顺思逆想1,2,3,6

我们知道,1,2,3,6这四个数中,任意三个数的和是第4个数的倍数,不信,可以一一验算:1+2+3=6,1+2+6=9,1+3+6=10,2+3+6=11,分别是6,3,2,1的倍数.推而广之,四个不同的自然数a,2a,3a,6a(a是任一非零自然数)中,任意三个数的和是第4个数的倍数.现在我们逆过来思考:     

代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

一个命题的再推广

文 [1 ]将命题 :对任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) n=m +1 -m作如下推广 :1 .对任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) n=m +1 -m .2 .对任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) n=m +rn-m .笔者将此命题再作如下推广 :1 .对于任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) -n=m +1 +m .2 .对于任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) -n=m +1 +m .3 .对于任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) -n=m +rn+mrn .下面证明推广 3 .证明 :因为 (p +r -p) n(p +r -p) -n=1 ,而由文 [1 ]知(p +r -p) n=m +rn-m .所…     

证明自然数互质一法——介绍辗转相除法

证明两个自然数互质,通常是用反证法,本文介绍另一种重要方法——辗转相除法。下面通过几个例子说明。例1,求证:相邻两个自然数必定互质。证明:设相邻的两自然数为n、n+1, 用n除n+1得余数r_1=1,再用1除n得余数r_2=0,∴(n,n+1)=r_1=1故相邻故相邻两个自然数必定互质。例2,求证:相邻两个自然数的平方和与这两个数的和互质(杭州大学编,《中学数     

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…     

第2006个数是多少

问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)…     

变换角度 建模求和

对n个自然数平方和公式12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6的推导,参考书中采用“迭加法”是无可非议的,但根据素质教育的新理念,我们应对一个问题从多角度、多层次去思考,对一个事物从多方面去解释,对一个对象用多种方式去表达,以期对问题认识得更深刻、更全面.因而,变换角度,构建正方形表格模式推导自然数平方和公式是必要的.※推导一※(1)通过观察、归纳,并运用高斯求和公式,发现每个自然数的平方有如下规律:12=1,22=1+2+1,32=1+2+3+2+1,……n2=1+2+3+……+(n-1)+n+(n+1)+……+3+2+1.平方数转化为自然数和的形式,状如“金字塔”.(2)建模.为…     

怎样求连续数的个数

一、连续自然数的个数是:尾数-首数+1。例如,自然数1,2,3,……,100的个数是100-1+1=100(个)。又如,自然数10,11,12,……,206的个数是206-10+1=197(个)。二、连续奇数或连续偶数的个数是:(尾数-首数)÷2+1。例如,连续奇数1,3,5,7,9,11,13,11,15的个数是(15-1)÷2+1=8(个);25,27,29,……,99的个数是(99-25)÷2+1=38(个)。又如,连续偶数12,14,16,……,108的个数是(108-12)÷2+1=49(个);100,102,104,……,200的个数(200-100)÷2+1=51(个)。三、差数相同的连续自然数的个数是:(尾数-首数)÷差数+1。例如:差都是3的自然数1,4,7,……,247的个数是(2…     

一道2001年春季高考题的歧义

在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,a_n,使这n十2个数成等比数列:又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a1a2a3…a_n,B_n=b1+b2+b3+…+b_n. (I)求数列{A_n}和{B_n}的通项; (Ⅱ)当n≥7时,比较A_n与B_n的大小,并证明你的结论. 这是2001年春季高考题20题,其中第一问中求{B_n}的通项,这是一个较容易解决的问题: 因为1,b1,b2,b3,…,b_n,2成等差数列, 所以b1+b_n=1+2=3, 所以B_n=b1+b_n/2·n=3/2n.     

喜迎2005

值此2005新年来临之际,特拟一组与2005有关的新年趣题, 供大家演练. 1.设a,b,c,d是0～9之间的整数,且2005=abcd-abc- ab-a,则abcd=　　. 2.若an表示7n的末两位数,求a1+a2+…+a2005. 3.计算:200420042004200520052005-2004200420052005. 4.计算:1-1 1-1 …1-1 1-20042005 (共有2005层分数线). 5.已知十位数2005xy5002能被99整除,其中x,y都是阿拉 伯数字,求x和y的值. 6.设x1,x2,…,x51都是自然数,x1相似文献   

灵活巧用求和公式

从1到n这n个连续自然数的求和公式为1+2+3+…+n=n(n+1)/2.灵活巧用它,一些问题的解答可变得简易、迅捷.现举例如下:一、有理数计算问题例1计算1+2+…+98+99+98+…+2+1/99×99.解析:分子是197个数相加,其中前98个加数是从1开始顺数加到98,后98个加数是从98开始倒数加数1,那么     

解题小品——探骊寻珠

例1设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1、3或4．求证：a2n（n=1,2,…）是完全平方数．     

一类余数问题的简单解法

贵刊在2002年第11期发表的《奥赛中的“余数问题”解法例析》及2004年第1期的，《新年趣题巧解》都涉及到1^2 2^2 3^2 … n^2型的和(其中n=2002或=2004)被某个自然数k(约定：这里所指的自然数不含零，下同)除的余数问题，     

代数式(之六)

前面,我们由(a+b)2=a2+2ab+b2这个很简单的公式出发,居然推导出从1开始的前n个自然数的和,平方的和.立方的和,即     

一九八○年合肥市、淮南市中学生数学竞赛试题及参考解答

一、证明等式:ina。inZa。in3a=0.8对a为任何值都不成立 证明:‘.’。ina。in3q=士(eo、Za一eo、4a) 则。ina,inZ a oin3a=含、inZa(eo公Za一eo;4a) =去。云n4a一士。inZ a eoo4a<十+士=0.75 .’.,iu a oinZ a oin3a== 0.8对a为任何值都不成立1)一l)二、求证:(23一1)(23+1)(33一1)(3”+1)(43(4“+(n3一1)(刀3+1) 2:二一. 3”2+n+1刀(n+1)其中。是大于1的自然数证明:,.’(n+l),一(n+1)+1二nZ+儿+1.’.左式_(2一1)(3一1)(4一1)··一(n一1)(22+2+i)(32+3+z)一(2+1)(3+i)(4+i)……(n+l)(22一2+1)(3“一3+i)_]·2·3……(n一1)(2:+2+1)(32+3…     

自然数方幂求和的比较法

自然数方幂求和的方法较多,为了使其方法更为初等化,本短文采用比较法作一尝试,简单介绍为下: 大家知道,若a/b=m(b≠0)则a=mb (1) 这是四则运算中一个基本公式。又自然数列求和公式1+2+3+……+n=1/2n(n+1) (2)是数列的一个最基本的求和计算公式。我们就从这两个基本公式出发,来探求自然数方幂的求和方法。把公式(2)前K(K=1,2,…)项和所组成的数列:     

判定M=n(n+1)的若干方法

本文介绍判断一个自然数是否等于两个相邻自然数之积的若干方法,供参考。一、末位数法根据“相邻两自然数之积的末位数只能是0、2、6”可以判断一个自然M不等于相邻两自然数之积,只须证明M的个位数不是0、2、6。例1.求证对于任意自然数n,n~2+n+1都不能被25整除。证明:因为n~2+n+1=n(n+1)+1的末位数只能是 1、3、7,所以n~2+n+1不能被5整除。故对任意自然数n,n~2+n     

一类既约分数的和

本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S_a(本文中m,n,a是已知的自然数,m相似文献   

巧用数学思想解答数列问题

1.归纳思想归纳思想是数列学习过程中的重要思想方法之一,教师要重视学生观察、发现、猜想、归纳等学习过程的体验,强调归纳思想的具体运用.例1写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30……的一个通项公式,并验证2563是否为该数列中的一项.解:数列每项由两个数的和组成,第1个数都是13,第2个数分别为2,6,12,20,30,……,都是两个连续自然数的乘积:1×2,2×3,3×4,4×5,5×6…….∴该数列的通项公式为an=13+n(n+1)(n∈N+).令13+n(n+1)=2563,即n2+n-2550=0,解得n=50或n=-51(舍去).     

圆锥曲线轨迹探求方法

例差数列;(3)若C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求Sn的最小值.解(1)∵P1(3,0),则a1=OP12=9.又S3=3a1+3d=162,则d=45,a3=a1+2d=99=OP32.令P3(m,n),则有m29-n2=1,m2+n2=99.解得m2=90,n2=9,即mn==±±33姨10,.∴符合条件的一个P3的坐标为(3姨10,3).(2)已知数列a n成等差数列,当n≥2时,an-an-1=OPn2-OPn-12=(xn2+yn2)-(xn-12+yn-12)=(xn2-xn-12)+(yn2-yn-12)=xn2-xn-12+2p(xn-xn-1)=d.∴n≥2时,(xn+p)2-(xn-1+p)2=xn2-xn-12+2p(xn-xn-1)=d.∴数列{(xn+p)2}为等差数列.例1已知F1,F2是椭圆x2a2+y2…