圆幂定理在中考计算中的应用

圆幂定理是相交弦定理、割线定理和切割线定理的统称。由于定理的结论均为比例式 ,所以直接用于解比例问题是它们的共同特点。根据教学大纲中关于“圆幂定理应注重于其在计算中的应用……”的精神 ,为帮助学生掌握好这一重要内容 ,本文现以近年来部分省、市中考题为例分类说明如下 ,供学生学习和复习时参考。一、应用切割线定理解中考计算题例 1　如下图 ,PA切○· O于A,PBC交○· O于 B、C,PA=4 3,PC =12 ,则 PB=。 (2 0 0 1年吉林省中考题 )解 :∵ PA=4 3,PC=12 ,由切割线定理得 :PA2 =PB· PC,∴ (43) 2 =12 PB,∴ 4 8=12 PB…     

不可忽视的隐弦比

如图1,PC切⊙O于C,PAB为⊙O的割线．这是切割线定理的基本图．在证明切割线定理时,先添辅助线段CA和CB,我们把这两条以切点为公共端点的弦称为隐弦．由于△PAC∽△PCB,所以CA：CB—PA：PC(或PC：PB),这就是说隐弦比可以转化为显线段的比．     

例谈切割线定理的妙用

平面几何中有切割线定理:如图1,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2= PB·PC;割线满足PA·PB=PC·PD;割线交于圆内     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理:如图,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2=PB·PC. 该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用,如均值定理(a b)/(2)≥(ab)(a,b>0)的证明:在上图中割线PBC过圆心O时,设PB=a,PC=b,则PO=(a b)/(2),由切割弦定理PA=(ab),显然PO>PA,再结合a=b有(a b)/(2)≥(ab). 再举几例:     

圆幂定理在几何计算中的应用

相交弦定理和切割统定理以及它们的推论统称圆幂定理．在解有关圆的问题中,应用广泛．下面举例说明圆幂定理在几何计算中的应用．一、来国的半径例1如图三月0的弦AB与半径OC交于P点,＊是＊c的中点,且AP：PB＝1：2,若AB＝18,则①0的半径等于（）（A）3拓;（B）2拓;（C）厄;（D）4拓．（1997年大连市中考试题）分析延长CO交①O于D,设①O半径为r,则CP一会r,DP一县。由相交弦定理知”””’”””—“－2”’一2’”一’———”—“～——””’PA·PB。PC·PD．因AP：PB一回：2,AB＝18,故——。＿—＿＿。＿＿、…     

从圆幂定理谈教育数学和信息技术与数学课程的整合

正1、我国教材中的圆幂定理圆幂定理是初中几何圆部分很重要的定理,在我国教材上是以相交弦定理、割线定理和切割线定理三个定理的形式呈现的,它们合称为圆幂定理.从相交弦定理(图1)出发,将点P移到圆外就可以得到割线定理(图2),最后移动C点或D点,使他们重合便得到切割线定理(图3).三个定理的证明方法类似,都是寻找相似三角形.如图1中,可以连AC和BD得到△APC和△DPB相似,从而得到(AP)/PC=(DP)/(PB)和PA·PB     

圆中线段比例式(或等积式)的证题思路

（一）国中线段比例式（或等积式）的证明，是一类综合性较强的几何证明题．证明这类问题，要综合应用相似形和圆的有关知识和方法．它能有效地考查学生综合应用所学知识和方法解决问题的能力．因此，它是全国各省市中考命题的又一个热点．同学们在中考复习中一定要加强这方面的训练，牢固掌握圆中线段比例式（或等积式）的证题思路和证题方法．证明圆中的线段比例式（或等积式）的基本思路有：1．利用相似三角形的性质给出证明；2．利用国幂定理（即相交弦定理、切割线定理和割线定理）给出证明；3．利用平行线分线段成比例定理给出证明．…     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

圆中线段比例式(或等积式)的证题思路

证明圆中的线段比例式或等积式，是平而几何中各种知识与圆的知识的有机结合，综合性强，能很好地考查学生综合应平知识的能力．历来是中老命题的重点和热点．证明这类命题的基本思路是：1．利用平行线分线段成比例定理或其推论．2．利用三角形内、外角争分线的性质定理．3．利用相似三角形的判定定理和性质定理．4．利用射影定理．5．利用圆幂定理（包括相交弦定理、切割线定理和割线定理）．在证题过程中，要善于应用等城段代换、等比代换或等积代换．例1如图及，△ABC是O的内接三角形，PA是OO的切线，A是切点，过点P作BC的平行线交…     

从中考题看圆中辅助线的添置法

一、作半径造圆心角,与同弧上的圆周角相联系例1如图1,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于P,E为O上一点,AE＝AC,DE交AB于F．求证：PF·PO＝PA·PB．（1997年河北省中考题）分析PA·PB＝PC·PD,欲证结论成立,只须证PF·PO＝PC·PD,即只须证PF／PD＝PC／PO．为此,只须证△PDF△POC。／P公用,…只须证上FDP一工COP．连结CO,”．’AE＝AC,…／l＝／2．用等角的补角相等获证．二、过圆心作弦的垂线,以便应用垂径定理例2如图2,AB是①O的弦,P是AB上一点,AB＝10cm,PA＝4cm,OP＝scm．求①O的半…     

圆幂定理在解中考几何计算题中的应用

圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理．这些定理是圆一章的重点内容．应用圆幕定理进行计算的中考几何题十分常见,现分类举例如下．一、相交弦定理的应用例1如图1,①O;和①O。内切于点P,①OZ的弦AB经过OOI的圆心OI,交OOI于C、D,若AC：CD：DB＝3：4：2,则①OI与OOZ的直径之比为．（1998年,南京市）分析为引用相交弦定理,过切点P作①O。的直径叩,则O1、O。必在直径用上．设AC二3a,贝uCOI＝OID＝OIP＝DB＝Za．“．“01P·OIQ＝01A·OIB,’．2。·OIQ二5。·4。…OIQ＝10a,PQ＝12a…．0OI与0O…     

圆幂定理在解题中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论却称圆幂定理。在解有关圆的问题中，应用广泛、下面举例说明圆幂定理在解题中的应用．一、求线段的长树l如图1，在凸ABC中，AB=AC，／C”一72“．①O过A、B两点且与BC7相切干B．与At、交于D，连结BH．若BC一八一1．项gAC一．（1996年山西省中考题）分析由切割线定理知BC’一CH·AC，即AC·L4C－AD＞一DC’．又AD一AC，／C一72？一易得HI：）—BH一BC一八一1．…AC·（AC一八十1）一（人一1）2，ROHCZ－（八一1）HC－（八一1）2一0解得AC—2·二、求城段的比值例2如图2，PA是…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…     

用三弦定理解竞赛题

由笔者提出并命名的三弦定理是:如图1,已知PA、PB、PC 是⊙O 的三条弦,记∠APB=α,∠PBC=β,则 PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.证明:设⊙O 的半径为 R,连结 AB、BC、AC,则 AC=2R·sin(α β),AB=2R·sinα,BC=2R·sinβ.由托勒密定理,得 PB·AC=PC·AB PA·BC.将上面三个等式代入此式,得PB·sin(α β)=PC·sinα PA·sinβ.     

证明圆中线段比例式(或等积式)的思路分析

（一）在全国各省市每一年的中考命题中,几乎都有关于圆中线段比例式（或等积式）的证明题．这是因为这类命题具有较强的综合性．证明这类命题,要综合应用相似形和圆的有关知识和方法．它能有效地考查学生综合应用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力．因而它成为全国各省市中考命题的一个热点．同学们在中考总复习中,要加强这方面的复习与训练,牢固掌握这类命题的证明思路和证明方法．证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有：1．利用相似三角形给出证明;2．利用圆幂定理（即相交弦定理、切割线定理和剖线定理）给出证明;3…     

怎样作圆的辅助线

在解有关国的问题时，适当地添加辅助线，能为解题辅路搭桥．本文总结归纳几种添加辅助线的方法，供同学们参考．一、有弦，常作垂直干弦的直径和过瑞‘大作半径，便于应用垂径定理和匈股定理解题．例1如图1，P是弦AB上一点，PA一scm，PB—6cm，PO—3cm．求圆0的半径R．解过O作OM入AB于M——AM—MB且‘、1J、。、、、1。＾一手AB一手（PA＋PB）一手（8＋6）2—一2”————一2”—一一7（cm）＝＝PM。Icm在Rt凸POM中，根据勾股定理，得OM—ha＝2H（。m）连结AO，在Rt凸AOM中，HO＝／ARt：vni＝he（。m）此例也可用相交…     

运用圆幂定理证明比例线段(等积式)

圆幂定理揭示了圆内的弦、割线及切线之间的关系，是证明比例线段（等积式）常用的重要定理．一、直接运用圆幂定理作等积代换证题例1　如图1，设AB为圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于E，AD⊥EC，交圆O于F，垂足为D，CG⊥AB，垂足为G．求证。（1）△ACG≌△ACD（2）BG·GA＝DF·DA．（1994年吉林中题）分析由△ACG≌△ACD有CG＝CD，而BG·GA＝CG2．因此要证BG·GA＝DF·DA，只需证CG2＝DF·DA．即证CD2＝DF·DA，这正是切割线定理．证明（1）连结CB，△ACG≌△ACDCG＝CD（证略…     

(二十)直线与圆的位置关系测试卷

一、填空题（每空5分，共50分）：1．如图1，PA切于A，AB是OO的弦，BC是①O的直径，／PAB—35”，则／ABC一2．如图2，凸ABC肩接于OO，／B一AC，ZBOC—100”，MN是过B点而垂直于OB的直线，则／ABM一，上CBN一；／3．若PA、PB分别切①O于A、B，左APB—60”，OP—12，则PA一，PB一；4．在凸ABC中，若全C—90“，AB—10，BC—2八，以AC为直径的圆交AB于D，则AD一，on＝；5若BC是①O的弦，A为OO上一点，过A点的切线交CB的延长线于P，BC一IO，PA—12，则PB二；6．OO的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中…     

巧用圆幂定理解题

平面几何中的圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理的统称．     

从一道题目的多种证法看平几证题的多向思维

很多平面几何题的证明方法都不是唯一的．在平常的练习中有意识地进行一题多解，这对于沟通各部分数学知识的联系、拓宽自己的解题思路、提高分析问题和解决问题的能力，都是十分有益的．下面以一道题目的多种证法为例，说明平见证题的多向思维．例如图1，P为等边△ABC的外接圆BC上的一点．求证：PA＝PB＋PC.这是一道证明线段的和差关系的题目．可用常规的平几方法证，也可用代数方法或三角方法证．1．利用全等三角形来证分析一如图2，延长BP至D，使PD＝PC，连结CD．那么PB＋PC＝PB＋PD．欲证PA＝PB＋PC　PA＝BD　△PAC≌…