灵活运用公式解三角形问题

解关于三角形问题是高考考查中的一个热点,需要灵活运用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角公式和三角函数的性质来解决问题。例1：在△ABC中,假若sin2A＋sin2B〈sin2C,     

三角形的半内切圆及其性质

与三角形的外接圆相内切,又与三角形的两条边相切的圆,称为三角形的半内切圆.本文将探讨三角形的半内切圆的一系列有趣性质.预备知识 △ABC的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,则r=4Rsin A/2 sin B/2 sin C/2.(证略)下面讨论三角形半内切圆的性质.     

用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=     

利用一个结论巧证一类赛题

在三角形中,根据“大边对大角,等边对等角”以及正弦定理,我们易得到 定理 △ABC中,∠A>∠B （?） sin A>sin B;∠A=∠B（?） sin A= sin B. 利用这个结论,可以通过构造三角形来巧证一类赛题。 例1 （1976年匈牙利IMO试题）设a,β,γ是任一锐角三角形的三个内角,证明:如果a<β<γ,那么Sin2a>sin2β>sin2γ     

对一道三角习题的探究

题目在AABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且sin2A sin2B=1,则△ABC为().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法判断笔者在询问学生答案时,几乎所有的学生都选择了C,资料的答案也是直角三角形.错解由正弦定理并sin2A sin2B=1,得(a/2R)2 (b/2R)2=1,即a2 b2=(2R)2.进而有c=2     

构造三角形解题数例

例1 三条线段的长分别是sin α,sin β和sin (α β),α,β∈(0,(π)/(2)),试问能否以这三条线段构成三角形,并说明理由.     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

正弦定理余弦定理的综合应用

正弦定理、余弦定理都是解三角形的重要工具,但它们的作用有所不同,若能综合运用这2个定理,则能灵活解题,现举例说明.1求三角形的内角例1△ABC中,sin2A=sin2B sinB.sinC sin2C,求A的大小.解由正弦定理,得sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入正知等式有a24R2=4bR22 4bRc2 4cR22,而a     

锐角三角函数与一元二次方程

<正>将锐角三角形函数与一元二次方程相结合解决一些问题,可达到事半功倍的效果.以下通过几例说明.一、求值例1已知锐角A满足关系式3sin2A-7sin A+2=0,求sin A的值.点拨将此关系式看成关于sin A一个一元二次方程,求出sin A的值,再根据锐角A的取值范围,即0相似文献   

正弦定理和余弦定理

正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比： a/sin A=b/sin B=c sin C. 证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））．     

公式R(cosA cosB cosC)=R r的一个应用

在△ABC中,内切圆与外接圆半径r与R满足: r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)。 ①(见上海教育出版社的《三角形趣谈》82页)。利用另一公式     

一类特殊三角形的一个性质及其推论

文[1]中给出了二倍角三角形的一个性质及其应用,作为该文的补充,今给出n倍角三角形的一个性质及其相应的一些推论。下面用A、B、C表示△ABC的三内角,以a、b、c分别表示它们的对边 定理 在△ABC中,若A=nB (n∈N),则 a~2=b~2 bc·sin(n-1)B/sinB 证明 在△ABC中,因A=nB,故C=180°-(n 1)B ∴sin~2B sinC·sin(n-1)B=sin~2B sin(n 1)B·sin(n-1)B =1/2(1-cos2B)-1/2(cos2nB-cos2B)     

正、余弦定理联袂结论的应用

正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要定理 ,也是竞赛中重点考查的内容之一 .本文浅谈由这两个定理联袂推出的结论及在竞赛中的应用 .在△ABC中 ,若 a,b,c分别是角 A,B,C的对边 ,由正弦定理可得 a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ ABC的外接圆半径 ) ,代入余弦定理中 ,可得到它们的联袂结论 :sin2 A=sin2 B sin2 C- 2 sin Bsin Ccos A;sin2 B=sin2 A sin2 C- 2 sin Asin Ccos B;sin2 C=sin2 A sin2 B- 2 sin Asin Bcos C.同时还可以证明当 A B C=kπ(k为奇数 ) ,以上结论也成立 .1　给角求值例 1　求 cos2 73…     

一类三角不等式的几何意义

设A、B、C为三角形的三内角,则有 sin2A sin2B sin2C≤3(3~(1/2))/2 (1) sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2 (2) sinA/2 sinB/2 sinC/2≤3/2 (3) sinA/3 sinB/3 sinC/3≤3·sinπ/9 (4) ……………… sinA/k sinB/k sinC/k≤3·sinπ/3k (5)     

例说三角形中取值范围问题的精准界定

<正>一、问题与解答问题在锐角三角形ABC中，已知A,B,C分别为△ABC三边a,b,c所对的角，且■(1)求角B的大小;(2)若b=2■，求a+c的取值范围．解(1)由条件得bcos A+acos B=■bsin C，再运用正弦定理，得sin Bcos A+sin Acos B=■sin Bsin C，即sin(A+B)=■sin Bsin C，亦即sin C=■sin Bsin C，     

数学问题及解答

本期问题 46.△ABC的三条边成等比数列,则以它三条高为边的三角形和△ABC相似。 (阮可之提供) 47.已知α、β均为锐角,能否用sinα,sinβ,sin(α+β)为边构成三角形? (王茂森提供) 48.△ABC中∠A=90°, M、N在BC边上, 且BM=MN=NC,∠BAM=α, ∠MAN=β,∠NAC=γ, 求证:sinβ=3sinαsinγ。 (培思提供) 49.设x>y>3,证明y~x>x~y。 (袁文提供) 50.求3~(666666)除以7的余数。 (黄鸿仪提供) 上期问题解答 41.已知三角形的面积,试求以三角形三条中线为边的三角形的面积。解:(如图)设△ABC面积=S,D、E、F分别是三边BC,AC,AB的中点,△ABC的重心为G。     

走出三角形解的个数判断问题的误区

<正>在解三角形的单元教学过程中,笔者注意到学生对三角形解的个数判断存在困惑.教材中给出的是画图法,分类讨论很详细,也很直观;但学生在具体解题时还是领会不够深刻,易受其它外在因素的影响导致误解.例题已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有(sin B-sin C)²=(sin A)2=(sin A)²-sin Bsin C.(1)求角A的值;     

三角形中的一个重要结论及应用

结论:在△ABC中,A、B、C为三角形内角,则sin A＞sin B(?)A＞B．证明:(必要性)sin A＞sin B(?)sin A-sin B=2cos(A B)/2sin(A-B)/2＞0．由条件知0＜(A B)/2＜π/2,-π/2＜(A-B)/2＜π/2,所以cos(A B)/2＞0,则必有sin(A-B)/2＞0,可得0＜(A-B)/2＜π/2,即A＞B．(充分性)若A为锐角或直角,由已知A＞B,则0＜B＜A≤π/2,于是     

三角形外心的一个性质及其应用

本文介绍关于三角形外心的一个性质定理,并用之于证明两道初中几何赛题。 定理 设△ABC的外心为O,若AO(或AO的延长线)交BC于0(如图1),则 BD/CD=sin2C/sin2B。     

一个三角形角的不等式的再思考

在文[1]中,作者提出并探讨了一个关于三角形内角的不等式： 问题1 在锐角△ABC中,有 ∑1/sin 2A≥∑1/sin A. 当且仅当△ABC为正三角形时等号成立．