看谁解法多

题 1　已知 14(ｂ -ｃ) 2 =(ａ -ｂ) (ｃ -ａ) ,且ａ≠0 ,则 ｂ+ｃａ =.解法 1(配方法 )由已知 ,得 (ｂ -ｃ) 2 - 4(ａ -ｂ) (ｃ-ａ) =0 .配方 ,得 (ｂ +ｃ) 2 - 4ａ(ｂ+ｃ) +4ａ2 =0 .∴　 (ｂ +ｃ- 2ａ) 2 =0 .∴　ｂ +ｃ=2ａ ,即ｂ +ｃａ =2 . (安徽　李庆社提供 )题 2 　在△ＡＢＣ中 ,有一内角为 36° ,过顶点Ａ的直线ＡＤ把这个三角形分成两个等腰三角形 ,试画出满足上述条件的△ＡＢＣ .想一想 ,你能画出几个满足条件的三角形 ?图 1　　解法 1　如图 1所示 .(四川　侯国兴提供 )题 3　甲、乙两种化合物只含Ｘ、Ｙ两种元素 ,甲、乙中…     

概率积分公式的推广

定理 1　设ｘ为实变量 ,ａ、ｂ为实数 (ａ≥ 0 ,且ａ、ｂ不同时为零 ) ,则下列公式成立 :　　∫+∞0 ｅ (ａ+ｂｉ)ｘ2 ｄｘ =12πａ2 +ｂ2ａ +ａ2 +ｂ22 ｂｉ2 ａ+ａ2 +ｂ22(1)证明 :图 1(ｂ<0 )　　　　　图 2 (ｂ >0 )由于ｅ (ａ+ｂｉ)Ｚ2 为复平面上的解析函数 ,取图1(当ｂ <0时 )或图 2 (当ｂ>0时 )的闭曲线ｌ,按柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)积分定理 ,有∮ｌｅ (ａ+ｂｉ)Ｚ2 ｄＺ =0设Ａ =ａ +ａ2 +ｂ22 ,　Ｂ =ｂ2Ａ =ｂ2 ａ+ａ2 +ｂ22,则Ｃ-3 :Ｚ=(Ａ Ｂｉ)ｔ　 (0≤ｔ≤ ＲＡ) ,这里Ｃ-3 的方向与Ｃ3 的方向相反 ,ｔ为实参数 ,不难求得Ｚ2…     

例析教师教学用书中习题解答的失误

人民教育出版社中学教学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修》数学第二册(上 )》的教师教学用书 ,是广大中学数学教师的重要工具书 ,可笔者在使用该书的过程中 ,发现有的习题的解答欠妥 ,现例举之以与作者及读者共同商讨 .例 1　方程ｘ2 + ｙ2 + 2ａｘ-ｂ =0表示什么图形 (教科书Ｐ79页练习第 1题 ( 3)题 )教师教学用书Ｐ50 页 ,给出的答案是以 ( -ａ ,0 )为圆心 ,ａ2 +ｂ2 为半径的圆 .剖析 :　笔者认为此答案欠妥 ,因为ｘ2 +ｙ2 +2ａｘ -ｂ =0 ,配方可化为 (ｘ+ａ) 2 + ｙ2 =ａ2 +ｂ2 ,而ａ2 +ｂ2 ≥ 0 ,当ａ2 +ｂ2 =…     

例谈初中数学竞赛题的常用解题策略

数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1　特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1　若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 (　　 )(Ａ) - 1　　 (Ｂ) 0　　 (Ｃ) 1　　 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析　设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2　若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1　设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号.　　证明　设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ…     

一类函数问题的简解

1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛 ,高二第一试的选择题第 1 0题 ,让人颇费脑筋 ,原题是这样的 :题目 :设ｆ(ｘ) =ｘ3 -3ｘ2 6ｘ -6,且ｆ(ａ) =1 ,ｆ(ｂ) =-5 ,则ａ ｂ =(　　 ) .Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .2与之类似的有以下两个题 :1 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 ｘ 1 ,且 ｆ(ａ) =-2 ,ｆ(ｂ) =4,则ａ ｂ =(　　 ) .Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .22 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 -6ｘ2 1 2ｘ -7,且 ｆ(ａ ｂ) =9,ｆ(ａ -ｂ) =-7,则ａ =(　 )Ａ .-2　　Ｂ .0　　Ｃ .1　　Ｄ .2以上题目都是关于ｘ的三次函数 ,初看起来 ,上面的题好像容易解…     

一道解析几何题的多种解法

题目 :已知直线ｌ过点Ｍ( 3,2 )且与ｘ轴正半轴、ｙ轴正半轴交于点Ａ、点Ｂ .当△ＡＯＢ面积最小时 ,求直线ｌ的方程 .解法 1:设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ( 0 ,ｂ) (ａ >0 ,ｂ >0 ) ,易知ａ >3,直线ｌ的截距式方程为ｘａ + ｙｂ =1,以点 ( 3,2 )代入得 3ａ + 2ｂ=1,于是ｂ =2ａａ - 3.Ｓ△ＡＯＢ=12 ａｂ=12 ·ａ·2ａａ - 3=ａ2ａ - 3=ａ2 - 9+ 9ａ - 3=ａ + 3+ 9ａ - 3=ａ - 3+ 9ａ - 3+ 6≥ 2 (ａ - 3)· 9ａ - 3+ 6 =12 .当且仅当ａ - 3=9ａ - 3且ａ >3,即ａ =6时取等号 ,此时ｂ =4 ,直线ｌ的方程为 ｘ6 +ｙ4 =1.解法 2 :同上…… 1=3ａ + 2ｂ ≥ …     

关于新教材一个习题的思考

人民教育出版社编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订 )·数学 (第一册上 )》第 89页习题2 .8第 4题已知 :ｆ(ｘ) =ｌｇ1-ｘ1+ｘ,ａ ,ｂ ∈ ( - 1,1) ,求证 :ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) =ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ) .教学之余 ,留有如下思考 ,愿与同仁共同探究 1　编选意图降低了题目自身的要求该题设问内容包含两层意思 :其一是隐含意 ,在已知条件ｆ(ｘ) =ｌｇ1-ｘ1+ｘ,ａ、ｂ∈ ( - 1,1)下 ,ｆ(ａ)、ｆ(ｂ)、ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ)都有意义 ,其二是 ｆ(ａ)、ｆ(ｂ)、ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ)在数值上满足 ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) =ｆ( ａ +ｂ1+ａｂ) .现给出第一种证…     

2001年全国初中数学联赛试题

一、选择题 (本题满分 4 2分 ,每小题 7分 )1 ａ、ｂ、ｃ为有理数 ,且等式ａ +ｂ 2 +ｃ 3=5 + 2 6成立 ,则 2ａ + 999ｂ + 10 0 1ｃ的值是(　　 ) .(Ａ) 1999　　　　 (Ｂ) 2 0 0 0　　　　 (Ｃ) 2 0 0 1　　　　 (Ｄ)不能确定2 若ａ·ｂ≠ 1,且有 5ａ2 + 2 0 0 1ａ + 9=0及 9ｂ2 + 2 0 0 1ｂ + 5 =0 ,则 ａｂ的值是 (　　 ) .(Ａ) 95 (Ｂ) 59(Ｃ) - 2 0 0 15 (Ｄ) - 2 0 0 193 在△ＡＢＣ中 ,若已知∠ＡＣＢ =90° ,∠ＡＢＣ =15°,ＢＣ =1,则ＡＣ的长为 (　　 ) .(Ａ) 2 + 3(Ｂ) 2 - 3(Ｃ) 0 3(Ｄ) 3- 2图 14 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｄ是…