中点四边形

A BCDEFGH图1中点四边形是指顺次连结四边形各边中点所得的四边形.中点四边形的形状与原四边形的两条对角线有着十分密切的联系.为了说明这一点,请看下面的几个例题.例1如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.试判断四边形EFGH的形状.解析:因为点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,所以为了能充分利用这一条件,可以连结AC.于是在△ABC中,EF是中位线,则EF∥AC,且EF=12AC;在△ADC中,HG是中位线,则HG∥AC,且HG=12AC.所以ABCDEF GH图2ABCDEFGH图3EF∥HG,且EF=HG.所以四边形EF…     

对角线——中点四边形的锚

我们先来看教材上一道题目:题目如图1,在四边形ABC D中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?我们把四边形E FGH叫做四边形ABCD的中点四边形,从课本上知道,中点四边形EFGH是平行四边形.同学们是否思考过下列问题:1.为什么任意四边形的中点四边形都是平行四边形?2.中点四边形的周长和面积与原四边形的周长和面积有什么关系?3.中点四边形能否为特殊的平行四边形(矩形,菱形,正方形)呢?23在学习和探索中,同学们可以发现:对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边…     

“顺次连结四边形各边中点所得四边形”问题的探讨

初中二年级几何教材中曾对“顺次连结四边形各边中点所得四边形”问题进行了探讨,该问题是借助于三角形中位线定理来解决的,其结果是平行四边形,但随之而来的问题是:如果顺次连结平行四边形(或矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形)这些特殊四边形各边中点,所得的四边形又是什么图形呢?如果我们能抓住此类问题的内在根源,就会得到规律性方法,而且判断起来快捷有效.其实,所得图形形状完全与原图形两条对角线的关系有     

从《梯形》中一道习题得出的重要结论

在平时的学习中,同学们如能对课本上的习题认真思考,归纳总结,就能够开阔解题的思路,在解题中举一反三.本文以《梯形》中的一道习题为例,加以说明.题目(人教版《几何》第二册第189页第2题)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,EF分别交BD、AC于G、H.求证GH=12(BC-AD).证明:∵AE=EB,DF=FC,∴EF∥AD∥BC.∴AH=HC,BG=GD.∴FH=12AD,FG=12BC,GH=FG-FH=12(BC-AD).我们已经学习了梯形的中位线定理:连结梯形两腰中点的线段平行于两底,并且等于两底和的一半.仿照中位线定理,对上面的题目略加改变,就可以得…     

中位线定理与中点四边形

<正>人教版教科书数学八年级下第132页的数学活动,是研究有关中点四边形的问题.其实中点四边形就是依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形,它是什么图形?通过探究我们发现它的形状始终是个平行四边形,下面对这个结论进行证明和讨论.【例1】已知:如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.     

巧用三角形中位线定理解题

掌握三角形中位线定理是理解三角形中位线概念的关键。利用这一定理,可巧妙地解决许多有关四边形的问题,现举例如下: 1.顺次连接四边形各边的中点,所得的四边形是平行四边形。如图:在四边形ABCD中,E、F、G、H为各边中点。要证四边形EFGH为四边形,则可连接AC,利用三角形中位线定理,证得HG∥EF。故四边形EFGH为平行四边形。     

平行四边形的判定

<正>为帮助同学们顺利解决有关平行四边形的判定问题,这里介绍几种思维方法.一、数个数,把握概念例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,E、G、F、H分别为AD、AB、BC、CD上的点,且GH∥AD,EF∥AB,EF、GH相交于点O,则图中共有哪些平行四边形?分析平行四边形的定义是,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.根据这个定义,利用题中的已知条件AB∥CD,AD∥BC,GH∥AD,EF∥AB即可找出图中的平行     

揭秘"中点四边形"

如图1所示,已知四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:这是一道经典的题目,综合考查了三角形的中位线、特殊四边形的性质与判定等知识.要判定是否为平行四边形,通常考虑"一组对边平行且相等"或"两组对边分别平行(或相等)"等判定方法,这些通过三角形的中位线定理极易得出.     

用梅涅劳斯定理解立几题一例

如图,平面四边形EFGH的顶点E、F、GH分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。若E、G分别是对边AB、CD中点,FC:FB=3:2,求HD:HA=? 解:在平面β中,延长FE,CA交于P,则P点为CA与平面EFGH的交点,在平面α中延长CA、GH交于P’,则P’也是直线CA与平面EFGH的交点。∴ P和P’点重合。在平面β中,由梅涅劳斯定理 FC/FB·EB/EA·PA/Pc=1. ∵FC:FB=3:2,EB=EA, ∴PA:PC=2:3。在平面α中,同理有GC/GD·HD/DA·PA/PC=1。∵GC=GD,PA:PC=2:3 ∴HD:HA=3:2。     

由一道几何题所想到的

如图1，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．证明连结BD．在△ABD中，EH为△ABD的中位线四边形EFGH为平行四边形．这是一个很简单的几何命题，可叙述为任意四边形四边中点的连线构成平行四边形．这时有些同学会想到，四边形各边中点的连线能否构成菱形？这个四边形应有什么特点？我们已经证明任意四边形四边中点的连线构成平行四边形，在平行四边形的基础上增加一个怎样的条件就能成为菱形呢？根据定义，只要在平行四边形的基础上增加“邻边相等”的条件，平行四边形就成为菱形．如图2所…     

一道例题的拓展

在北师大版课本的第 80页《做一做》中提到这样的一个问题 :如图 1,任意一个四边形ABCD ,顺次连结四边的中点 ,得到一个新的四边形EFGH ,问这个四边形的形状有什么特征 ?并证明你的结论 .这个问题的解决并不困难 ,我们可以证明出四边形EFGH为平行四边形 .但我们不能停留解决这个问题的表面 ,应进一步思考这道题 :从运动的角度来看待这个问题 ,保持A ,B ,D不动 ,让C点运动起来 ,请问当C点运动到何处时 ,四边形EFGH为菱形 ?同学可以动手画画看 !如图 2 ,问题的解决并不困难 (解答留给同学们 ) ,只要使得AC=BD就可以了 .但是细心的同…     

与《四边形》有关中考题析解

四边形的有关知识可分为三个单元:四边形、平行四边形和梯形.仔细分析近两年的中考数学试题,与四边形有关的试题可分为低、中、高档题,命题形式有填空题、选择题、解答题、探索题、证明题等等.仔细分析2005年各地的中考数学试题,有关《四边形》的题目主要有以下几个方面,下面我们结合具体的题目进行分析(所选例题均为2005年各地的中考题):1直接考察定义、性质和判定定理《四边形》中包括一般四边形、平行四边形及三种特殊的平行四边形和梯形,近两年的考题中往往给定某种四边形的部分条件,让同学们根据定义、性质和判定定理选择、补充条件使…     

例题教学中的四点“反思”

例题是教材的核心内容。概念的形成、规律的揭示、技能的训练、智能的培养,往往要通过例题教学来完成,例题教学是课堂教学的重要环节。如何充分发挥例题的教学功能,美国著名数学教育家波利亚在总结出的解题的四个步骤中,第四步就是“回顾”。笔者认为:所谓“回顾”,就是在讲解例题后的“反思”。下面结合一道数学例题的教学,谈一点粗浅的看法。例,已知:如图1,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。证法(一):连结AC,∵AH=HD,CG=GD。∴HG∥AC,。同理EF∥AC,;∴EF∥GH,EF=GH…     

与初中同学谈数学问题的探讨过程(一)

解完“顺次连结平行四边形各边中点,所得到的四边形,还是平行四边形。”(如图1,E、F、G、H分别是◇ABCD的各边中点)后,联想到在小学就画过“顺次连结正方形各边中点,得出来的图形还是正方形”的图(如图2),不禁产生一个问题:既然当四边形ABCD是斜平行四边形时,四边形EFGH也是斜平行四边形;当ABCD是正方形时,EFGH也是正方形;那么,当ABCD是某种四边形时,EFGH是否也是同种的四边形?     

中考数学开放性问题的解决策略

开放型问题重在开发思维,促进创新,是近年来中考综合题的热点.考题灵活,需要考生牢固掌握、灵活运用基础知识,通过观察、比较、分析、联想、概括、归纳、判断、推理等一系列的探索活动,寻求隐含的条件或结论,从而达到解决问题的目的.开放型问题大致有以下几种类型:1条件开放这类问题的解法类似于分析法,假定结论成立,逐步探索其成立的条件.例1如下图,在梯形ABCD中,AB//DC,E、F、G、H分别是梯形ABCD各边的中点,当梯形满足条件时,四边形是EFGH菱形(填上你认为正确的一个条件即可).分析连结AC、BD由三角形的中位线定理易证四边形EFG…     

“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

重视变式训练 培养思维能力

题目[高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(下A)P10例1]已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD上的点,且CF/CB=CG/CD=2/3,求证四边形EFGH有一组对边平行但不相等.证明过程,参见课本. 为了充分发挥课本例题的功能,激发学生     

梯形中平行四边形的面积最大问题

<正>1问题问题如图1,梯形ABCD中,AD//BC,AD=a,BC=b(a相似文献   

对课本中的“思考与探索”的再思考、再探索

在苏科版数学九（上）第32页的“思考与探索”中,我们得到结论“依次连结一个任意四边形各边中点,所得到的四边形一定是平行四边形”,即如图1,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为各边的中点,则四边形EFGH是平行四边形．这里综合地考察了“三角形中位线性质定理”和“平行四边形的判定定理”．     

一道例题结论的探索

九年义务教材初中《几何》第二册第179页有这样一道例题：求证：顺次连结四边形四条边的电发,所得的四边形是平行四边形．已知：如日1,在四边形ABCD中,E、F、C、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明连结AC．AH＝HD,CC＝CD,HC／／＊c．HC一七＊C‘“一’““一2““一（三角形中位线定理）．同理EF／／AC,EF＝HAC．HC／／EF．所以四边形EFCH是平行四边形．这个命题可以用语言叙述为：任意四边形四边中点的连线构成平行四边形．我们分析这个例题的证明过程,会发现我们作的辅助线（…