对教材中点到直线的距离公式推导的建议

人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三…     

平面区域问题

在高中数学竞赛大纲中 ,二元一次不等式表示的区域是平面解析几何的一个重要组成部分 .这类问题主要包括区域的确定、区域面积的计算、区域型最值的求法、区域内整点(横、纵坐标均为整数的点 ,下同 )的计数等 .一、基础知识在直角坐标平面内 ,直线ｌ可以用二元一次方程Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0来表示 ,点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在直线ｌ上的充要条件是Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ;若点Ｐ不在直线ｌ上 ,则Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ >0或Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ <0 ,二者必居其一 .直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0将平面划分为两个半平面Ａｘ Ｂｙ Ｃ >0和Ａｘ Ｂｙ Ｃ <0 ,位于同一…     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

直线开放应用问题例析

直线是解析几何中最简单的曲线,也是学好解析几何的基础,这类问题有许多源于生活, 常与多种数学知识点相联结,具有较强的综合性、应用性和开放性．下面介绍几例．例1 一河流同侧有两个村庄A、B,两村庄计划在河上建一个水电站供两村使用,已知 A、B两村到河边的垂直距离分别为300米和 700米,且两村相距500米,问:水点站建于何处,送电到两村的电线用料最省．分析:以河流所在直线为x轴,y轴通过点 A,建立直角坐标系,则点A(0,300),B(x,700),设点B在y轴上的射影为H,则x=|BH|=     

高考解几对称性试题的归类及其解法

近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1　 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关…     

再谈点到直线距离公式的推导

现行高中《平面解析几何》课本中关于“点到直线的距离公式”的推导是教学中的一个难点,如何突破这一教学难点?文〔1〕介绍了优于课本推导的一种简洁推导法,读后受益匪浅.受此启发,笔者又找到了优于课本推导的一种推导新法,并且还顺便得到了点Ｐ(ｘ0,ｙ0)关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0的对称点的坐标公式,现简介如下,供大家参考.设Ｍ(ｘ,ｙ)为直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0上的任意一点,由点到直线的距离的定义易知,点Ｐ(ｘ0,ｙ0)到直线ｌ的距离ｄ=|ＰＭ|ｍｉｎ,从而求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ就转化为求目标函数:｜ＰＭ｜=(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2(1)在约束…     

对应用题“水电站的位置”的思考

1 问题的引出 在文[1]中,介绍了“水电站的位置”的应用性问题: 小河的同侧有两个村庄A,B,两村庄计划于河上共建一水电站发电供两村使用,已知A,B两村到河边的垂直距离分别是300m和700m且两村相距500m。问水电站建于何处,送电到两村电线用料最省?     

点与直线关系的一个应用

已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1　证明　设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) .　　若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即　　　Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ;　　若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2　应用例 1　已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直…     

关于复平面上的一种轴反射变换及其应用

本文介绍了一种复平面上的轴反射变换 ,并举例说明把坐标平面上的有关求轴对称点坐标的问题 ,转化到复平面上来解决 ,可以使运算变得简捷 .为行文方便 ,我们约定文中所用大写字母既表示复平面上的点 ,也表示相应的复数 .定理　设Ａ、Ｂ为复平面Ｃ上的两个不同点 ,过Ａ、Ｂ两点的直线为ｌ ,则以直线ｌ为轴的轴反射变换是ｆ(Ｐ) =Ｂ-Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ- Ａ) Ａ (Ｐ ∈Ｃ) .( )　　证明　记Ｐ′ =ｆ(Ｐ) ,∵　 (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′) (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′)=( Ｂ - Ａ)〔(Ｐ -Ａ) - Ｂ -Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ - Ａ)(Ｂ -Ａ)〔( Ｐ - Ａ) - …     

直线与线段相交时参数范围的一种简便求法

在学习解析几何时,常常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,这里先介绍一个简单结论,从而简捷地解决此类问题.定理　若直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0(Ａ2 Ｂ2≠0)与Ｐ1(ｘ1,ｙ1),Ｐ2(ｘ2,ｙ2)为端点的线段相交,则(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ)≤0.证　设直线ｌ与线段Ｐ1Ｐ2相交于点Ｐ(ｘ,ｙ),不妨设Ｐ不重合于Ｐ2,点Ｐ内分线段Ｐ1Ｐ2—的比为λ,则λ≥0,由定比分点坐标公式,得ｘ=ｘ1 λｘ21 λ,　ｙ=ｙ1 λｙ21 λ.∵　点Ｐ(ｘ,ｙ)在直线ｌ上,∴　Ａ·ｘ1 λｘ21 λ Ｂ·ｙ1 λｙ21 λ Ｃ=0,整理,得　Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ=-λ(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ).…     

错在哪里

1　山东省惠民县第四中学　任秀忠　(邮编 :2 51 70 0 )题　已知定点Ａ( 0 ,-1 )、Ｂ( 0 ,3)、Ｃ( 3,3) ,以Ｃ为一焦点作过Ａ、Ｂ两点的椭圆 :( 1 )求椭圆的另一焦点Ｄ的轨迹Ｇ的方程 ;( 2 )过点Ａ的直线ｌ交轨迹Ｇ于Ｐ、Ｑ两点 ,若ＰＱ之长等于轨迹Ｇ的离心率的 3倍 ,求直线的     

如何发挥课本功能的思考

素质教育的主渠道是各学科的课堂教学 ,而课本则是演好课堂教学这台戏不可或缺的剧本。教师必须认真钻研课本 ,熟悉“剧本”规定的场景、台词 ,甚至于潜台词 ,挖掘、发现、把握课本提供的每一个教材与素质教育的结合点 ,才能发挥好课本功能 ,把素质教育的任务落到实处。　　高中平面解析几何在讲到怎样求点Ｐ(ｘ0 ,ｙ2 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离时 ,提出一种“思路自然”的方法 :设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ’ ,垂足为Ｑ ,写出ｌ’的方程 ,然后由ｌ与ｌ’的方程求出点Ｑ的坐标 ,再根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的…     

函数与几何结合的综合题

中考数学试题中经常出现函数与平面几何相结合的综合题 ,解这类题要求考生能灵活掌握函数的性质与平面几何图形的特征及相关知识 ,其基本思想是“数形结合” .图 1例 1　如图 1 ,Ａ、Ｂ是直线ｌ上的两点 ,ＡＢ =4ｃｍ ,过ｌ外一点Ｃ作ＣＤ∥ｌ,射线ＢＣ与ｌ所成的锐角∠ 1 =6 0°,线段ＢＣ =2ｃｍ .动点Ｐ、Ｑ分别从点Ｂ、Ｃ同时出发 ,Ｐ以每秒 1ｃｍ的速度沿由Ｂ向Ｃ的方向运动 ,Ｑ以每秒 2ｃｍ的速度沿由Ｃ向Ｄ的方向运动 .设Ｐ、Ｑ运动的时间为ｔ(秒 ) ,当ｔ>2时 ,ＰＡ交ＣＤ于点Ｅ .( 1 )用含ｔ的代数式分别表示ＣＥ和ＱＥ的长 ;( 2 )求…     

作图题在中考命题中的新变化

近两年 ,中考数学作图题出现了一些设计巧妙、形式多样的新题 ,体现了新形势下中考命题的新特点 .图 1例 1　如图 1 ,一辆汽车在直线形的公路ＡＢ上由Ａ向Ｂ行驶 ,Ｍ、Ｎ分别是位于公路ＡＢ两侧的村庄 .( 1 )设汽车行驶到公路ＡＢ上的点Ｐ位置时 ,距离村庄Ｍ最近 ;行驶到点Ｑ位置时 ,距离村庄Ｎ最近 ,请在图中的公路ＡＢ上分别画出点Ｐ、Ｑ的位置 (保留画图痕迹 ) .( 2 )当汽车从Ａ出发向Ｂ行驶时 ,在公路ＡＢ的哪一段上距离Ｍ、Ｎ两村庄都越来越近 ?在哪一段上距离村庄Ｎ越来越近 ,而距离村庄Ｍ却越来越远 ?(分别用文字表述你的结论 ,不必…     

二次函数应用题

我们把通过建立二次函数来解决的实际问题 ,称为二次函数应用题 .在 2 0 0 0年各地中考试题中 ,这类题型设计新颖 ,别出心裁 .本文通过典型试题 ,介绍这类试题的命题特点及解题策略 .图 1例 1　某幢建筑物 ,从 1 0米高的窗口Ａ用水管向外喷水 ,喷出的水流呈抛物线状 (抛物线所在平面与墙面垂直 ,如图 1 ) .如果抛物线的最高点Ｍ离墙 1米 ,离地面403米 ,则水流落地点Ｂ离墙的距离ＯＢ是 (　　 ) .(Ａ) 2米　 (Ｂ) 3米　 (Ｃ) 4米　 (Ｄ) 5米(2 0 0 0年浙江省绍兴市中考题 )分析　如果以ＯＢ为ｘ轴 ,ＯＡ为ｙ轴建立直角坐标系 ,则Ａ点坐标为 (…     

2001年广东省高考数学第21题的拓广

20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) .　　　　　图 1证明　如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .…     

直线划分平面区域的应用

直线划分平面区域的应用西安铁路成人中专谢日勤陕建第一子弟中学吴明霞定理在平面直角坐标系中，直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（不妨设Ａ＞０，Ｂ＞０为直线ｌ；Ａ＞０，Ｂ＜０为直线ｌ′）上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）使得Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ＝０；直线上方的点Ｐ（ｘ０，ｙ０），...     

2002年高考数学(全国卷)解答纵览

一、选择题【理科】1 .圆 (ｘ -1 ) 2 ｙ2 =1的圆心到直线 ｙ =33ｘ的距离是 (　　 ) .Ａ .12 　　Ｂ .32 　　Ｃ .1　　Ｄ .3基本解法 :由点到直线距离公式 ,知圆心 ( 1 ,0 )到直线 3ｘ -3ｙ =0的距离ｄ =33 9=12 ,故选Ａ .巧思妙解 :如图 1 ,可得圆心Ａ到直线ｌ的距离 |Ａ     

例谈向量在求曲线方程时的应用

在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1　过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析　以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设…     

点线距公式的简捷证明

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2