巧寻因式(x2±x+1)

我们知道x3-1=(x-1)(x2+x+1),且对于一元多项式F(x)=a1 xn+a2xn-1+…+axx+an+1,若F(1)=0,则F(x)中一定含因式(x-1),若F(x)中不含因式(x-1),又如何寻求f(x)是否含因式(x2+x+1)?事实上,若F(x)含因式(x2+x+1),而不含因式(x-1)时,令x-1≠0,则有F(x)(x-1)=(x3-1)g(x).显然,当x3=1时,F(x)(x-1)=0,故有F(x)=0,而x3=1可转化为x3-1=0即(x-1)(x2+x+1).若x≠1,则必有x2+x+1=0.所以,把x3=1代入F(x)中,一定有F(x)=k(x2+x+1).若不然F(x)≠0.由此,很容易识别F(x)中是否有因式(x2+x+1)其方法是:     

怎样选择因式分解的方法

把一个多项式分解因式 ,关键是因式分解方法的选择 .首先 ,考虑有没有公因式可提取 .在提取公因式后 ,或没有公因式可提取时 ,可根据多项式的项数及特点选择因式分解的方法 .　　一、二项式对于二项式 ,通常先考虑是否可用平方差公式进行因式分解 .若不能 ,则可考虑用添项法来分解 .例 1　分解因式 :(1 )ａ2 -(ｂ+ｃ) 2 ;(2 )ｘ4 -1 ;(3 )ａ4 +4.　解　 (1 )原式 =[ａ+(ｂ+ｃ) ][ａ-(ｂ+ｃ) ]=(ａ+ｂ+ｃ) (ａ-ｂ-ｃ) .(2 )原式 =(ｘ2 ) 2 -1=(ｘ2 +1 ) (ｘ2 -1 )=(ｘ2 +1 ) (ｘ+1 ) (ｘ-1 ) .(3 )本题不能用平方差公式 ,故用添项法分解因式 …     

欢庆2003

1 .已知ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =0 ,求ｘ2 0 0 3 1ｘ2 0 0 3 的值 .解 :由ｘ2 0 0 3 =ｘ2 0 0 3 0 =ｘ2 0 0 3 ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =ｘ(ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 ) 1 =ｘ·0 1 =1得 1ｘ2 0 0 3 =1 ,故原式 =1 1 =2 .2 .已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足ａ ｂ=ｃ ｄ ,ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 ,求证 :ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =ｃ2 0 0 3 ｄ2 0 0 3 .证明 :因为ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 所以 (ａ ｂ) (ａ2 -ａｂ ｂ2 ) =(ｃ ｄ) (ｃ2 -ｃｄ ｄ2 )因为ａ ｂ=ｃ ｄ ,故若ａ ｂ=ｃ ｄ =0 ,则ａ=-ｂ,ｃ=-ｄ ,从而ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =(-…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…     

2001—2002年国内外数学竞赛题选解(一)

一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

初中毕业升学数学模拟试题(二)

一、选择题 (本题满分 2 4分 ,共有 8个小题 ,每小题 3分 )1 下列计算正确的是 (　　 )Ａ 4 9=± 7　　Ｂ 3+2 =3+2Ｃ ａ3 +ａ3 =ａ6 　　Ｄ ( 2 ) 0 +2 - 1=322 圆的弦ＡＢ长等于半径 ,则这条弦所对的圆角是 (　　 ) Ａ 6 0°　Ｂ 30°　Ｃ 150°　Ｄ 30°或 150°3 函数 ｙ =ｘ +1ｘ +2 中自变量ｘ的取值范围是(　　 ) Ａ ｘ ≥ - 1　　　Ｂ ｘ ≠ - 2Ｃ ｘ≥ 1且ｘ ≠ - 2Ｄ ｘ >1且ｘ≠- 24 若函数 ｙ =(ｍ+1)ｘｍ2 - 2ｍ- 2是正比例函数 ,则ｍ的值是 (　　 ) Ａ - 1或 3　　Ｂ - 1Ｃ 3　　　　Ｄ 以上都不对5 某厂一月份生产ａ件…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

初一代数期末测试题

一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12…     

初一代数测试题参考答案

一、1 - 1 0 2 9× 10 - 9　 2 .ｘ =3　 3.ｘ8-ａ8　 4 .ｘ≤ 1　 5.0　 6 .- 2　 7.负数　 8 ｘ≠ 0 ,ｘ≠ 2　 9.2 5ａ2 ｂ2 　 10 .ｘ12 　 11.ａ ｂ　 12 .ｘ <0　 13.- 2ｘｙ　 14 ａ ,ｂ互为相反数且ｂ≠ 0　 15 ｘ =1ｙ =4 　 ｘ =2ｙ =2二、1 Ａ　 2 Ｃ　 3 Ｃ　 4 Ａ　 5 Ｂ　 6 Ｃ　 7 Ｃ　 8 Ｄ　 9 Ｂ　 10 Ｄ三、1 2 56ｘ8- 32ｂ4 ｘ4 ｂ8　 2 .ａ6 - 2ａ3ｂ3 ｂ6 　 3.2ｘｙ - 2 ｙ2 - 2 ｙｚ　 4 .43ａ6 ｂ55.3ｂ2 - 2ａｂ - 25ａ2 　 6 .ａｘｎ 2 -ｂｎ 1 ｃｘｎ四、1 ｘ =83ｙ =23　　 2 .ｘ =136ｙ =- 144 55…     

一个不等式的推广和应用

中学数学里熟知的不等式 (ｘ ｙ) 2 ≤ 2 (ｘ2 ｙ2 ) ,可通过增加元数和增加次数进行推广 ,易得到幂平均不等式 :(ｘ1 ｘ2 … ｘｎ) ｍ ≤ｎｍ -1 (ｘｍ1 ｘｍ2 … ｘｍｎ) ,其中ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 为正数 .在幂平均不等式中 ,令ｘ1 =ｍ ａ1 ,ｘ2 =ｍａ2 ,… ,ｘｎ=ｍａｎ,则又得到无理不等式 :( ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍ ａｎ) ｍ≤ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,即有ｍａ1 ｍ ａ2 … ｍａｎ≤ ｍ ｎｍ -1 (ａ1 ａ2 … ａｎ) ,(ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 为正数 ,当ａ1 =ａ2 =… =ａｎ 时 ,等号成立 ) .此不等式在证明有关无…     

函数思想在解题中的应用

函数是贯穿于初等数学的一根主线 ,函数思想是数学思想方法的重要组成部分 .函数思想的实质是剔除问题的非数学特征 ,用联系变化的观点提出数学对象 ,抽象其数量特征 ,建立函数关系 .下列举例说明函数思想在解题中的重要性和广泛的应用性 .例 1　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ2 ≤ 1 ,ｂ2 ≤ 1 ,ｃ2 ≤ 1 .求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ 1≥ 0证明 :构造一次函数ｆ(ｘ) =(ａ ｃ)ｘ ｃａ 1若ａ ｃ=0 ,由于-1 ≤ａｃ≤ 1 ,有ａｃ 1≥ 0 .即ｆ(ｘ) ≥ 0若ａ ｃ≠ 0 ,ｆ(1 ) =ａ ｃ ｃａ 1=(1 ａ) (1 ｃ) ≥ 0 .ｆ(-1 ) =-(ａ ｃ) ｃａ 1 =(1 -ａ)…     

《统计初步》的几个重要公式

一、计算平均数的公式1 定义式 :ｘ =1ｎ(ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ) .定义式是求一组数据的平均数的最常用公式 .对于一组数据 ,在其个数不太多 ,计算量又不太大的情况下 ,用其求平均数比较方便 .例 1　某共青团小组 5名成员 ,年龄分别是 15 ,2 3 ,17,18,2 2 ,则他们的平均年龄是岁 .(1999年吉林省中考题 )　解　ｘ =15 (15 + 2 3 + 17+ 18+ 2 2 ) =19(岁 ) .2 ｘ =ｘ′+ａ .若一组数据ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 的各个数值都在一个常数ａ的上下浮动 ,则可把这组数据中的每一个数据都减去ａ ,得到一组新数据ｘ1 -ａ ,ｘ2 -ａ ,… ,ｘｎ-ａ ,新数据的平…     

向量法解高考解析几何试题

向量是新编高中数学的基本内容 .向量的引入可以启迪学生从一个新的角度分析、解决一些综合问题 ,有益于开发学生智力 ,提高学生能力 .下面就近几年高考题中的部分解析几何题目用向量法给予解答、阐述 .1　利用两个非零向量 ａ =(ｘ1,ｙ1) , ｂ =(ｘ2 ,ｙ2 )的数量积 ａ· ｂ=ｘ1ｘ2 +ｙ1ｙ2 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆 ｘ29+ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是 .解　由题意设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,则ＰＦ1=(- 5 -ｘ0 ,-ｙ0 ) ,ＰＦ2 =(5 -ｘ0 ,-…     

二次函数问题常见错解剖析

一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1　已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｋ >- 74 　　 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 )　错解　由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析　当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2　已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 .　错解　由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4…     

平面向量问题错解辨析

一、忽视向量夹角范围例 1　若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2　设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错…     

由一点及离心率确定的椭圆与双曲线的方程

命题　若椭圆或双曲线的中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,离心率为ｅ且经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则其方程为　　　ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .证明　以椭圆为例 ,设椭圆中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,则其标准方程为 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 ) .若椭圆的离心率为ｅ ,经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则有　　　ｅ2 =ｃ2ａ2 =ａ2 -ｂ2ａ2 ,ｘ21ａ2 ｙ21ｂ2 =1,解得　 ａ2 =ｘ21 ｙ211-ｅ2 ,ｂ2 =(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21.所以椭圆方程为ｘ2ｘ21 ｙ211-ｅ2 ｙ2(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21=1,即 ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .对于双曲线亦可用同样的方法证明命题成立…     

方程中极易忽视的条件

由于同学们在解关于ｘ的方程ａｘ +ｂ =0或ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0时 ,忽视了ａ≠ 0这个条件 ,因而造成了许多错解。例　关于ｘ的方程 (ｋ2 - 1 )ｘ2 + 2 (ｋ - 1 )ｘ + 2ｋ + 2 =0 ,当ｋ =　　时 ,为一元一次方程。误解 :当ｋ2 - 1 =0 ,即ｋ =± 1时为一元一次方程。分析 :本题由于忽视了一元一次方程ａｘ +ｂ =0中的ａ≠ 0 ,即在ｋ=1时 ,使一次项系数 2 (ｋ - 1 ) =0。正确答案为 :ｋ =- 1例　若一元二次方程 (ｍ - 2 )ｘ2 + ( - 2ｍ + 1 )ｘ +ｍ =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是　　　。误解 :∵方程有两个不相等的实数根∴△ =( -…     

二○○二年全国各省市中考数学试题精选(代数部分)

一、填空题1 .(河南省)计算 :ａ3 ÷ａ·1ａ =.2 .(河南省 )ｍ、ｎ满足｜ｍ 2｜ ｎ - 4 =0 ,分解因式 :(ｘ2 ｙ2 ) - (ｍｘｙ ｎ) =.3 .(河南省 )若ｍ、ｎ是方程ｘ2 2 0 0 2ｘ - 1 =0的两个实数根 ,则ｍ2 ｎ ｍｎ2 -ｍｎ的值是.4.(烟台市 )某件商品 ,把进价提高后 ,标价为2 2 0元 .为了吸引顾客 ,再按 9折出售 (即卖价为标价的 90 % ) ,这件商品仍能盈利 1 0 % .这件商品的进价为 .5 .(连云港 )若ａｂ =1 ,则 11 ａ2 11 ｂ2 的值为 .6 .(安徽省 )在解方程 (ｘ2 - 1 ) 2 - 2ｘ2 - 1 =0时 ,通过换元并整理得方程ｙ2 - 2 ｙ - 3=0 ,则ｙ…     

两个广为流传的错解

例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =1ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ + 4 - 2ａ,若ａ∈ [- 1,1],则 ｆ(ｘ)的定义域为 (　　 ) .Ａ .( 1,3)　　Ｂ .( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ )　　Ｃ .( 1,2 )　　Ｄ .( -∞ ,1)∪ ( 2 ,+∞ )解 :原命题可等价转化为 :若ａ∈ [- 1,1],求ｘ的取值范围 ,使ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ +4 - 2ａ >0恒成立 .这样不妨令函数Ｔ(ａ) =(ｘ - 2 )ａ +ｘ2 - 4ｘ + 4 .由题意可知 Ｔ( 1) >0 ,Ｔ( - 1) >0 ,即 ｘ2 - 3ｘ + 2 >0 ,ｘ2 - 5ｘ + 6 >0 .ｘ∈ ( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) ,故选Ｂ .分析 :上面错解在一些师生中广为流传 ,因此有必要予以纠正 .求含参数的…