相似形与解直角三角形

（３５）比例线段与平行线分线段成比例 一、复习要点 １．在两条线段的比ａ：ｂ中，ａ叫做比的＿＿ ，ｂ叫做比的＿＿ ２．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做 ３．如果ａ：ｂ＝ｃ：ｄ，那么＿＿、＿＿做比例外项，＿＿、＿＿叫做比例内项，＿＿叫做ａ、ｂ、ｃ的＿＿． ４．如果ａ：ｂ＝ｂ：ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的＿＿＿ ５、比例有三大性质：（１）基本性质：ａ：ｂ＝ ｃ：ｄ　　＿＿＿＿（２）合比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ　　＿＿＿（ ３）等比性质：ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…… ＝ｍ／ｎ（其…     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

一道ＩＭＯ赛题的九种证法

题目设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａｂｋｃ＝ｌ，求证１／ａ＾３（ｂ＋ｃ）＋１／ｂ＾３（ｃ＋ａ）＋１／ｃ＾３（ａ＋ｂ）≥３／２．（第３６届ＩＭＯ试题）本题是一道非常难得的好题．它的九种证法，充分展现了对称不等式的内在魅力，值得探究．     

运用数学变换 寻求简捷解题途径

运用数学变换寻求简捷解题途径李成章（新疆石油教育学院８３４０００）大家知道，变换是数学中最基本又最重要的概念，从初等数学到高等数学，变换无所不在．本文通过具体实例谈谈运用数学变换，去寻求简捷解题的途径．例１求函数ｆ（ａ，ｂ）＝（ａ－ｂ）２＋２－ａ２－...     

相似形与解直角三角形

（３５）比例线段与平行线分线段成比例一、复习要点１．关于比例线段（１）在两条线段的比ａ∶ｂ中，ａ叫做比的项，ｂ叫做比的项．（２）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做线段．（３）如果ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ，那么、叫做比例外项，、叫做比例内项，ｄ叫做ａ、ｂ、ｃ的．（４）如果ａ∶ｂ＝ｂ∶ｃ，那么线段ｂ叫做线段ａ、ｃ的．（５）把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ（ＡＣ＞ＢＣ）且使ＡＣ是ＡＢ和ＢＣ的比例项，叫做把线段ＡＢ黄金分割，点Ｃ叫做线段ＡＢ的点．２．比例的性质（１）基本性质…     

挖掘ａ＋ｂ＋ｃ＝０的一个不等关系解题

在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明．     

第36届IMO第二题证法综述

第３６届ＩＭＯ第二题证法综述福建省永春县科学技术委员会孙建斌设ａ、ｂ、ｃ为正实数，且满足ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２．这是第３６届国际中学生数学奥林匹克竞赛试题中的第二题（由俄罗斯提供）．这道结构优美、...     

等比性质的另一面

九义教材《几何》第二册Ｐ２０２介绍的等比性质：如果ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么ａ＋ｃ＋…＋ｍ／ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ａ／ｂ．显然，定理的结论是在附加条件：“ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０”下成立的．我们不禁要问：如果ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝０，那么结论又如何呢？仍用参数法，不难推得结论为：ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝０．证明　设ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ＝ｋ，则ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋ，…，ｍ＝ｎｋ．ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝ｂｋ＋ｄｋ＋…＋ｎｋ＝（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ）·ｋ＝０．这样，对等比性质我们可以把它完善为：如果ａ／ｂ＝…     

谈一道课本习题的教学价值

１问题提出高级中学课本《代数》下册（必修）第３２页的习题９是：已知ａ＞ｂ＞ｃ，求证：１／ａ－ｂ＋１／ｂ－ｃ＋１／ｃ－ａ＞０。     

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证

一道课本习题的引伸与一道名题的妙证张贝斌（甘肃省金昌市一中７３７１００）题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．（１）这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原...     

因式分解中的交换技巧

多项式的因式分解，方法较多，灵活性强。因式分解时，如果能够根据题目的特点，灵活运用一些技巧，对于提高解题速度，培养创造性思维都是十分有益的。所以同学们要牢固地掌握好课本上所介绍的四种因式分解方法，与此同时，应了解以下几种变换技巧： 一、符号变换 例１分解因式ａ（ｘ—ｙ）＋ｂ（ｙ—ｘ）－ｃ（ｘ－ｙ）。 分析：将第二项改变符号，即把（ｙ－ｘ）变为－（ｘ—ｙ）后，能运用提取公因式法分解。 解：ａ（ｘ－ｙ）＋ｂ（ｙ－ｘ）－ｃ（ｃ－ｙ） ＝ａ（ｘ－ｙ）－ｂ（ｘ、ｙ）－ｃ（ｘ－ｙ） ＝（ｘ－ｙ）（ａ－ｂ－ｃ）。 …     

浅析学生学习数学时的潜在假设及其成因与教学对策

浅析学生学习数学时的潜在假设及其成因与教学对策卢开明（江苏省姜堰市二中２２５５００）一、问题的提出学生在解数学问题时，经常会出现一些错误，这些错误的产生，不能单纯地用“粗心”加以评判．试看以下例题．例１已知ａ＋ｂｃ＝ｂ＋ｃａ＝ａ＋ｃｂ，求ａ＋ｂｃ的值...     

课本变式题库

课本变式题库高中部分原型如果ａ，ｂＥＲ”，且ａ一ｂ，求证ａ’＋ｂ‘＞ａ‘ｂＭａｂ‘．（高中《代数》下册Ｐ．１３例９）变式卫已知ａ，ｂ，ｃｅＲ“，且两两不等，求证２（ａ’＋ｂ’＋ｃ’）＞ａ‘（ｂ＋ｃ）＋ｂ’（ａ＋ｃ）４ｃ’（ａ＋ｂ）．（此题是高中《代数...     

等差数列的性质及应用

性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（…     

构造长方体巧证一道名题

题设ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）≤３＋３９．这是加拿大一家中等数学杂志１９８７年刊出的一道习题．原文给出的证明非常繁．本刊１９９８年第４期《一道课本习题的引伸与一道名题的妙证》一...     

对课本上一道习题的修正

对课本上一道习题的修正甘肃省商业学校唐文玲高中《代数》（必修）下册复习参考题六第７题为：已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ成等比数列，求证：（１）ａ＋ｂ，ｂ＋ｃ，ｃ＋ｄ成等比数列；（２）（ａ－ｂ）２＝（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２＋（ｄ－ｂ）２．结论（１）是不对的，因为...     

利用均值不等式求函数极小值问题的探索

利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道，利用均值不等式ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ求函数的极值，必须满足三个条件：（１）ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋；（２）ａ·ｂ·ｃ＝Ｐ（定值）（或ａ＋ｂ＋ｃ＝Ｓ（定值））；（３）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，函数有极小...     

课本上一道习题的一般形式

课本上一道习题的一般形式金昌市一中张斌贝高中《代数》（必修）下册习题十五第１９题（２）是：已知：ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：（ａ＋ｂ＋ｃ＋）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）≥９ａｂｃ。此题启发我们思考下列命题。命题１．若ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，则（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ...     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…