浅谈利用函数最值确定恒不等式中参数的范围

问题的提出:“已知对x∈D,F(x,k)≥g(k)恒成立,求实数k的取值范围”问题解决的思路之一:“函数最值法”。 一般地,对于函数f(x)=F(x,k)(其中x∈D是自变量,k为参数),若F(m,k)、F(M,k)分别是f(x)的最小值和最大值,那么在x∈D时F(x,k)≥g(k)恒成立的充要条件是F(m,k)≥g(k);F(x,k)≤g(k)恒成立的充要条件是F(M,k)≤g(k)。以下举例说明此结论的应用。例 1 若对x∈R,不等式-4≤cos2x+4sinx+     

求有条件的一次函数的最值

一般地说 ,一次函数y =kx +b不存在最大值或最小值 .但是 ,当给出了自变量x的取值范围这一特殊条件后 ,函数值y就可能有最值 .例如 ,一次函数y =kx+b ,x1≤x≤x2 .若k >0 ,如图 1 ,则y值随x的增大而增大 ,当x =x1时 ,y有最小值y1,当x =x2 时 ,y有最大值y2 ;若k <0 ,如图 2 ,则y值随x的增大而减小 ,当x =x1时 ,y有最大值y1,当x =x2 时 ,y有最小值y2 .图 1图 2例 1　已知关于x的方程x2 - 2x +k =0的实数根x1、x2 ,且y =x3 1+x3 2 .试问 :y是否有最大值或最小值 ?若有 ,试求出其值 ;若没有 ,请说明理由 .( 1 999,天津市中考题 )解 :由根与系数…     

一道三角问题的若干种解法

问题:求函数y=sin x cos x sin x cos x(x∈R)的最大值.解法1:y=sin x cos x sin x cosx2sin()1sin2=x π4 2x.当x π4=2kπ π2,即x=2kπ π4(k∈Z)时,2sin(x π/4)取得最大值2;当2x=2kπ π2,即x=kπ π4(k∈Z)时,sin2x/2取得最大值1/2;故当x=2kπ π/4(k∈Z)时,2sin(x π/4)     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

一个最值定理

本文给出一个求函数最值的定理,并举例说明它的应用。定理:函数f(x),g(x),有f~2(x) g~2(x)=A~2,(A>0的常数)。当x满足bf(x)=ag(x)(a、b为常数)时,函数F(x)=af(x) bg(x)的绝对值|F(x)|取得最大值A(a~2 b~2)~(1/2)。证明:设     

由一道试题引出的圆锥曲线的一个性质

2006年福建省高三质检理科卷21题:如图,F是抛物线y2=4x的焦点,Q是准线与x轴的交点,直线l经过点Q.(1)直线l与抛物线有唯一公共点,求l的方程;(2)直线l与抛物线交于A、B两点.(I)记FA、FB的斜率分别为k1、k2,求k1+k2的值;(II)若点R在线段AB上,且满足AR AQRB=QB,求点R的轨迹方程.本题在(2)(I)中求k1+k2的值,其值恰好为0,这个结论在一般情况下能否成立?是否可以延伸?直线AB、FA、FB的斜率之间是否存在某种特定关系?本文结合巧妙的化“1”证法探究如下:A O x R y Q F B性质1设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,相应于焦点F的准线与x轴交…     

三角函数最值的几种求法

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…     

二次函数解析式的变式谈

二次函数的一般形式是:y=ax~2+bx+c(a≠0),经配方,得y=a(x+(b/2a))~2+(4ac-b~2)/4a,设b/2a=m,(4ac-b~2)/4a=k 变式一:y=a(x+m)~2+k(a≠0) 二次函数图象的顶点坐标是(-m,k),对称轴方程是x=-m,即当x=-m时,函数y取得最大值(a>0)或最小值(a<0),“最”值是k。 若抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴有交点(x_1,0)、(x_2,0)(x_1=x_2时相切),即方     

关于X的方程根的认识

x的一次方程与x的一元二次方程都是关于x的方程,区别只是x的一元二次方程多了一个隐含条件,如二次项系数不为零,然而这个不明显的条件,导致很多同学把关于x的方程的实根误认为是关于x的一元二次方程的实数根。为避免这种错误,特举几例加以说明。例1k为何值时,关于x的方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0有实数根?解:若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元二次方根,则k应满足:2(k+1)≠0△=(4k)2-4×2(k+1)·(2k-1)≥0kk≠≤1-1k≤1且k≠-1若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元一次方程,则有2(k+1)=0即k=-1·当k=-1时,原方程为-4x-3=0,方程有实数根x=-43,综合两种…     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

例谈判别式的应用

大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=…     

两类最值问题的探究

在学习了均值不等式(x+y/2)≥xy~(1/2),x>0,y>0之后,我们有下面的结论:(1)若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数),则x+y有最小值2 p,当且仅当x=y=p时取得.(2)若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数),则xy有最大值14s2,当且仅当x=y=12s时取得.这两个结论依均值不等式,易于证明.下面我们进一步讨论如下两个问题:问题1若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数)问xk+yl(k>0,l>0)有最小值吗?问题2若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数)问xkyl(k>0,l>0)有最大值吗?我们有如下结论:结论1若x>0,y>0,xy=p(p为大于0的常数),xk+yl(k>0,l>0)有最小值,即(xk+yl)min=(k+l)kpkklllk+11,当且仅当x=lkk1+lpkl+l取到最小值.结论2若x>0,y>0,x+y=s(s为大于0的常数),xkyl(k>0,l>0)有最大值,即(xkyl)max=sk+lkkll(k+l)k+l,当且仅当x=kk+sl取到最大值.下面我们以导数为工具证明这两个结论.引理[1](极值的第一充分条件)设f...     

利用判别式解题

一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献   

一道竞赛题的别解

20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理　　x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n…     

数学奥林匹克高中训练题(4)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.如果一个n面体中m个面是直角三角形,就说这个n面体的直度为mn.如果一个n(n≥4)面体的直度为1,棱数为k,那么,n与k应满足().(A)k=3n(B)k=23n(C)k=34n(D)k=2n图12.如图1,P为△ABC内一点,且满足AP=25AB+51AC.则△PBC的面积与△ABC的面积之比为().(A)21(B)32(C)53(D)523.设函数f(x)=2sinx+π4+2x2+x2x2+cosx的最大值为M,最小值为m.则M与m满足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=4图24.如图2,过双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P.若线…     

反比例函数y=k/x (k≠0)中k的几何意义

一、经典试题 例1 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.已知反比例函数产k/x(k＞0)的图像经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴,垂足为B,且△AOB的面积为1. (1)求k和m的值; (2)若点C(x,y)在反比例函数k/x的图像上,求当1≤x≤3时,函数值y的取值范围. 解:(1)∵点A(2,m)在反比例函数y=k/x(k＞0)的图像上,且△AOB的面积为1, ∴1/2×2×m=1,解m=1. ∴点A的坐标为(2,1),∴k=xy=2×1=2.     

2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛

第一试一、( 50分 )在锐角△ABC中 ,AD⊥BC ,D为垂足 ,DE⊥AC ,E为垂足 ,DF⊥AB ,F为垂足 .O为△ABC的外心 .求证 :( 1 )△AEF∽△ABC ;( 2 )AO⊥EF .二、( 50分 )给定代数式 -x3 +1 0 0x2 +x中的字母x只允许在正整数范围内取值 .当这个代数式的值达到最大值时 ,x的值等于多少 ?并证明你的结论     

求一类二元函数最值问题的解析方法

在中学数学中,有一类形如二元函数f(x,y)满足条件g(x,y)≥0(或g(x,g)>0,或g(x,y)=0)的最值问题。求此类二元函数的最值时,如巧用解析几何知识,并借助图形的直观形象,就会得到令人满意的解答。它的一般步骤是: (1) 令f(x,y)=k; (2) 求k的取值范围,使区域g(x,y)≥0(g(x,y)>0)或图象g(x,y)=0与f(x,y)=k的图象有公共点; (3) 从这个范围内求f(x,y)=k的最大、最小值。下面举例说明: [例1] 设x~2 y~2≤4,试求3y-4x的最大值和最小值。     

两类应用一次函数解经济型应用题

在各地中考试题中,出现了两类应用一次函数解经济型应用题,现归纳如下: 一、建立一个一次函数模型在一次函数y=kx+b(k≠0)中,设x取x1、x2时,y的对应值分别是y1,y2,当x1≤x≤x2时,函数图象是线段,函数有最值:(Ⅰ)若k>0,y随x的增大而增大,如图1,当x=x1时,y最小值=y1;当x=x2时,y最大值=y2.(Ⅱ)若k<0,y随x增大而减小,如图2.当x=x1时,y最大值=y1;当x=x2时,y最小值=y2.     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…