一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …     

一道竞赛题新探

文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明，并对命题的结论和条件进行推广．     

一道竞赛题的引申推广

文[1]刊出的1999年全国初中数学联赛题(1)第11题是一个填空题：     

一道竞赛题的姐妹题

题设I为AABC的内心,其AABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M,过B点平行于MK的直线分别交直线LM和LK于点R和S。求证：∠RIS为锐角。(39届IMO试题)     

一道竞赛题的证明与联想思维

学数学离不开解题,解题不能没有联想,联想是思维迁移的一种形式。是思维的主要手段。丰富的联想有助于开拓思路、激发灵感,它能依据问题的结构、特征,洞悉条件和结论之间的千丝万缕的联系,突破问题所在内容的局限,获得千姿百态、其味无穷的解题方法和技巧。联想展示出数学的无穷魅力。数学使联想焕发出绚丽的光彩。     

一道全国初中竞赛题的解法研究

题目　沿着圆周放着一些数 ,如果有依次相连的 4个数a、b、c、d满足不等式 (a -d) (b -c) >0 ,那么 ,就可以交换b、c的位置 ,这称为一次操作 .( 1 )若圆周上依次放着数 1 ,2 ,3,4 ,5,6 ,问 :是否能经过有限次操作后 ,对圆周上任意依次相连的 4个数a、b、c、d ,都有 (a -d)·(b -c) ≤0 ?请说明理由 .( 2 )若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2 0 0 3个正整数 1 ,2 ,… ,2 0 0 3,问 :是否能经过有限次操作后 ,对圆周上任意依次相连的 4个数a、b、c、d ,都有 (a -d) (b -c) ≤0 ?请说明理由 .( 2 0 0 3,“TRULY 　信利杯”全国初中数学竞…     

一道竞赛题的多种解法探讨

<正> 2002年北京市中学生数学竞赛初赛有如下一道试题: 若关于x的不等式|x-1|>1/2x2-a仅有负数解,试确定实数a的取值范围. 这里给出如下几种解法. 解法1 直接求根. 由于不等式仅有负数解,故存在x<0,使得不等式|x-1|>     

从一道南非竞赛题说起

分析本题考察学生对柯西不等式的掌握程度．事实上，由柯西不等式，得     

一道竞赛题的另证

题目如图1，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，E是△ABC外一点，     

一道竞赛题的别证

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)复赛第二大题为: 题如果a,b,c是正数,求证: (a3)/(a2 ab b2) (b3)/(b2 bc c2) (c3)/(c2 ca a2)≥(a b c)/(3).     

运用不等式控制法解数学竞赛题

在中学数学中 ,许多难度较大的竞赛题 ,从形式上看是等式问题 ,有时直接用等式的有关知识去解 ,是较难达到目的的 .但若根据题设条件 ,设法建立不等式 ,控制变量或变式 ,并通过对不等式的研究 ,最后获得结论的方法 ,我们称之为“不等式控制法”.应用这一方法 ,往往需要由等量关系过渡到不等量关系的思维转变 ,因此 ,它是考查学生思维灵活性和敏捷性的最佳题型之一 .所以 ,在近几年国内外数学竞赛中 ,经常出现利用不等式控制法来解的试题 ,但参赛学生对这一重要解题方法的掌握还不是很熟练 ,为此 ,本文就竞赛中的具体例子 ,介绍利用不等式控…     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道竞赛题新探

题:已知x、y、z＞0,且x2/1 x2 y2/1 y2 z2/1 z2=2,求证x/1 x2 y/1 y2 z/1 z2≤(√2).(第一届"希望杯"备选题) 文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明,并对命题的结论和条件进行推广.     

一道竞赛题的逆命题及其拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中,有一道不等式的证明题：     

一道竞赛题的多种解法

有一道2005年全国初中数学竞赛题，本文列举了它的几种解法，以启发同学们的解题思路．[第一段]     

由一道竞赛题的证明引发的探究

2007年女子数学奥林匹克竞赛中，有这样一道不等式证明题：     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…