有趣的亲和数

亲和数是指一对正整数，它们各自等于对方所有因数之和，例如数220和284即为一对亲和数．220=2^2&;#183;5&;#183;11，其因数之和为：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；284=2^2&;#183;71，其因数之和为：1+2+4+71+142=220．毕达哥拉斯认为，这样一对数的关系符合“友道”，所以叫做亲和数．公元300年左右，希腊人伊安布利霍斯对数学家尼科马霍斯《算术入门》一书的注释中，记载了见诸文字的最早的一对亲和数220和284．     

数字游戏

亲和数是一种古老的数．古代人发现：如果两个数a和b,a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,那么称a,b是一对亲和数．     

关于亲和数的几个问题

设a、b为正整数,σ(a)及σ(b)分别表示a、b的全体正约数(以下简称约数)之和,若σ(a)=σ(b)=a b,则称a、b为一对亲和数.例如220的全体约数为1,2,4,5,10,11,22,44,55,110,220;又284的全体约数为1,2,4,71,142,284.不难算出σ(220)=σ(234)=220 284.     

大师们的疏漏

王刚和蔡辉是形影不离的好朋友,他们都是数学爱好者.今年王刚过生日那天,蔡辉送来一张贺卡,上面只写着两个数:220,284.瞅着蔡辉不解的神情,王刚笑着说:“这是一对‘亲和数’.220的全部因子之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,而284的全部因子之和为1+2+4+71+142=220.表明我们是‘你中有我,我中有你’的好朋友.”     

数学的未解之谜

古希腊毕达哥拉斯学派的人常说:“谁是我的好朋友,我们就 会像220和284一样.” 为什么“220”和“284”象征着好朋友呢? 原来220除去本身以外还有11个约数,它们是1,2,4,5,10,11, 20,22,44,55,110.这11个约数的和恰好等于284.同样,284的约数 除去它本身以外还有1,2,4,71,142,它们的和也恰好等于220.也就 是: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, 1+2+4+71+142=220. 这两个数是你中有我,我中有你,相亲相爱,形影不离.古希腊 的数学家给这样的两个数起名叫“相亲数”或“亲和数”.220和284 是人类发现的第一对“相亲数”,也是最小的一…     

一类无理不等式的证明

若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明　根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1　已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a …     

关于Diophantine方程x^2=p^a＋p^2＋p^c

设p是奇素数，文章证明了：当p=3时，方程x^2=p^a p^2 p^c?BD鲇蟹歉赫?x，a，b,c)=(3^n，2n-1，2n-1，2n-1)，其中n是正整数；当p＞3且p≠7(mod8)时，该方程无非负整数解(x，a，b，c)．     

对两道不等式问题证明的研究

问题1已知a、b、c为正数,S=1/2(a b c),n为自然数.证明:(an/b c bn/c a cn/a b)≥(2/3)n-2·Sn-.(第26届IMO预选题)     

问题1．9参考答案

问题设n是满足下列条件的最小正整数,它们是75的倍数且恰好有75个正数因数(包括1和本身),求7n5.解由已知条件知n=75k=3×52k,欲使n尽可能小,可设n=2a×3b×5c(c≥2,b≥1),且有(a+1)(b+1)(c+1)=75,所以a+1,b+1,c+1都是奇数,因此a,b,c都是偶数,所以c=2.由(a+1)(b+1)(c+1)=75,得(a+1)(b+1)=25.①a+1=5,b+1=5:a=4,b=4.故n=24×34×52;②a+1=1,b+1=25:a=0,b=24.故n=20×324×52.由①、②知最小的正整数n是24×34×52.故7n5=432.问题1.9参考答案…     

一个猜想不等式及其部分解决

本文给出关于三元a、b、c的一个猜想不等式及其部分解决. 猜想 设a、b、c是正实数,m,n是正整数,且m≤n,则am(b+c)n+bm(c+a)n+cm(a+b)n≤2n(a+b+c)m+n/m+n-1.     

关于倍角三角形三边的一个恒等式

文 [1 ]找到倍角三角形三边关系的系列表达式 :fn=0 ,其中 f1=a -b ,f2 =(a2 -b2 ) -bc ,f3 =(a2-b2 ) (a -b) -bc2 ,…本文得到 :定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,BC =a ,CA=b ,AB =c,记Fn=Fn(a ,b,c) =(ac) n-1(b·sinAsinB-a) ,λ =a2-b2 c2 ,μ =ac,则Fn=b(C0 n-1λn -1-C1n -2 λn -3 μ2 C2 n -3 λn -5μ4-C3 n -4λn -7μ6 C4n -5λn -9μ8-… ) -aμn -1=0 . ( )证明 :由正弦定理 ,asinA=bsinB,∴Fn=(ac) n -1(b·sinAsinB -a) =(ac) n -1sinA· bsinB-asinA =0 .记t=cosB ,将sinA =sinnB展开 ,应用sin2 B =1 -t2 ,2t…     

关于公式a_n=S_n-S_(n-1)

用公式a_n=s_n-s_(n-1)来处理数列中的某些问题,有时显得很方便。但是使用这个公式是有条件的,使用不当就会得出错误的结果。看下面的例子。一数列的前n项和等于a_n~2 b_n c(a、b、c为常数),证明此数列是等差数列。利用上面的公式,先导出数列的通项公式: u_n=S_n-S(u-1)=a(2n-1) b(n≥2)①从而得出 u_n-u_(n_1)=2a. ②由此得出此数列是等差数列的结论。这个结论是错误的,我们先看一个具体例子:设一个数列的前n项之和为S_n=n~2 n 1,照     

m整除ab~n+cd~n的充分条件及应用

定理设m、n是自然数,a、b、c、d是整数,则m|(ab~n+cd~n)的一个充分条件是 m|(a+c)且m|(b-d)。证明:∵m|(a+c),∴a+c=mq。(q为整数)。从而c=mq-a。于是 ab~n+cd~n=ab~n+(mq-a)d~n =a(b~n-d~n)+mqd~n。 =(a(b-d)(b~(n-1)+b~(n-2)d…+bd~(n-2)+d~(n-1)) +mqd~n。     

向量模长公式的八种应用

b²=|b|²=（2n-3m）²=9m²-12m·n+4n²=9-12×1/2+4=7,∴|a|=7^1/2,|b|=7^1/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m²+m·n+2n²=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(7^1/2×7^1/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.     

向量与其他数学知识的交汇

向量具有数字化的形式,同时又具有形象化的特征,故成为联系多项数学知识的媒介.一、与代数的交汇【例1】设实数x、y、z、a、b、c满足条件:(x2 y2 z2)(a2 b2 c2)=(ax by cz)2,求证ax=by=cz.证明:设m=(x,y,z),n=(a,b,c),且m与n的夹角为θ.∵m·n=｜m｜·｜n｜cosθ,m·n=ax by cz∴ax by cz=x2 y2 z2·a2 b2 c2cosθ由已知得cosθ=±1,即θ=0或π.∴m∥n由向量平行充要条件是ax=by=cz.评注:在等式证明中,利用数量积公式,建立数形对应关系,从而问题得解.【例2】已知a,b,c,d∈R,求函数f(x)=(x a)2 b2 (x-c)2 d2的最小值.解:设m=(x a,b),n=(c-x,…     

寻求勾股数的一种简便方法

所谓勾股数,就是指满足方程 a~2 b~2=c~2的正整数组(a,b,c).在勾股数组的三个数中,知一求二是比较困难的,有的文章虽作过介绍,但其方法繁杂,甚至有错误之处.本文试图给出已知 a,求出所有勾股数(a.b.c)的一种简便方法.分析:a~2 b~2=c~2a~2=(c b)(c-b),令 c b=m,c-b=n,易知 a、m、n 三数的奇偶性相同.根据算术基本定理,设 a 的标准分解式为 a=p_1~a_1·p_2~a_2…p_k~a_k,则 a~2=1·p_1~(2a)_1·p_1~(2a)_2…p_k~(2a)_k,其中 p_1、p_2、…、p_k 是各不相同的素     

一个不等式猜想引发的思考

一、猜想能作更有意义的修正吗?在文[1]中,李韵老师提出了如下猜想:设a,b,c∈R,且a+b+c=1,n∈N~+,则(a(n+1)+b)/(b+c)+(b(n+1)+c)/(c+a)+(c(n+1)+b)/(a+b)≥(1+3~n)/(2·3~(n-1)).无独有偶,文[2]、[3]、[4]都用极限法和特殊值法指出该猜想是错误的.     

一道美国竞赛题的推广

题目a、b、c是正实数.证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.(2004,美国数学奥林匹克)研究该题,笔者发现可以将其堆广.命题若ai∈R ,i=1,2,…,n,则∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∑ni=1ain,n∈ .证明:因为ai∈R ,i=1,2,…,n,所以,(ani-1)(an-1i-1)≥0(n∈N )a2n-1i-ani-an-1i 1≥0a2n-1i-an-1i n≥ani (n-1).记Ani=ani (n-1),则由上式知∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∏ni=1(Ani).①下面证明∏ni=1(Ani)≥∑ni=1ain.因为1=an1An1 n-1An1=an1An1 1An1 … 1An1,1=1An2 an2An2 1An2 … 1An2,1=1An3 1An3 an3An3 1An3 … 1An3,……1=1Ann …     

关于最小非因数的一个结论

文[1 ]提出一个有意的课题,然而其中“a12t可能是5 ,7,8,9,1 0 ,1 1 ,1 3 ,1 4,…”的说法似不妥,因为1 0 ,1 4像6一样,不是最小非因数.事实上,任意正整数n的最小非因数是并且只能是pk 的形式,其中p为素数,k为正整数.比如,n =2 2 ·3·5·7的最小非因数是2 3,n =2 4 ·3 2·5 2 ·7·1 1·1 3·1 7·1 9的最小非因数是3 3.一般地,对任意pk 形式的数,都可以构造出正整数n ,使pk 是n的最小非因数.但像1 0 =2·5这样的非pk 形式的数,不可能是最小非因数,因为若1 0是某正整数的最小非因数,则应有2 |n ,5 |n ,从而有1 0 |n ,引出矛盾.关于最小非…     

不要忘了分母之和等于零的情况

我们知道等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n，那么a b c … m/b d … n=a/b成立的条件是b d … n≠0，即分母之和不等于零，但在一些具体问题中，还必须考虑分母之和等于零的情况．否则会造成漏解甚至无法解的情形．