联想 创新 求变——由一道习题想到的

问题:如何证明周长相同的正方形和长方形中正方形的面积较大。分析:此题结论是比较正方形和长方形的面积,这两种图形的面积都与边长有关,此题的条件是周长相同,若设长方形的长为x,宽为y,则由条件可得正方形的边长为x+y2,下面需要证明的是(x2+y)2≥xy,而此结论只要用完全平方公式和非负数的性质就可迎刃而解了。证明:设长方形的长为x,宽为y,则由条件可得正方形的边长为x+y2∵(x-y)2=x2+y2-2xy≥0,∴x2+y2≥2xy,x2+y2+2xy≥4xy,即(x+y)2≥4xy,∴(x+y2)2≥xy(以上各不等式当且仅当x=y时等号才成立)此题得证。证完此题后我陷入了深思,世界上的万…     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

不囿于教案课生辉

教了长方形和正方形面积之后,教师精心设计了一道巩固复习题:“一个正方形边长增加1分米,面积比原来增加5平方分米,现在这个正方形的面积是多少平方分米?”教案中列出的教学要求有四点:1.画出图1,引导观察得出第一种解法。设原正方形边长为x分米,那么现在的正方形边长为(x+1)分米,由题意得(x+1)2-x2=5。2.将图1添加两根虚线变为图2,得到第二种解法。设原正方形边长为x分米,得x+x+1=5。3.用算术思路解,即原正方形的边长等于(5-1×1)÷2÷1(分米)。教师所拟上述例题教学过程,设计得天衣无缝、滴水不漏,循此思路教学,应当有益于学生复习巩固所…     

巧列方程妙填数

例1图1是由六个正方形拼成的长方形,已知中间的小正方形的边长为1,则长方形的面积为.解析给六个正方形分别标上1~6六个数字,设正方形2的边长为x,则正方形3的边长也为x,正方形4的边长为x 1,     

巧解面积问题

例:图中正方形的面积是8平方厘米,直角三角形中的短直角边是长直角边的1/4,三角形的面积是多少平方厘米?按常规思路,要求三角形面积,必须求出正方形边长和三角形短直角边长,而用小学阶段的知识无法求出正方形的边长。怎么办呢?1.用扩倍法解把整个图形的面积扩大2倍,则三角形和正方形的面积都扩大2倍。这时正方形的面积为8×2=16(平方厘米),则可以口算正方形的边长为4厘米。短直角边长为:4×1/4=1(厘米),则扩倍后的三角形面积为4×21=2(平方厘米),原三角形的面积是:2÷2=1(平方厘米)。2.用比例解根据长方形的宽一定,面积与长成正比例,如右图,…     

用分数方法求几何图形面积几例

在小学阶段,有些几何图形的面积引导学生用分数方法解答既简便,又利于学生掌握,而且突出了图形之间的相互关系,培养了学生良好的思维品质。下面举例说明。在教学中,我们可以发现:圆心角是90°的扇形面积是以它的半径为边长的正方形面积的78.5％。(π取3.14) 证明:圆心角是90°的扇形的半径为r,则面积是πr~2×(90)/(360)=πr~2/4。边长为a的正方形面积为a~2。当a=r时,则a~2=r~2,扇形面积是正方形面积的(πr~2)/(4/a~2),当π取3.14时,则π/4=0.785=78.5％还可以得出图中阴影部分面积为1-78.5％=     

没有数字的数学题

有一类数学题,题中没有数字,解这类题的关键是充分利用题中的条件,包括隐含条件。请看以下几例: 例1 有一矩形,其周长和面积数值相等,且长与宽均为整数,求其边长。解:设长为x,宽为y,则由题意可得xy=2x+2y,可化为 y=2x/(x-2)=2+4/(x-2) (1) 因为x,y为正整数,∴x-2应为1,2,4,∴x_1=3,x_2=4,x_3=6,代入(1)式得y_1=6,y_2=4,y_3=3。所以边长为6,3或4,4。     

一道课本习题的演变与拓展

正课本原题(人教版《数学》教材九年级上册第25页第8题)如图1,利用一面墙(墙的长度不限)以及20 m长的篱笆,怎样围成一个面积为50 m~2的矩形场地?本题的解法是:设与墙垂直的一边的边长为x m,则与墙平行的一边的边长为(20-2x)m,根据题意得x(20-2x)=20,解得x_1=5+(15)~(1/2),     

图解平方差公式

公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2可从图1中看出：(a>b时)长是(a-b)、宽是(a-b)的长方形的面积(图1中的Ⅰ+Ⅱ),等于长方形Ⅰ与Ⅱ的面积之和,就是边长为a 的正方形面积与边长为b的正方形面积之差。     

关于一类三角形的面积及其性质

讨论下述课题;中心在原点,焦点在X轴上的椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1设点p(x,y)是椭圆上的一点;且随圆(1)的顶点排除在外,很显然,任意选择椭圆中的两个顶点,并与点p(x,y)连结,都能构成三角形,指出这些三角形面积的性质.同样的,对于共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1,-x~2/a~2+y~2/b~2=1也有相应结果.     

双曲线切线的一条性质

定理过双曲线上一点 P 作切线交渐近线于点A、B,则(1)PA=PB;(2)△OAB(O 为双曲线的中心)的面积为定值.证明:不妨设双曲线的方程为 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),渐近线为 y=±(b/a)x,P(x_0,y_0)为双曲线上任一点,则 AB 的方程为 xx_0/a~2-yy_0/b~2=1,与 y=±(b/a)x 联立,     

矩形拼图与因式分解

我们知道,用矩形纸片拼成的图形面积可以解释因式分解.如图1,由三个小矩形拼成一个大矩形可以形象地解释ma+mb+mc=m(a+b+c).反之,利用因式分解也可以为拼图提供思路和方法.如图2,公式a2-b2=(a+b)(a-b)可以帮助我们把阴影部分(边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形)拼成一个长为a+b,宽为a-b的矩形.下面举例说明矩形拼图与因式分解之间的联系.例1如图3,由1个长、宽分别是a、b的矩形,2个边长为a的正方形拼接成矩形ABCD,根据题中所提供的数据,请你写出三个因式分解的等式.解:若将矩形ABCD看成由3个图形构成的,利用拼接前后面积不变可…     

初中数学总复习自测题

一.选择题: 1 设a≠0,则下列运算中正确的是 (A)a~2·a~3=a~6; (B)(a~3)~2=a~9; (C)(a-1)~0=1; (D)a~2÷a~3=1/a 2 函数y=(x 1)~(1/2)/(x-1)中,自变量x的取值范围是 (A)x≥0; (B)x≠1; (C)x≥-1且x≠1; (D)x≥-1. 3 一无二次方程1/2x~2-4x 6=0的根的情况是     

关于初中二次函数的教学

本文就初中二次函数的教学谈几点浅见,供教学时参考。 一、讲透一个概念 二次函数的概念是研究二次函数的基础,必须认真讲好.在教学时可从研究实际问题入手,逐步展开.考虑下面两个问题: 问题1 设正方形的边长为x,面积为S.写出正方形面积的函数表达式,并指出自变量和它的取值范围.(S=x~2 ,x是自变量,取值范围是大于零的一切实数.) 问题2 设圆的半径为r,面积为A,仿上提问.     

怎样求图形的面积

<正>内容概述1、面积的基本性质(1)两个图形全等,它们的面积相等.(2)一个图形的面积,等于它各部分面积的和.2、面积的计算公式(1)长方形S=ab,a为长,b为宽.(2)正方形S=a~2,a为边长.(3)平行四边形S=ah,a为底,h为高.(4)三角形S=1/2ah,a为底边,h_a为a     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

利用圆的均匀压缩求椭圆面积

将平面上一点P(x_1,y_1),移到新的位置P'(x_1,y_1'),使y_1'=ky_1。这种变换叫做点P向X轴均匀压缩。常数k≠0叫做压缩系数。本文下面取0b>0),可得出椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1。证明如下。设P(x,y)是圆上任意一点,经压缩变换后的对应点是P'(x',y'),则有x'=x,y'=ky=b/a y,由此得y=a/b y',代入x~2+y~2=a~2,得x'~2+a~2/b~2 y'~2=a~2,于是有x'~2/a~2+y'~2/b~2=1,     

因式分解中的数形结合思想

我们知道,因式分解可以用矩形纸片拼成的图形面积来解释.例如,ma mb mc=m(a b c),它可以由三个小矩形拼成的一个大矩形来形象地解释又(如如图,公1)式.a2-b2=(a b)(a-b),可以由边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形的图形,剪拼成一个长为a b,宽为a-b这的种矩矩形形来拼解     

高一数学期末测试题

一、选择题（每小题3分,共30分）1.设全集 I=R集合 A│x│x≤-3 或x》21,B则集合│x│-l0且a≠1) (D)y=log~aa~x(a>0且a≠1)3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],则y     

2006年第5期问题解答

25.请加一个条件,将图中的阴影部分面积求出来(.长度单位是厘米)解:由于此题中正方形的边长是圆的直径,所以要求出阴影部分的面积,只要在正方形的边长、面积及圆的半径、直径、面积等这些量中任意知道其中一个,就可以求出阴影部分的面积.如,若增加正方形的面积为25平方厘米这个条件,则可以知道其边长为5厘米,所以阴影部分的面积为25-π×(2.5)2=25-6.25π(平方厘米).26.设三角形三边长分别为a,b,c,且有(1)a>b>c(;2)2b=a c(;3)b为正整数(;4)a2 b2 c2=84.求a c b2的值.解:由条件可得a c=2b,ac=5b22-84.构造一元二次方程x2-2bx 5b22-84=0.所以…