几何极值问题探究

<正>几何中的极值问题,常常与三角函数等其他代数分支相连接,求解这类问题时,如能在几何与代数的交汇点上寻求解题突破,对提高分析问题、解决问题的能力和提升数学知识的融会与迁移能力,无疑很有裨益.问题1已知△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c,点Q在△ABC内,记f=aQA2+bQB2+cQC2.(1)求f的最小值;(2)当f取最小值时,确定点Q的几何位置.     

两则几何极值问题

题1 如图1,四边形 AEFG与ABCD都是正方形, 它们的边长分别为a,b(b≥ 2a),且点F在AD上(以下问题的结果用a,b的代数式表示)． (1)求S△DBF; (2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°     

几何极值问题的纯几何解法

几何里的极大极小问题,统称几何极值题。和数学里别的极值问题一样,解法是多式多样的,这里仅就几何极值问题的纯几何解法作一简单介绍。极值问题的基础是不等式,由于不等量的基本关系在几何里有这样几种:折线长不小于直线长;     

用几何知识求极值问题

探求极值问题是初中数学的一种常见的题型,特别是近年的中考题、数学竞赛试题.面对具体的极值问题,需根据题设的条件和结构特点,灵活选取恰当的方法.本文介绍如何用几何知识求一类极值问题,供同学们参考.     

一个几何极值问题的应用

问题 如图1,在直线l的同侧有两点A、B,在l上求作一点C,使CA＋CB最小.     

一个几何极值问题的拓广

正笔者最近遇到这样一道调研试题,原题如下:问题:在直角△ABC中,AC=4,BC=3,点P是斜边AB上不同于A、B的任意一点,点P在直角边AC、BC上的射影分别为E,F,则△PAE和△PBF的面积之和的最小值为____.     

求几何极值问题的错误简析

对于几何的极值问题,必须注意题中几何量之间的数量关系和位置关系,否则可能造成错误。下面看几个例题。例1.如图1,在矩形ABCD中,AB=8a,BC=9a(a>0),半径为x的⊙O与AB、BC两边相切,⊙O′与⊙O相切,并与AD、CD相切,试求两圆面积之和S的最大值和最小值。错解:设⊙O′的半径为y,则     

初等几何的两个极值问题

对两个初等几何的极值问题,给出了几种不同的解法,涉及了初等数学与高等数学.这种一题多解的事实说明,即使求解最古老的初等几何问题,也是妙趣横生的.     

一个极值问题的纯几何解

问题:设x,y∈[0,1],f(x,y)=x2 y2 (1-x)2 y2 x2 (1-y)2 (1-x)2 (1-y)2,求f(x,y)的极值.     

一个几何极值问题的再拓广

文[1]给出了一道调研试题如下:问题 在直角ΔABC中,AC=4,AB=3,点P是斜边BC上不同于B、C的任意一点,点P在直角边AB、AC上的射影分别为F、E,则ΔPCE和ΔPBF的面积之和的最小值为_.文[1]作者注意到当P为BC中点时,ΔPCE和ΔPBF的面积之和取到最小值3,且刚好为ΔABC面积的一半,从而根据平行关系PF∥AC、PE∥AB,推广此题得到了非常优美的结论如下:命题1 已知点P是ΔABC的边BC上的任意一点(不同于B、C),经过P分别引AB、AC的平行线PE、PF,记ΔPCE和ΔPBF的面积和为S,ΔABC的面积为S0,则当P为BC的中点时,S取到最小值 S0/2 .     

初等几何的两个极值问题

对两个初等几何的极值问题，给出了几种不同的解法，涉及了初等数学与高等数学。这种一题多解的事实说明，即使求解最古老的初等几何问题，也是妙趣横生的。     

利用几何解释解极值问题几例

解函数极值问题的方法很多,本文意在通过极值的几何解释使变量之间的关系变得较为直观,从而使问题的解决较为具体、简捷。例1 求函数y=(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-6x 25)~(1/2)的最小值。解式中变量y是x的无理函数,若将其有理化,计算是相当繁杂的。而要直接求解又难以下手。考查这个函数表达式的几何意义,发现可表示成两点间距离之和,即 y=((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-3)~2 4~2)~(1/2)。则y表示x轴上的动点P(x,0)到两定点     

中学物理中的极值问题

中学物理中,有些可以归结为求极值的问题。解答这些问题需要掌握相应的物理概念和规律、定理等,还要应用有关的数学知识。例如:从函数y=ax~2+bx+c,(a≠0)的图象,可以知道抛物线的顶点坐标,这就是函数的极值点;三角函数的极大值与极小值,可以从三角函数的图象中看出来;在不等式中,两正数的几何平均数(x_1x_2)~(1/2),不大于它的算术平均数;对于一元二次方程来说,它的实数根的存在与否,与它的判别式大于、等于或小于零有关。学生掌握了这些知识,就具备了解极值问题的工具。下面列举一些例题,说明如何运用数学知识找出极值。一、抛物线顶点坐标法这一类问题的所得出的代数方程,呈代     

高中物理中的极值问题

物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容,也是学生最棘手的问题,因为极值问题涉及的知识面广,综合性强,无可争议地成为中学生学习物理的难点之一。极值问题在各种试题中出现的频率很高,形式也多种多样,有选择题、有填空题也有计算题。这些问题既要用到较为复杂的数学知识,也会用到难于理解物理临界问题。对学生的综合能力要求很高,学生要解这些问题既要有合理的分析思路也要有很强的综合知识和相应的能力,为了适应这一要求,对求极值问题必须有系统的认识和理解。     

高中物理中的极值问题

<正>对物理极值问题的探索和求解,经常用到的数学知识有:三角函数知识和基本不等式,还要有很强的物理分析思维。知道物理过程中的临界条件等相关知识,有关求极值的方法常见有:二次函数法、不等式法、几何法、三角函数法、物理临界条件法、图象法等。有关极值问题出现的频率很高,出现的机会更多。本文主要就数学方     

高中数学中的极值问题

<正>在高中数学中,有一类题目是关于函数的,而在函数中,求解函数的极值和根据函数的极值来求解问题又占了很大的比例,因此有必要谈谈函数的极值的解法和类型。一、求简单函数的极值例1求下列函数的极值:(1)f(x)=x²e2e^(-x);(2)f(x)=2x/x(-x);(2)f(x)=2x/x²-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe2-2。解:(1)函数的定义域为R,f′(x)=2xe^(-x)-x(-x)-x²e2e^(-x)=x(2-x)e(-x)=x(2-x)e^(-x),令f′(x)=0,     

热学中的极值问题

在热学习题中经常遇到内容丰富，难度较大和技巧性较强的物理极值问题，这些问题应用常规方法往往解决不了，并且最容易导成错解的现象，解决这些问题可用物理分析法和数学法解决．     

中学物理中的极值问题

在高中物理中,常常会遇到一些有关极值的问题。多数学生对此往往感到困惑,因为一方面要根据具体情况分析物理过程,建立恰当的物理量之间的关系式,明确所要求的极值条件,另一方面,又要运用一定的数学手段,确定对应的结果。学会运用数学工具处理物理问题,是中学物理...