巧用|z|=1=(1/2)解题举

我们知道在复数中,|z|=1(?)z=1/z(z∈C),此式对有些复数题解法化较简便现举例说明如下: 例1 如果三个复数名z_1、z_2、z_3适合|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,求证:|z_1 z_2 z_3|=|(1/z_1) (1/z_2) (1/z_3)|.     

一道典型例题的妙用

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》（上册1996年3月第一版）第115页有这样一道典例:若|z_1|=3,|z_2|=5,|z_1-z_2|=7,求(z_1)/(z_2),粗看此题只不过是一道常见的复数计算题,但经仔细分析就会发现这是一道相当典型的综合复习题,可用复数的不同知识点进行求解,通过一题多解,有机地把复数知识网络串联,达到解决一道题,复习一系列知识点的目的。1 用于复习复数的代数形式的知识点 解法1 设z_1=a bi,z_2=c di（a,b,c,d∈R）∵|z_1-z_2|=7,∴（a-c）~2 （ b-d）~2=49,即a~2 b~2 c~2 d~2-2（ac bd）=49,而|z_1|=3, |z_2|=5, ∴a~2 b~2=9, C~2 d~2=25,可求得ac bd=-15/2（1）.又∵|z_1·z_2|=15,∴|(a bi)(c-di)|=15即（ac bd）~2 （bc-ad）~2=15~2（2）.     

一道复数题的多解与引申

题 已知复数z_1,z_2满足|z_1|=|z_2|=1,且z_1/z_2 z_1/z_2=0,求|z_1~2-z_2~2|的值.     

使用|Z_1 Z_2|≤|Z_1| |Z_2|时要注意等号成立条件

本刊1985年第四期刊登了《复数证明不等式初探》一文,该文能灵活运用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|进行解题,阅后得益非浅,但美中不足之处是在使用这个不等式时没有指出等号成立条件。从而学生在使用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|时存在盲目性。这正是我们教师应该指点之处。为了说明问题,我们将原文中例6,求证: (x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)≥17~(1/2)(原文题目有印错)改为: 例1:求函数y:(x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)的极小值。     

结构式x_1y_2-x_2y_1的几何意义及其应用

1 定理及推论 定理 在直角坐标系中,设;△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),且点O,A,B按逆时针方向排列,记∠AOB=θ(下同),那么x_1y_2-x_2y_1=2S△OAB=|为OA|·|OB|·sinθ. 证明 设直角坐标系中,以坐标原点O为顶点,射线O_x为始边,OA,OB为终边的角分别记为θ_1,θ_2,不妨设θ_1,θ_2∈[0,2π),记|OA|=r_1,|OB|=r_2,     

“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

构造数轴 巧妙解题

借助数轴可巧解有关问题,现举例如下.一、代数方面1.求最大值例1已知0≤a≤4,那么|a-2|+|3-a|的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解:此题即为在数轴上0≤a≤4的范围内,求出表示数a的点分别到表示数2和数3的点的两个距离之和的最大值.由图1可知,当a=0时,|a-2|=2,|3-a|=3,上述距离之和为最大,最大值为5.故选(B).2.求最小值例2已知x是有理数,则|x+29/251|+|x-100/221|的最小值是.解:构造数轴如图2,其中A、B两点分别表示数-29251和212010.根据绝对值的几何意义,|x+29251|+|x-212001|表示数轴上数x对应的点P到点A和点B的距离之和,易知当P在线段…     

|a|与a哪个大

设a为实数,|a|与a哪个大呢?初学者往往认为|a|>a.这是不对的.首先应了解什么叫做一个实数的绝对值.规定如下:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即|a|={a(a≥0)-a(a<0)如|3|=3,|0|=0,|-5|=5.所以,当a≥0时,|a|=a,只有当a<0时,才有|a|>a.我们还应了解,|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离.     

圆锥曲线的焦半径公式及应用

我们把连接圆锥曲线的焦点与曲线上任一点的连线段称为它们的焦半径,根据圆锥曲线的统一定义,很容易推导出圆锥曲线的焦半径公式．下面是用得较多的焦半径公式: (1)对于椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)而言．|PF1|=a ex0,|PF2|=a-ex0． (2)对于双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b> 0)而言,|PF1|=ex0 a,|PF2|=ex0-a. (3)对于抛物线y2=2px(p>0)而言, |PF|=x0 p/2.     

每期一题

题:若:a、b、c为正数,试求函数y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)的极小值。解法一复数法运用代数中学过的复数模不等式 |z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|。设 z_1=x+ai x_2=(c-x)+bi ∴|z_1|=(x~2+a~2)~(1/2) |z_2|=((c-x)~2+b~2)~(1/2) ∵|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| ∴y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| =|x+ai+c-x+bi| =|c+(a+b)i|=(c~2+(a+b)~2)~(1/2) ∴y_min=(c~2+(a+b)~2)~(1/2)。解法二代数法运用不等式(x_1~2+y_1~2)~(1/2)+(x_2~2+y_2~2)~(1/2)≥((x_1+x_2)~2+(y_1+y_2)~2)~(1/2)其中等号仅当x_1/x_2=y_1/y_2时成立。∴y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)     

构造复数巧解题

有些数学题.如果直接从条件到结论用定势思维去探求解题途径比较困难时,可以根据题设及其特点,构造出复数,从而得到独特的解题方法,使问题化难为易.例1 求函数 f(x)=(9 x~2)~(1/2) ((4 (5-x~2)))~(1/2)的值域.分析:可将根式的问题,通过构造复数化成模的有关问题.解:构造复数 z_1=3 xi,z_2=2 (5-x)i则 f(x)=(?)|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|3 xi 2 (5-x)i|     

从一道例题引出的思考——谈圆锥曲线焦半径的单调性及其应用

问题 :已知椭圆 x22 5 +y216 =1的左右焦点分别是 F1 ,F2 ,点 M在椭圆上 ,且 M到两焦点的距离之积为 16 ,则 M的坐标为　　　 .题目本身并不难 ,由椭圆定义知 |MF1 |+|MF2 |=2 a=10 ,又由条件知 |MF1 |·|MF2 |=16 ,于是 |MF1 |=2 ,|MF2 |=8或|MF1 |=8,|MF2 |=2 .又椭圆的焦点到长轴两个端点的距离恰为 2与 8,因此 M是长轴的两个端点之一 ,于是 M的坐标应是 (- 5 ,0 )或 (5 ,0 ) .一个疑问 :长轴的两个端点固然满足条件 ,但除了这两个端点以外还有没有其它满足条件的点呢 ?上述解法并没有给出确切的答案 ,因此严格地说上述解法是…     

有关探索性问题的解法探究例说

有关探索性问题的数学命题作为对学生探索性能力的考查已列为近两年高考数学命题的重点内容之一．由于这类题对学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高，因此，不少学生对此感到无从下手．本文通过例题对这类问题进行归类和分析，说明解这类题的一般方法和思路．一、有关条件的探索性问题例1已知z_1=x 5 yi,z_2=x-5 yi,x,y∈R,，要使|z_1| |z_2|=6，还需增加什么条件？分析：欲使|z_1| |z_2|=6，即由此易知点（x，y）到点（一5，0），（5，0）的距离之和为6．用点（x,y）表示x yi,x~2/9 y~2/4=1因此还需加条件：点（x，y）的轨迹是椭圆…     

一道全国竞赛题的多种解法

1994年全国高中数学联合竞赛第二试第一题:x的二次方程x~2 z_1x z_2 m=0中,z_1,z_2,m均是复数,且z_1~2-4z_2=16 20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=2(7~(1/2)),求|m|的最大值和最小值 。本刊94年第12期介绍的一种解法外,还有多种不同的解法,现给出如下:     

对一道复数题的思考

1 题目1 z∈C,|z|=1,解方程z~5 z=1,(苏州大学《中学数学》编辑部编《高三数学教学与测试》 解法1 由|z|=1,可设z=cosθ isinθ,代入原方程有 cos5θ isin5θ cosθ isinθ=1, (1) (2) (1)~2 (2)~2得cosθ=’言, 经检验是原方程的根。     

异面直线三算划一

本文的目的是为了对异面直线间的距离(用d表示)、所成的角(用θ表示,一股求出cosθ即可)及公垂线的位置(垂足在两直线上的位置我们用两个参数x,y表示)依照一个固定的模式建立起一个方程组,从而把问题转化为代数问题. 引理1 如图1,设二面角P-MN-Q成φ角,MM_1(?)P,且MM_1⊥MN,NN_1(?)Q,且NN_1⊥MN,设|MM_1|=x,|NN_1|=y,|MN|=d,则     

一个双重无理不等式的发现

背景问题两条互相垂直的公路间有一城镇 P,欲过 P 修一条直路与两公路相交,如何修最经济?解:如图,以两公路为轴建立直角坐标系,直路 AB 过P(a,b),倾斜角补角为α,则要求的是|AB|=asec α bcsc α取最小值的α值.事实上,我们已经解决:当α=arctan (b/a)~(1/3)时,|AB|_(min)=(a~(2/3) b~(2/3))~(3/2).     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…     

椭圆中焦点三角形的若干性质

椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)中除长轴两端点外的任一点P(x1,y1)与两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)所组成的三角形PF1 F2叫做焦点三角形 .焦半径|PF1|=a ex1,|PF2|=a-ex1.焦点三角形具有不少有益的结论,而对这些结论的证明亦颇有启迪性;并且这些结论在解题中也能起到不少帮助. 1.△PF1F2的周长为定值. 这个结论显而易见.由椭圆定义知|PF1| |PF2|=2a,而|F1F2|=2c,因此这个定值为2a 2c.     

怎样正确使用模不等式

先从一个例子谈起。 例1 x为何值时,y=((x~2 3))~(1/2) ((x~2-8x 17))~(1/2)取得最小值。 解法1 (错解) 令z_1=x 3~(1/2)i,z_2=(x-4) i,则y=(x~2 (3~(1/2))~2)~(1/2) ((x-4)~2 1)~(1/2)=|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|(2x-4) (3~(1/2) 1)i|=((2x-4)~2 (3~(1/2) 1)~2)~(1/2)。当z_1=kz_2(k>0)时,不等式取等号,y取最小值。