与全等三角形有关的开放题

一、添加条件型这类题的特点是要使某一结论成立 ,需要添加给定个数的条件 ,往往所要添的条件不惟一 ,可在多个中选择 .图 1例 1　如图 1,∠ 1=∠ 2 ,ＢＣ =ＥＦ ,那么需要补充一个直接条件 (写出一个即可 ) ,才能使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ .(2 0 0 1年吉林省中考题 )分析　补充ＡＣ =ＤＦ即可 .从而由ＢＣ =ＥＦ ,∠ 1=∠ 2 ,根据“ＳＡＳ”可证得△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ .说明　还可添加∠Ａ =∠Ｄ或∠Ｂ =∠Ｅ .二、方案设计型这类题的特点是打破教材中“标准的封闭型数学题”的框框 ,要求根据题目条件自己拿出方案 ,往往方案不止一个 ,有时还要…     

中考中的“是否存在”型问题

“是否存在”型问题是探索性问题的重点 ,也是近年中考命题的热点 .这类问题的覆盖面广 ,综合性强 ,能力要求高 ,需解题者根据题设条件和有关特征 ,对“是否存在”做出准确判定和正确推理 .解这类问题的基本思路是 :假设存在———演绎推理———得出结论 :合理或矛盾 .合理则结论存在 ,矛盾则结论不存在 .现以近年典型中考题为例说明如下 .例 1　已知直线 ｙ =ｋｘ -4(ｋ >0 )与ｘ轴和 ｙ轴分别交于Ａ、Ｃ两点 ;开口向上的抛物线 ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ过Ａ、Ｃ两点 ,且与ｘ轴交于另一点Ｂ .(1 )如果Ａ、Ｂ两点到原点Ｏ的距离ＡＯ、ＢＯ满足…     

浅谈探索性问题的解题策略

探索性问题有别于通常的习题(常规问题)。这类问题中,条件或结论之一部分往往未明确给出,要求我们根据条件去探索不明确的结论或不唯一的答案,或者由结论去探索未给出的条件。这类问题形式新、入口宽、解法活,要求我们的思维具备一定的开放性和发散性。从解题过程来看,较少有现成的法则和套路,较多是分析、探索和创造。但就中学数学中常见的探索性问题而言,在解题策略上还是有一些规律可以总结和研究。本文把探索性问题小结为四种类型,通过下面例题,浅谈它的解题策略。*　 1.归纳猜想类问题。这类问题的解题策略是:通过对符合已知条件的…     

一类中考新题型——材料阅读题

综观近几年的中考数学试题 ,一类能较全面的考查学生能力的新题型———材料阅读题正逐渐成为热点 ,并且在试题中所占的比重也越来越大 .下面简要介绍这类试题 .一、补全解题过程型图 1例 1　填空 :如图 1 ,已知ＡＥ与ＢＤ交于点Ｃ ,且ＣＤ =ＣＡ ,ＣＢ =ＣＥ .求证 :ＡＢ =ＤＥ .证明 :在△ＡＣＢ和△ＤＣＥ中 ,ＣＡ =ＣＤ(已知 ) ,∠ 1 =∠ 2 ( ) ,ＣＢ =ＣＥ(已知 ) ,∴　△ＡＣＢ≌△ＤＣＥ(　　　　　　　 ) .∴　ＡＢ =ＤＥ(全等三角形的对应边相等 ) .( 1 999年陕西省西安市中考题 )解答略 .评注　这种类型的试题一般是考查学生的基…     

例谈培养学生的几种解题意识

数学教学实质上是解题的教学 ,在解题中应学会进行“数学”地思维 .为此 ,须着力培养学生几种解题意识 ,以下举例说明 .1　预测意识“凡事预则立 ,不预则废” ,面对问题要冷静思考 ,要有一定的直觉判断和预见能力 .例 1　 ( 90年全国文科高考题 )如图 1,在三棱锥Ｓ—ＡＢＣ中 ,ＡＳ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＤＥ垂直平分ＳＣ ,且分别交ＡＣ、ＳＣ于Ｄ、Ｅ ,又ＳＡ =ＡＢ ,ＳＢ=ＢＣ ,求二面角Ｅ—ＢＤ—Ｃ的度数 .分析　关键在于确定二面角的平面角 ,由直觉感知ＢＤ ⊥面ＳＡＣ ,从而预见∠ＥＤＣ即为所求二面角的平面角 ,无疑就找到了解…     

"开放型问题"解题的若干思路

开放型问题常见的形式有: 1.给出条件,没有给出明确的结论,或者结论不确定,需要解题者探索出结论并加以证明,这类问题称为探索结论型题. 2.给出结论,没有给出条件,需要解题者分析出应具备的条件,并加以证明.这类问题称为探索条件型题.     

相似三角形中的“A”型图和“X”形图的应用

在平行线分线段成比例定理中有两种基本图形：“Ａ”型图（图１）和“Ｘ”型图（图２）．它们都是由ＤＥ∥ＢＣ而构成比例线段,在解题中有着重要的作用．下面谈谈相似三角形中的“Ａ”型图的“Ｘ”型图在解题中的应用．图形特征：ＤＥ截△ＡＢＣ两边（或两边的延长线）,且ＤＥ∥ＢＣ,由ＤＥ∥ＢＣ得　　ＡＤＡＥ＝ＤＢＥＣ＝ＡＢＡＣ,ＡＤＡＢ＝ＤＥＢＣ＝ＡＥＡＣ．证题方法：以平行线为桥梁,寻找或构造“Ａ”型图和“Ｘ”型图,探求解题思种．例１　已知：如图３,在△ＡＢＣ中,ＤＥ∥ＢＣ,ＢＥ与ＣＤ相交于点Ｏ,ＡＯ与ＤＥ、ＢＣ…     

几何题求解策略例谈

数学能力的提高离不开数学解题 ,数学解题能力的提高取决于解题质量而不是取决于解题数量 ,平时学习中多注意解题方向和解题策略的研究 ,是提高解题能力的有效途径 .本文就平面几何中的三角形学习浅谈几何题求解策略 .1　分散条件集中化分散条件集中化是指将不在一个三角形中的条件向一个三角形去转化 ,利用三角形的性质加以解决 ,特别是特殊三解形 ;或将不在两个全等三角形、相似三角形、圆中的条件转化到两个全等或相似的三角形中 ,然后建立相应的关系式 .图 1例 1　已知 ,如图1,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是ＢＣ边上的中线 ,ＡＢ=ＡＤ =1,ＡＣ=5 .…     

中考探索性试题破题思路

近年各地中考题中，探索型试题成了热点试题．它和常规题比较，在对学生能力的要求上提高了一步．这给学生解题造成了较大的困难．探索性试题可分为探索“存在型”、“条件型”、“结论型”三种类型．现以１９９９年各地中考题为例分类介绍其解题思路． 一、探索“存在型”试题 例１　已知二次函数ｖ＝１／４ｘ２－３／２ｘ＋６的图象与ｘ轴从左到右的两个交点依次为Ａ、Ｂ，与ｙ轴的交点为Ｃ．（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；（２）求过Ｂ、Ｃ两点的一次函数的解析式；（３）如果Ｐ（Ｘ，ｙ）是线段ＢＣ上的动点；０为坐标原点，试求△ＰＯ…     

解决相似三角形问题的转化策略

转化是数学中最重要而常见的数学方法之一 可以说在数学解题中无处不见转化 因此 ,学会转化是学好数学的前提条件 本文对相似三角形问题的转化策略略作几点归纳总结 .1　复杂结论简单化复杂转化为简单 ,这是数学解题的贯用方法 在证相似三角形问题时 ,遇到较复杂的结论时 ,应首先将其等价转化 ,最后化为较简单的结论再思考证法 图 1例 1　如图 1,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,ＡＣ ⊥ＢＤ ,垂足为Ｈ ,∠ 1=∠ 2 ,ＢＤ =ＢＣ .求证 :ＦＨ·ＡＣ =ＦＣ2 +ＢＦ·ＦＥ .分析　结论太复杂 ,不便直接证明 ,应思考将复杂的等式简单化 ,由∠ 1=…     

巧构辅助线,妙搭“人工桥”

在平面几何中 ,不少命题的证明与计算都要涉及到添加辅助线问题 ,从简单的特殊点到复杂的辅助图形 ,都需要我们精心设计 ,恰到好处地进行添加或构造 ,这样 ,就可以借助辅助线或辅助图形的“桥梁”作用 ,来沟通题设和结论之间的关系 ,使隐含条件显露出来 ,使分散条件集中起来 ,从而获得丰富的解题信息 ,为解题开辟一条有效的通道 ,使要解决的问题获得圆满地解决 .1　构造特殊点解 (证 )题例 1　如图 1,已知以Ｒｔ△ＡＢＣ的直角边ＡＢ为一边向形外作正方形ＡＢＤＥ ,延长ＡＢ至Ｆ ,使ＢＦ =ＡＣ ,ＣＤ与ＡＢ交于Ｈ .求证 :ＥＨ ⊥ＣＦ .分析…     

一道自编题组的教学尝试

在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例　如图 1 ,Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｏ在ＡＢ上 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＣ相切于点Ｄ ,交ＡＢ于Ｅ .1 .求证 :ＤＥ∥ＯＣ .2 .求证 :ＣＢＢＯ=ＡＤＡＥ.3.若ＡＥ =1 ,ｃｏｓＡ =45 ,求⊙Ｏ的面积 .4.若ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,(1 )求⊙Ｏ的直径、ＣＢ长及ｓｉｎ ∠ＡＣＢ2 的值 ;(2 )求证 :Ｓ△ＡＣ…     

初中数学探索性问题的解法

所谓探索性问题是指题中没有给出完,整的条件式明确的结论的问题它是开放性.问题的一种常见的有条件探索型、结论探,索型、存在探索型和决策探索型等五种类型.由于这类问题综合性强、知识覆盖面广、题型新颖解法灵活多样因此解这类问题,,,,要有较高的分析问题和解决问题的能力一,般要经过观察、分析、比较、概括、猜想等，才能得出解题思路和结论，本文拟通过实例来阐明这类问题的一般解法.条件探索型1 条件探索型问题是指仅仅给出给定的结论要求探求此结论成立应具备的充分条件,的问题解决这类问题的一般思路是从结论.:出发执果寻因逆向推…     

旋转变换在平面几何解题中的应用

所谓旋转变换是指图形绕一定点 (旋转中心 )按一定方向旋转一个角度 (旋转角 ) ,得到与原图形全等的图形 .旋转变换是平面几何解题中常用的手段 ,它不仅能使一些几何解题化难为易 ,而且对培养学生的变换能力大有好处 .现就旋转变换在平面几何解题中的应用举例说明 .1　解决有关线段关系问题图　 1例 1　如图 1,已知点Ｅ、Ｆ分别在正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ、ＣＤ上 ,且∠ＤＡＦ=∠ＥＡＦ .求证 :ＢＥ ＤＦ =ＡＥ .分析　从图中可以看出 ,题设和结论是分散的 ,需要集中 .如何集中呢 ?想办法把△ＡＤＦ与△ＡＢＥ连在一块就行了 .于是考虑将△…     

例析2000年中考阅读题

近年来中考数学试卷中 ,阅读型试题频频出现 ,让人目不瑕接 .其特点是 :素材来源广、新颖、贴近实际 ,内容基础且丰富 ,具有综合考查学生阅读理解、数据处理、分析推理、书面表达、逻辑思维、探索创新等能力 .本文就 2 0 0 0年部分省市中考题中采撷数例 ,分类简析供参考 .一、考查阅读图形问题例 1　 (南京市 ) (1 )如图 1 ,在正方形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＡ延长线上的一点 ,ＡＦ =12 ＡＢ ,求证 :△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ .(2 )阅读下面材料 :如图 2 ,把△ＡＢＣ沿直线ＢＣ平行移动线段ＢＣ的长度 ,可以变到△ＥＣＤ位置 ;如图 3 ,…     

着眼结论变化编制中考新题

纵观近几年全国各地的中考数学试题 ,许多颇具开放性和探索性的新型试题打破了“条件 (已知 ) 结论 (形为未知 ,实为已知 )”的传统的命题模式 ,着眼于结论的种种变化 ,从而使这些构思巧妙、千姿百态、精彩纷呈的新题更具有时代意识和创新意识 .本文仅从 2 0 0 1年全国部分省市的中考试题中撷取数列 ,并作归类剖材 ,谨供读者参考 .1　变唯一结论为多个结论 　　　　　图 1　　命题的形式与特点 :根据试题中所给出的条件 ,要求找出两个或两个以上的正确结论 .解题的思路与方法 :分类讨论 .例 1　 (陕西省 )如图 1,平行四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｇ…     

立体几何探索性问题荟萃

探索性问题又叫开放型问题,它没有明确的结论,需要我们去探求.探索性问题分为三类:一是条件探索型;二是结论探索型;三是类比探索型.立体几何探索性问题是同学们学习的一个难点,本文就这类问题作分类探析,希望对同学们有所帮助.     

浅谈探索性问题的解题策略

探索性问题有别于通常的习题(常规问题)。这类问题中，条件或结论之一部分往往未明确给出，要求我们根据条件去探索不明确的结论或不唯一的答案，或者由结论去探索未给出的条件。这类问题形式新、入口宽、解法活，要求我们的思维具备一定的开放性和发散性。从解题过程来看，较少有现成的法则和套路，较多是分析、探索和创造。但就中学数学中常见的探索性问题而言，在解题策略上还是有一些规律可以总结和研究。本文把探索性问题小结为四种类型，通过下面例题，浅谈它的解题策略。     

补圆解题 化难为易

我们在解题时 ,常会遇到一些已知图形是半圆的几何题 .如果仅局限在半圆中思考求解 ,有时会陷入困境 .这时 ,若把半圆补成整圆 ,则可以运用圆的有关性质 ,在整圆中发现某些隐含的条件 ,从而使解题化难为易 .例 1　如图 1 ,点Ｄ、Ｃ在半圆上 ,Ｍ、Ｎ在半圆的直径ＡＢ上 ,ＣＭ⊥ＡＢ ,∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .若∠ＡＤＮ =5 8°,则∠ＡＣＭ =.分析　要想求出∠ＡＣＭ的度数 ,在半圆中很难沟通未知角与已知角的联系 ,故考虑把半圆补成整圆 .延长ＤＮ交圆于Ｃ′,则∠ＢＮＣ′=∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .根据圆的对称性 ,可知Ｃ、Ｃ′关于直线ＡＢ对称 .…     

一道全国联赛题的解题探讨

一道数学题 ,从各个不同角度进行探讨 ,可获各种不同解题方法 ,激活思维 ,培养思维的灵活性 ,发散性。本文对 2 0 0 2年全国初中数学联赛解答题第 3小题解法进行了以下几点探讨。题目 ,如图已知△ＡＢＣ三边都是整数 ,∠ＢＡＣ =90°,ＡＤ⊥ＢＣ ,且ＢＤ =1 1 3,求△ＡＤＢ与△ＡＤＣ的周长之比。分析 :此题是一几何求解题 ,大多数学生只从几何角度考虑。忽略了三边是整数的条件 ,因而分析求解较为困难 ,若思路开阔 ,能抓住三边整数 ,结合有关几何知识 ,就易找到解题思路。探讨 ( 1 )由射影定理 ,ＡＢ =1 1 3·ＢＣ ,ＡＢ、ＢＣ为整数 ,必有…