ,证明 :对任意正整数 n,都有 sin2 nan-1 +cos2 nxbn-1 =1(a+b) n-1 .文 [1]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .文 [2 ]通过构造椭圆及其切线来证明 .上述两种方法思维要求比较高 ,不易想到 .其实本题直接应用三角式的变形 ,简捷浅显 ,以下给出上述问题简证 .证明　由 sin4xa +cos4xb =1a+b,得 a+ba sin4x+a+bb cos4x=1,即 basin4x+abcos4x+sin4x+cos4x=1.又 sin4x +cos4x =(sin2 x +cos2 x ) 2 -2 sin2 xcos2 x=1- 2 sin2 xcos2 x,则 ba…     

2004年高考数学试题（全国卷）：基本解法与巧思妙解（续一）

河南、河北、安徽、江西、山东、山西等地使用　　三、解答题 :本大题共 6小题 ,共 74分理 ( 1 7) [文 ( 1 8) ]求函数 f (x ) =sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x2 -sin 2x 的最小正周期、最大值和最小值 .基本解法 :f(x)=(sin2 x cos2 x) 2 -sin2 xcos2 x2 -2sinxcosx=1 -sin2 xcos2 x2 ( 1 -sinxcosx)=12 ( 1 sinxcosx) =14sin 2x 12 .所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是 34,最小值是 14.巧思妙解 :解法 1 (河北 /王双记　安徽 /章腊华　李永革　山东 /董林 )f(x) =sin4 x cos2 x(cos2 x sin2 x)2 -2sinxcosx=sin4 x cos2 x2 ( 1…     

关于一个三角不等式的证明

《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2)     

刍议三角函数教学中的错题

1 利用"错题"展现,促使数学概念的正确建构 错题1 已知f(sinx)=sin2x,则f(cosx)等于( ). A.sin2x B.-sin2x C.±sin2x D.cos2x     

一道三角题的证法探究

【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此…     

求曲线切线时的一点注意

曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,本文对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析.已知曲线C:y=2x-x3,求过点A(1,1)的切线方程.(2005年全国高考卷Ⅲ文科15题改编)误解:显然点A(1,1)在曲线C:y=2x-x3上,f′(x)=2-3x2∴f′(1)=-1∴过点(1,1)的切线方程为:y-1=-1(x-1),即y=-x 2解析:由于点A(1,1)恰好在曲线y=f(x)上,因此容易得到一条切线方程,即以点A为切点的切线.但本题求的是“经过点A的切线”,而不是“在点A处的切线”,因而不排除有其他切线经过A.因此本题切线应有两条,一条以点A为切点,另一条不以点A为切点但…     

数学(文史类)试题答案

一、选择题 :( 1)～ ( 12 ) . DBDAB CA DBB DC.二、填空题 :( 13) - 2 .　 ( 14 ) 6 .　 ( 15) y - 4x + 4=0 .　 ( 16 ) 4 .三、解答题( 17)本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能 ,考查运算能力 .解 :y =sin4 x + 2 3sinxcosx - cos4 x =( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x - cos2 x) + 3sin2 x =3sin2 x - cos2 x =2 sin( 2 x - π6 ) .故该函数的最小正周期是π,最小值是 - 2 ;单增区间是 [0 ,13π] ,[5π6 ,π] .( 18)本小题主要考查互斥事件、独立事件和独立重复试验中的概率计算 ,以及运用概率知识解决实际问题的能…