等差(比)数列中的等比(差)子数列的存在性探索

先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 …     

关于等差数列前n项和比值的两类问题

在研究等差数列前ｎ项和的比值的过程中 ,发现两类规律 ,一类是两个等差数列前ｎ项和的比值 ,另一类是等差数列前ｍ项和与前ｎ项和的比值。1.设等差数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公差为ｄ1,等差数列 {ｂｎ}的首项为ｂ1,公差为ｄ2 ,它们前ｎ项的和分别为Ｓｎ、Ｔｎ,则它们前ｎ项和的比值ＳｎＴｎ有下列性质 :定理 1:等差数列 {ａｎ}与等差数列 {ｂｎ}前ｎ项和的比ＳｎＴｎ是关于ｎ的一次分式函数 ,即ＳｎＴｎ=ａｎ+ｂｃｎ+ｄ。证明 :由Ｓｎ =ｎａ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ1,Ｔｎ =ｎｂ1+ｎ(ｎ - 1)2 ｄ2 　得 :ＳｎＴｎ=ｄ12 ｎ +(ａ1- ｄ12 )ｄ22 ｎ +(ｂ…     

解决数列问题应重视的几种思想与方法

一、函数与方程的思想例1　已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵　ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴　2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴　ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵　ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴　ａｎ+1<ａｎ.∴　数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2　设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,…     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

例谈速解数学选择填空题的思维模式

数学选择填空题 ,具有灵活多变、覆盖面大、阅卷准确可靠等优点 ,是高考试卷和各类选拔性试卷中的重要题型之一 .而解答选择填空题也应与解答题不同 ,要体现出简略快捷、判断优化的原则 .下面以高考试题为例 ,谈一谈解题的常见思维模式 .1　按习惯 ,凭经验所谓经验 ,就是用头脑里已有的知识或以前的一些习惯做法 ,对某些数学问题作出判断 ,这是最基本的思维模式 .例 1　 ( 1995年全国高考题 )等差数列 {ａｎ} ,{ｂｎ}的前ｎ项和分别为Ｓｎ 与Ｔｎ,若 ＳｎＴｎ =2ｎ3ｎ 1,则ｌｉｍｎ→∞ａｎｂｎ等于 (　　 )(Ａ) 1　 (Ｂ) 63　 (Ｃ) 23　 (…     

往前作差(商)方法在数列中的应用

我们知道 ,已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ,可通过ａｎ =Ｓ1,ｎ =1,Ｓｎ -Ｓｎ- 1,ｎ≥ 2 .求出ａｎ.这种往前作差的方法尽管朴实 ,但反映的思想却极其深刻 ,不妨称之为往前作差 (商 )法 .它在解决数列问题中有着广泛而有效的应用 ,本文举例说明之 .1　求数列通项对数列递推式往前作差 (商 ) ,往往能发现数列的本质 ,继而顺利地求出数列通项 .例 1　设数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａ2 =2 ,ａｎ+1+ａｎ=3ｎ(ｎ =1,2 ,… ) ,求ａｎ.分析　将ｎ - 1代入ａｎ+1+ａｎ =3ｎ ,得ａｎ+ａｎ- 1=3(ｎ- 1) (ｎ≥ 2 ) .两式作差 ,得　ａｎ+1-ａｎ- 1=3.显然数…     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

等差（比）数列中的几何模型及应用举例

本文给出等差 (比 )数列中几个常见的几何模型 ,并应用其给出有关问题的巧妙解答 .1　几个常见的几何模型1.1　直线模型模型 1　由等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ- 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ)知 ,点列 { (ｎ ,ａｎ) }在斜率ｄ =ａｍ -ａｎｍ -ｎ 的直线 ｙ =ｄｘ (ａ1-ｄ)上 .模型 2　由等差数列的前ｎ项和的公式 :Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ- 1)ｄ2 Ｓｎｎ =ａ1 ｎ- 12 ｄ ,故点列 { (ｎ ,Ｓｎｎ) }在直线 ｙ=ｄ2 ｘ (ａ1- ｄ2 )上 .模型 3　由等比数列的定义 ,易知其求和公式满足Ｓｎ 1=ａ1 ｑＳｎ,故点列 { (Ｓｎ,Ｓｎ 1) }在直线 ｙ=ａ1 ｑ…     

数列求和的几种常用方法

数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1　反序相加法例 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明　设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … …     

由一道习题引发的思考

提出问题 :已知 {ａｎ}是等差数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ=3ｎ2 +5ｎ ,求其通项ａｎ。分析问题 :这是数列部分的一道习题 ,学生见到此题首先想到的就是等差数列的通项公式与求和公式 ,但因其首项和公差未知 ,难以求出。其实 ,解此题关键是要理解数列前ｎ项和的概念 ,由Ｓｎ=ａ1+ａ2 +… +ａｎ 的概念 ,前 1项的和就是ａ1,前两项之和为ａ1+ａ2 ,于是得以下解法。解决问题 :方法 1:Ｓ1=ａ1=3+5 =8,Ｓ2 =ａ1+ａ2 =2 2 ,于是ａ2 =ｓ2 -ａ1=14,ｄ =ａ2 -ａ1=6 ,故由等差数列的通项公式得 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ =8+(ｎ - 1) 6 =6ｎ +2。方法 2 :由前ｎ…     

成果集锦

等差数列的一个性质定理　设 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ,ｍｉ∈Ｎ ,ｉ =1,… ,ｋ.若∑ｋｉ =1ｎｉ=∑ｋｉ=1ｍｉ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .证明 :设 {ｆ(ｎ) }的公差为ｄ ,则ｆ(ｎｉ) =ｆ(ｍｉ) (ｎｉ-ｍｉ)ｄ .于是∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ=1ｆ(ｍｉ) ∑ｋｉ=1(ｎｉ-ｍｉ)ｄ=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) ｄ(∑ｋｉ =1ｎｉ-∑ｋｉ=1ｍｉ)=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .推论 1　 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ∈Ｎ ,且∑ｋｉ=1ｎｉ=ｋｍ ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =ｋｆ(ｍ) .推论 2　 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓ-ｎ 表示前ｎ个奇数项和 ,Ｓ …     

等差数列方差的计算公式

定理　数列ａ ｄ ,ａ 2ｄ ,… ,ａ ｎｄ的方差为11 2 (ｎ2 -1 )ｄ2 .证明 :1 ,2 ,… ,ｎ的均值为Ｓ =1ｎ(1 2 … ｎ)=1ｎ·ｎ(ｎ 1 )2 =ｎ 12 ,应用方差的简化计算公式 .Ｓ2 =1ｎ[(1 2 2 2 … ｎ2 ) -ｎＳ2 ]=1ｎｎ(ｎ 1 ) (2ｎ 1 )6-ｎ(ｎ 1 ) 24=ｎ2 -11 2 .由于若 {ｘｎ}的方差为Ｓ2 ,则 {ｘｎ ａ}的方差为Ｓ2 ,而 {ｐｘｎ}方差为 ｐ2 Ｓ2 ,于是{ａ ｎｄ}方差 ={ｎｄ}方差 =ｄ2 {ｎ}的方差 =ｄ2 Ｓ2=ｎ2 -11 2 ｄ .等差数列方差的计算公式$江苏沛县郝寨中学@邵长举…     

导数应用(高三)

例1已知{an}是等差数列,且a1=2,a1 a2 a3=12.(*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前n项和公式.(03年北京春季高考)解(1)设数列的公差是d,则由(*)得3a1 3d=6 3d=12,解得d=2,     

等差数列的一个性质及应用

定理　设数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,Sn 为 {an}的前n项和 ,记bn=Snn ,则数列 {bn}是以d2 为公差的等差数列 .简证　数列 {an}是以d为公差的等差数列 ,则　Sn =na1+n(n- 1)2 d ,∴bn =Snn =a1+(n- 1)· d2 .易知 {bn}是以a1为首项 ,d2 为公差的等差数列 .利用这一性质 ,可以方便地解决等差数列中某些与前n项和有关的问题 ,方法简练、实用 ,也易于被同学们接受 .下面举例说明 .例 1　设 {an}是等差数列 ,Sn 为数列 {an}的前n项和 .已知S5=2 8,S10 =36 ,求S17.解　记bn =Snn ,由定理知 ,数列 {bn}是等差数列 ,设其公差为d′ ,则d′=…     

一个来自课本习题的数学模型的应用举例

在高中《代数》下册中 ,有这样一道习题 :“已知数列 {ａｎ}的项满足ａ1=ｂ,ａｎ+ 1=ｃａｎ+ｄ ,其中ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1,证明这个数列通项公式是ａｎ =ｂｃｎ+(ｄ-ｂ)ｃｎ-1-ｄｃ - 1.”(证略 )对于该数列同时有以下四个简单结论 :结论 1　当 0 <ｃ<1且ａ1<ｄ1-ｃ(或ａ1>ｄ1-ｃ)时 ,则ａｎ <ａｎ+ 1<ｄ1-ｃ(或ａｎ >ａｎ+ 1>ｄ1-ｃ)且ｌｉｍｎ→∞ａｎ =ｄ1-ｃ.结论 2　当 - 1<ｃ<0且ａ1<ｄ1-ｃ(或ａ1>ｄ1-ｃ)时 ,则ａｎ >ａｎ+ 1>ｄ1-ｃ(或ａｎ <ａｎ+ 1<ｄ1-ｃ)且ｌｉｍｎ→∞ａｎ =ｄ1-ｃ.结论 3　ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1且ａ1=ｄ1-ｃ时 ,则ａｎ =ｄ…     

求一类递推数列通项的常数分离法

数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一 ,学习数列可以培养我们的归纳、递推能力 ,也可以为进一步学习高等数学打好基础 .因此 ,数列问题以其多变的形式和灵活的解法备受高考命题者的青睐 ,今年的数学高考压轴题再次说明了这一点 .在 2 0 0 3年江苏数学高考题 2 2 (1)中 ,学生得到了递推式ａｎ+ 1 =1ａａ2 ｎ 后 ,如何求ａｎ,不少人感到困难 .为此 ,本文给出求一类递推数列通项的常数分离法 .先看下面的例子 .例 1　数列 {ａｎ}满足ａｎ+ 1 =2ａｎ-1,ａ1= 2 ,求ａｎ.分析　考虑如何将已知数列向熟知的等差、等比数列靠拢 .若注意到ａｎ+…     

等差、等比数列的线性应用

等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1　若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ…     

一类数列问题的求解及二个推广

在中学阶段经常遇见以下数列求和问题 :(1) 1+2 0 +30 0 +… +ｎ× 10 ｎ-1;(2 ) 1+3× 2 +5 × 2 2 +7× 2 3 +… +(2ｎ- 1) ·2 ｎ-1.上述数列是由一个等差数列 {ａ +(ｎ- 1)ｄ}和等比数列 {ｂｑｎ-1}相应的项相乘而得到的混合数列 { [ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1} ,通常采用“错位相减法”进行计算 .为了加强对其解题思路的理解 ,有必要进行一般性探讨 .因为数列通项ｕｎ=[ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1=[ａｂ+(ｎ - 1)ｂｄ]ｑｎ-1,为简单起见 ,不妨设此混合数列为ａ1,ａ2 ｑ,ａ3 ｑ2 ,… ,ａｎｑｎ-1,其中ａｎ-ａｎ-1=ｄ(ｎ>1) ,那么上述求和…     

如何求解数列问题中的最值

函数单调性的研究方法就是求数列中的最值问题的方法.一、用公差为“斜率”的意义沟通关系转化为函数求最值例1已知等差数列{an}中,首项为-6,另外两项为2和3,求公差最大时的数列的通项公式.简析:用公差沟通,化为函数最值易解.设另外两项为am=2,an=3,则d=k=2 6m-1=3 6n-1=3-2n-m,注意到m,n∈N,故公差的最大值为1,所求通项为an=-6 n-1=n-7.二、用等差数列的前n项和为项数n的二次函数求最值例2(1992年高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差的范围;(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.简析:函数…     

2003全国新课程卷理科22题别解

题目　设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {…