不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的证法及推广

现行教材中三元基本不等式 :“若 a,b,c∈R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,当且仅当 a =b =c时 ,等式成立 .”是用因式分解方法证明 ,但分解需要一定技巧 .笔者在教学中了解 ,学生除了欣赏很难掌握 .笔者从学生已有的知识出发 ,通过证明一般的情况 ,导出三元基本不等式的证明 .要证上述“若 a,b,c∈ R+ ,则 a3+ b3+ c3≥ 3 abc,不等式成立 .”学生已有的知识是 :若 a∈ R+ ,a≥ a成立 ,(a∈ R也成立 )若 a,b∈ R+ ,a2 + b2 =2 ab成立 ,当且仅当 a =b时 ,等式成立 .(a,b∈ R也成立 ) ,自然联想 :a,b,c,d∈ R+ ,a4 + b4 + c4 +d4≥ 4abcd是否成…     

用三角代换证明条件为ab+bc+ca=1的一类不等式

<正>文[1]对含有条件ab+bc+ca=1的不等式,通过用ab+bc+ca代替不等式中的1,用代数的方法进行了证明.联想到在△ABC中,cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,可设a=cotA,b=cotB,c=cotC,用三角代换的方法证明     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的推广及应用

本文从一个基本初等不等式a~3+b~3+c~3≥3abc(a、b、c∈R~+)出发,利用凸函数的定义及性质,对它进行推广,得到了此不等式更广泛的形式:p_1a_1∑(pi)+p_2a_2∑pi+……+p_na_n∑pi≥(∑pi)(a_1)~(p_1)(a_2)~(P_2)…(a_n)~(p_n),当且仅当a_1=a_2=……=a_n时,等号成立。从本文给出的两个例子可以看出,此推广形式对一些不等式的证明十分方便。     

证明不等式的常见策略与技巧

由于不等式的形式与结构千差万别,因而方法灵活,技巧性强.教材中仅介绍了证明不等式的三种常见方法(比较法、综合法、分析法),为了开阔同学们的视野,本文再举例介绍证明不等式的常见技巧与策略.一、合成把所证不等式分解为几个比较简单的部分不等式,分别证明各个简单的不等式成立,然后再利用同向不等式相加或相乘的性质,得原不等式成立.例1设x1,x2,x3,…,xn是n个正数,求证:x12x2+xx232+xx342+…+xxn2-n1+xxn12≥x1+x2+x3+…+xn.证明∵xx122+x2≥2$xx122·x2"=2x1,同理,xx232+x3≥2x2,…,xxn2-n1+xn≥2xn-1,xxn12+x1≥2xn,∴将上述n个同向不…     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

从k到(k+1)思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式,特别是数列不等式,是一个行之有效的方法,也是中等数学中的一个基本方法,近些年高考试题中多次出现这类考题.运用这种方法证明不等式时,往往很多同学在证k到(k+1)的过程中卡了壳,断了思路,这是一种普遍现象.下面分析一下思路受阻的几种原因及转化策略.一、从k到(k+1)添项不足在从k到(k+1)的证明过程中,如果分析不透命题结构,就会造成添项不足,证明夭折.【例1】已知Sn=1+21+13+…+1n(n∈N*),用数学归纳法证明S2n&gt;1+2n(n≥2,n∈N*).思路受阻过程:(1)当n=2时,S22=1+21+31+41=1+1123&gt;1+22,命题成立.(2)设n=k(k≥3)时不等式成立,即S2k=1+21+31+…+21k&gt;1+2k,则当n=k+1时S2k+1=1+12+31+…+21k+2k1+1&gt;1+2k+2k1+1,要证明S2k+1&gt;1+k2+1,只须证1+2k+21k+1&gt;1+k2+1,即证2k1+1&gt;21.显然,当k≥2时这是不可能的,解题思路受到阻碍.受阻原因分析:∵Sn=1+21+31+…+1n,∴S2k+1=1+21+13+…+21k+2k1+1+2k1+2+…+...     

由1+1/22+1/32+…+1/n2＜5/3谈放缩法

不等式证明中的放缩法,因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直很难真正掌握,而近几年的高考题又屡次运用这一技巧.下面就以1 1/22 1/32 … 1/n2＜5/3(n∈N*)为例谈谈放缩法中调整的技巧.     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

a~3 b~3 c~3≥3abc的另外两种证法

a,b,c∈R~ 时,a~3 b~3 c~3≥3abc 是教材上一个重要定理,除教材的证法外,还有两种证法.一种是排序法,另一种是综合法,通过一题多解可以加深学生对该不等式的认识,还可以提高学生证明不等式的能力.下面给出这两种证明,供参考.     

构造条件等式证明不等式例谈

本文举例介绍通过构造条件等式来证明不等式,这种方法只是给大家提供一种证明不等式的新视角,有时并不一定是最便捷的,不当之处请同行批评指正. 例1(2000年加拿大数学奥林匹克试题)设a,b,c ∈ R+,求证:a3/bc+b3/ac+c3/ab≥a+b+c.     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

从(a+m)/(b+m)>a/b谈开去

<正>已知a,b,m∈R+,且aa/b。①这是课本中的一道习题,我们形象地称(1)为真分数不等式,在日常生活中,它有着十分广泛的应用。在运用综合法和分析法证明之后,我发现该不等式还有很多种证法,并且可以对其进行适当的变式和拓展。这里,首先用直线斜率和函数的方法对它加以证明。     

不等式“a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca”的应用

人教版"不等式"里有一道习题:证明不等式"a2+b2+c2≥ab+bc+ca".证明过程如下:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即a2+b2+c2≥ab+bc+ca."a2+b2+c2≥ab+bc+ca"是一个很重要的不等式,有着广泛的应用.     

新教材中不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc刍议

对于三元基本不等式"若a,b,c∈(0,+∞),则a3+b3+c3≥abc",在内容安排上,老教材是必学内容,且以黑体字作为定理的形式排出,新教材是提高内容,安排在阅读教材里,其目的是供学有余力的同学课外学习之用.在证明方法上,老教材是利用因式分解的办法,将a3+b3+c3-3abc化为(1)/(2)(a+b+c)@[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]后,再判断其值为非负而获证的.新教材是利用构造的办法,联想构造不等式"若a,b∈(0,+∞),则a3+b3≥a2b+ab2",再利用二元基本不等式"若a,b∈(0,+∞),则a+b≥2ab"而证得的.     

浅谈不等式e~x≥x+1的应用

<正>导数是高中新教材中相当重要的一块内容,是每年高考的必考内容.在教学中我们经常会碰到象e~x≥x+1这样的不等式.经深入探究会发现此不等式应用非常广泛.下面就此不等式谈谈一些粗浅的看法:一、不等式的证明     

一个不等式证明的十种方法

不等式的证明是高三数学教学中的一个难点 ,如何寻求不等式的证明思路是学生感到困难的问题 .本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中的一些常用方法 .题目　己知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ且ａ+ｂ +ｃ=1,求证ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13思路 1　在己知和求证的两个关系式中如若取ａ=ｂ =ｃ=13 ,便会出现等号成立 .由此可见当且仅当ａ =ｂ=ｃ =13 时不等式取等号 ,于是得到如下证法 .证法 1　ａ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ａ ;ｂ2 + (13 ) 2≥ 23 ｂ ,ｃ2 + (13 ) 2 ≥ 23 ｃ所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 + 3 (13 ) 2 ≥ 23 (ａ +ｂ+ｃ)所以ａ2 +ｂ2 +ｃ2 …     

函数思想在不等式证明中的应用

正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+     

从a2+b2≥2ab谈起

a2+b2≥2ab是一个最基本的不等式,它的变形、叠加、代换、推广可以解决数学竞赛中的一些不等式证明问题.     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

用函数方法巧证不等式

用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1　若ａ >ｂ>0 ,ｍ >0 .求证 :ａｂ >ａ +ｍｂ+ｍ.证明　令 ｆ(ｘ) =ａ+ｘｂ +ｘ.由ａ>ｂ可设ａ =ｂ+ｃ(ｃ >0 ) ,则ｆ(ｘ) =ｂ+ｘ +ｃｂ +ｘ =1+ｃｂ +ｘ.当ｘ∈ (0 ,+∞ )时 ,ｆ(ｘ)为减函数 .∵　ｍ >0 ,∴　ｆ(ｍ) <ｆ(0 ) .即 ａｂ >ａ+ｍｂ+ｍ.注　用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ .证明 :ａ2 +ａｃ+ｃ2 +3ｂ(ａ+ｂ+…