逆用分配律

分配律a(b +c) =ab+ac的正向使用在计算中常见 ,大家非常熟悉 .但它的逆向应用往往也会给计算带来方便 .例 1　计算 34× ( -7) -( -1 5 ) × -34-34× 2 .解　原式 =( -7) × 34-1 5× 34-2× 34=( -7-1 5 -2 ) × 34=-2 4× 34=-1 8.例 2　计算 -734× 2 0 0 3 -5× 2 0 0 +( -2 .2 5 )× 2 0 0 3 .解　原式 =-734× 2 0 0 3 +( -2 .2 5 ) × 2 0 0 3　 -5 × 2 0 0=-734+( -2 .2 5 )× 2 0 0 3　 -5 × 2 0 0=-2 0 0 3 0 -1 0 0 0=-2 1 0 3 0 .例 3　计算 ( -72 ) 3 ÷ 51 9× 0 .4+0 .4×1 41 92 × 13 63 .解　原式 =( -72 ) 3 ÷ 51 9…     

巧用均值换元法解题

在x1+x2+…+xn=m中,令x1=mn+t1,x2=mn+t2,…,xn=mn+tn,其中t1+t2+…+tn=0,这就是均值换元法.如在x+y=a中,可令x=a2+t,y=2a-t.一、用均值换元法化简计算例1求值:√987×989×991×993+(993-989)(991-987).解令a=987+989+4991+993=990,∴原式可化为√(a-3)(a-1)(a+1)(a+3)+4×4=√(a2-1)(a2-9)+16.令b=(a2-1)+(a2-9)2=a2-5,∴√(a2-1)(a2-9)+16=√(b+4)(b-4)+16=b=a2-5=9902-5=980095.二、用均值换元法证明不等式例2已知a+b+c=3,求证:a2+b2+c2≥3.证明令a=1+t1,b=1+t2,c=1+t3,其中t1+t2+t3=0.∴a2+b2+c2=(1+t1)2+(1+t2)2+(1+t3)2=3+2(t1+t2+t3…     

拆项在解题中的应用

拆项是数学学习中重要的一种解题方法 ,它指的是将代数式中的某项有意识地变形成两项或多项的和。灵活地应用这种方法 ,可很好地利用有关的公式、定理和已知条件 ,从而使解题简便易行。一、用于有理数计算例 1.计算 9999× 9999+19999。解 :原式 =(9999× 9999+9999) +10 0 0 0=9999× (9999+1) +10 0 0 0=10 0 0 0× (9999+1)=10 0 0 0 0 0 0 0。二、用于分解因式例 2 .分解因式 x3 +2 x2 - 5 x- 6。解 :原式 =(x3 +2 x2 +x) - (6 x+6 )=x(x+1) 2 - 6 (x+1)=(x+1) (x- 2 ) (x+3)。例 3.分解因式 x4 +x2 +2 ax+1- a2 。解 :原式 =(x4 +2 x2 …     

分式通分的几种技巧

在分式运算中,常常要利用通分·若我们能细心观察、分析分式的结构特点,结合一定的通分技巧,往往可使运算简捷、准确·取得事半功倍的良好效果·一、整体处理后通分例1计算aa-31-a2-a-1·解:原式=aa-31-(a2+a+1)=a3-(a-a1)-(a12+a+1)=a3-a(a-31-1)=a-11·二、化积约分后通分例2计算x+2x3-3x-10-x2+x3-x2-10·解:原式=(x-5x)+(2x+2)-(x+5x)-(2x-2)=x1-5-x+15=10x2-25·三、分组结合后通分例3计算x-12+x2+1-x-21-x+12·解:原式=(x1-2-x1+2)+(x2+1-x-21)=4x2-4-x24-1=4(x2-1)-4(x2-4)(x2-4)(x2-1)=12x4-5x2+4·四、拆项相消后通分例4计算(x-11)…     

计算机数学基础(2)综合练习

练习题1　单项选择题( 1)已知准确值x 与其有t位有效数字的近似值x=0 0a1a2 …an×10 s(a1≠0 )的绝对误差是:｜x -x｜≤(　　)　A .0 5 ×10 s-1-t　　　　　B .0 5 ×10 s-t　C .0 5×10 s+1-t　　　　　D .0 5×10 s+t( 2 )用列主元消去法解线性方程组　3x1- 　x2 +4x3 =　1- 　x1+2x2 - 9x3 =　0- 4x1- 3x2 +　x3 =- 1,第1次消元,选择主元为(　　)。　A .3　　　　　　　　　　B .4　C .- 4　　D .- 9( 3)已知n+1个互异节点(x0 ,y0 ) ,(x1,y1) ,…,(xn,yn)和过这些点的拉格朗日插值基函数lk(x) (k =0 ,1,2 ,…,n) ,且ω(x) =(x…     

换元法在根式运算中的应用

换元法是中学数学的重要解题方法,应用极为广泛,对于某些与二次根式有关的问题,利用换元法,常常具有以简取繁、捷足先登之功效。一、用于化简例1　设0相似文献   

有理数运算的技巧

一、巧用运算律例1计算-117×(132-0.125)÷(-1.2)×(-1313).解原式=-117×(132-18)×(-56)×(-1613)=-117×1613×(132-18)×56=-9×(12-2)×56=9×32×56=1114.二、合理分组例2计算1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1999年“希望杯”初一数学竞赛试题)解原式=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)(共有2500个)=-2500.三、反序相加例3计算12+(14+34)+(16+36+56)+…+(198+398+…+9798)=(1998年“五羊杯”初一数学竞赛试题)解设原式=S,将每个括号内的分数反序排列,可得S=12+(34+14)+(56+36+16)+…+(9798+…+39…     

指数及指数函数易错题析

数学爱好者2006·12一、忽视隐含条件致误例1化简(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21.错解(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)41=-(-a)41.错解分析错解中忽略了题中有(-a)12,所以忽略了-a≥0即a≤0,则[(a-1)-2]21≠(a-1)-1.正解由(-a)21知-a≥0故a-1<0,因此,(1-a)[(a-1)-(2-a)21]21=(1-a)(a-1)-(1-a)14=(-a)41.二、思维定势致误例2设a>0,a≠1如果函数y=a2x 2ax-1在-1,1]上的最大值为14,求a的值.错解因为y=(ax 1)2-2,所以,y在[-1,1]上单调递增,因此,当x=1时,y取得最大值,a2 2a-1=14,因此,当a=3或a=-5(舍去),所以,a=3.错解分析错解的原因是将ax当成…     

关于一元二次方程整数根的应用策略

一、求根法用分解因式法表示出一元二次方程的两个解,再利用约数的特性及根据题意解决此类问题·例1已知方程a2x2-(4a2-5a)x+3a2-9a+6=0(a为非负整数)至少有一个整数根,那么a=·解:原方程变形,得[ax-(3a-3)][ax-(a-2)]=0,所以ax=3a-3或ax=a-2·因为a为非负整数,所以x1=3aa-3=3-3a,x2=a-a2=1-2a·当x1为整数时a为3的正约数,所以a=1或3;当x2为整数时a为2的正约数,所以a=1或2·所以a=1或2或3·二、判别式法当一元二次方程有整数根时,首先必须确定整系数和判别式必为完全平方数,然后进一步验证·例2设m为自然数,且1相似文献   

因式分解的应用

因式分解 ,不仅是初中数学中一个重要的基础知识 ,它还是一种重要的数学思想方法 ,应用很广 .一、用于求值或计算例 1　计算下列各题 :(1) 1 2 345 2 + 0 76 5 5 2 + 2 4 6 9× 0 76 6 5 .(1991年“希望杯”数学竞赛试题 )(2 ) 1995 3- 2× 1995 2 - 19931995 3+ 1995 2 - 1996 .(1995年北京市初中数学竞赛试题 )　解　 (1)原式 =1 2 345 2 + 2× 1 2 345× 0 76 6 5 + 0 76 5 5 2=(1 2 345 + 0 76 5 5 ) 2 =2 2 =4 .(2 )原式 =1995 2 × (1995 - 2 ) - 19931995 2 × (1995 + 1) - 1996=1993× (1995 2 - 1)1996× (1995 2 - 1) =199…     

1999年高考理科第(17)题的六种解法

若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号.     

树立整体思想,巧解代数题目

整体思想是数学中常用的解题思想方法,利用整体思想,可以使计算简便,迅速得到结果,现举例说明。 一、实数中的运用 例1.已知,求a-的值。 解:由题意得:a-1999≥0,即a≥1999故|1998-a|=a-1998,代入已知式得,即 ∴a-1999=1998~2,∴a-1998~2=1999 例2.已知A=123456789×987654321,B=123456788×987654322,比较A、B。     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

第43届IMO预选题解答(上)

数论部分1.求最小正整数n ,使得x31+x32 +… +x3n=2 0 0 2 2 0 0 2有整数解 . (乌兹别克斯坦提供 )解 :因为 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) ,4 3 ≡1(mod 9) ,2 0 0 2=6 6 7× 3+1,所以 ,2 0 0 2 2 0 0 2 ≡4 2 0 0 2 ≡4 (mod 9) .又x3 ≡0 ,± 1(mod 9) ,其中x是整数 ,于是 ,x31,x31+x32 ,x31+x32 +x33 4 (mod 9) .由于 2 0 0 2 =10 3 +10 3 +13 +13 ,则2 0 0 2 2 0 0 2 =2 0 0 2× (2 0 0 2 667) 3=(10× 2 0 0 2 667) 3 +(10× 2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 +(2 0 0 2 667) 3 .所以 ,n =4 .2 .本届IMO第 4题 . (罗马尼亚提供 )3.设p1,p2 …     

二次根式运算错解剖析

1.概念模糊 ,混淆不清例 1　若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是(　　 )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献   

对称换元法在分式求值中的妙用

当题目中的未知数具有对称关系时,应用基本对称式x+y=a,xy=b进行代换,可使解题过程简化。现以部分试题为例,介绍这种解题技巧在分式求值中的妙用。例1若x-1x=1,则x3-1x3=的值为()(A)3(B)4(C)5(D)6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1。故x3-1x3=x3-y3=(x-y)3+3xy(x-y)=13+3×1=4。故选(B)。例2若x2-5x+1=0,则x3+1x3=解:显然由x2-5x+1=0可知:x≠0,故在等式两边同除以x,得x+1x=5,故设1x=y,则有x+y=5,xy=1。所以:x3+1x3=x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=53-3×1×5=110。例3已知ax+a-x=2,那么a2x+a-2x的值是()(A)4(B)3(C)2(D)6解:由题设可设,ax=m,a-x=n,则有m+n=…     

“问题2·10”参考答案

(1 )首先从几个简单的特例来观察 ,分别令 (a ,b) =(2 ,2 ) ,(2 ,3 ) ,32 ,2 ,(3 ,4) ,得出 a2b-1 +b2a-1 之值分别为 8,1 1 ,414 ,1 1 .因此猜测当a =2 ,b=2时 ,a2b -1 +b2a -1 =8可能是最小值 .　(2 )由不等式x2 +y2 ≥ 2xy,或x +y≥2xy(x≥ 0 ,y≥ 0 )可得当a >1 ,且b>1时 ,a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 =2 aa-1bb-1 .( )又任一正实数x ,因为x2 -4x +4=(x-2 ) 2 ≥ 0 ,所以x2 ≥ 4(x -1 ) ,即得x ≥ 2 x-1 ,也就是 xx -1 ≥ 2恒成立 .当且仅当x =2时等号成立 ,所以由 ( )式可得 a2b-1 +b2a-1 ≥ 2· 2 ·2 =8,而且仅当a =b=2时 ,a2b…     

代数式化简求值题归类及解法

代数式化简求值是初中数学教学的一个重点和难点内容.学生在解题时如果找不准解决问题的切入点、方法选取不当,往往事倍功半.如何提高学习效率,顺利渡过难关,笔者就这一问题,进行了归类总结并探讨其解法,供同学们参考.一、已知条件不化简,所给代数式化简例1(2004年山西省)先化简,再求值:(a-2a2+2a-a-1a2+4a+4)÷a-4a+2,其中a满足:a2+2a-1=0.解:(a-2a2+2a-a-1a2+4a+4)÷a-4a+2=[a-2(a+2)a-a-1(a+2)2]÷a-4a+2=[a2-4(a+2)2a-a(a-1)(a+2)2a]÷a-4a+2=-4+aa(a+2)2×a+2a-4=1a(a+2)=1a2+2a由已知a2+2a-1=0,可得a2+2a=1,把它代入原式:所以原式=1a2…     

妙解根式竞赛试题

一、妙平方例 1　计算 5 + 2 + 5 - 25 + 1-3- 2 2。(新加坡中学生数学竞赛题 )解 :设 x=5 + 2 + 5 - 25 + 1,两边平方 ,得 x2 =2 5 + 25 + 1=2 ,∴ x=2 ,3- 2 2=2 - 2 2 + 1=(2 - 1) 2=2 - 1,∴原式 =2 - (2 - 1) =1。二、妙添零例 2　化简 2 62 + 3+ 5。(美国中学生竞赛题 )解 :∴ 0 =(2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 2 ,∴原式 =2 6 + (2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 22 + 3+ 5=(2 + 3) 2 - (5 ) 22 + 5 + 3=2 + 3- 5。三、妙分离例 3　如果 5 =a,b是它的小数部分 ,求 a-1b的值。(日本中学生竞赛题 )解 :∵ 2 <5 <3,∴ 5 =2 + 5 - 2 ,∴ b=5 - 2。∴ a- 1b…     

应用分类讨论方法解电学开放型试题

一、已知条件开放型1.如图 1,R1和 R2并联 ,已知 R1=10 ,通过 R1的电流 I1=3A,请你补充一个条件 ,数据自定 ,求出电阻 R2 的电功率大小 ,以及每分钟电路消耗的电能为多少 ?(要求三个不同的补充条件 )解析 :(1)补充条件 :通过 R2 的电流 I2 =1A。P1=(3A) 2× 10 =90 W。由 I1R1=I2 R2 得 ,R2 =(10 × 3A) / 1A=30 。故 P2 =I2 2 R2 =(1A) 2 × 30 =30 W。每分钟消耗的电能W=(P1+ P2 ) t=(90 + 30 )× 6 0 J=72 0 0 J。(2 )补充条件 :已知 R2 =2 0 。P1=(3A) 2 × 10 =90 W。U=I1R1=3× 10 V=30 V,I2 =U/ R2 =30 / 2 …