《整式的乘除》中隐含的思想方法

《整式的乘除》一章中隐含有一些重要的数学思想方法，活用它可给解题带来很大的帮助．一、字母表示数的思想方法同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，都是从一些具体的数开始，然后用字母表示数而得出一般性的结论．这种用字母表示数的思想方法，在解题时可起到化繁为简的作用．例１计算：２００１２０００２２００１１９９９２＋２００１２００１２－２的结果是．解：设２００１２０００＝x，那么原式＝x２（x－１）２＋（x＋１）２－２＝x２（x２－２x＋１）＋（x２＋２x＋１）－２＝１２．二、整体思维的思想方法乘法公式中的字母…     

梯形面积公式的应用

梯形面积公式又称“万能”公式，利用这个公式不但能求出梯形面积，还能解决一些其它问题。一、进行等差数列加法的速算在这里，我们是把数列的头、尾数看作梯形的上、下底，个数看作高来计算。例１１＋２＋３＋４＋５＋６＝（１＋６）×６÷２＝２１。例２３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＝（３＋１５）×７÷２＝６３。二、计算长方形的面积例３有一块长方形土地，长３５米，宽２０米，面积是多少平方米？分析与解：把长方形的一组对边看作梯形的上、下底，把邻边看作梯形的高来计算。（３５＋３５）×２０÷２＝７００（平方米）。三、…     

多方位考虑问题

多方位考虑问题，是克服思维 定势影响的一条重要途径。 在教学中，教师可讲些科学家巧动脑筋的故事，如高斯计算“１＋２＋３＋…＋１００”时想到：１＋１００是 １０１，２＋９９是 １０１，一共有 ５０个 １０１，答案就是５０５０。这对学生是很有启发意义的。 还可在课堂上经常做些脑筋急转弯的智力游戏，学生便容易克服思维定势的影响。如为了考察学生对三角形三边的关系是否掌握得好，教师可出一题：“求三边长分别为 ６ｃｍ，５ｃｍ，１ｃｍ的三角形的周长”，有学生马上说：“１２ｃｍ，有的学生更正道：“这样的三角形不存 在。…     

例述数学中的整体思想

数学中的整体思想，简单地说，就是把一个代数式看成一个数或一个项来对待的思维模式，使思维由个体形式上升到整体形式。数学解题中的整体思想，不仅是一种解题技巧，更是一种数学能力。下面拟从几个实例中浅述整体思想在数学解题中的应用。 例１ 解方程组： 分析：解三元一次方程组的一般方法是先消去一个未知数，化成二元一次方程组，解出二元一次方程组，进而求出三元一次方程组的解。本题运用整体思想，①＋②＋③得 ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５，再分别将①、②、③整体代入，可依次求出ｚ、ｘ、ｙ。 解：①＋②＋③得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５。④ ①…     

强化函数y=x p/x的综合思维意识

函数ｙ＝ｘ＋ｐｘ（ｐ＞０,以下不再说明）在高考题中的应用,可谓出神入化,但对应试者来说却是望难兴叹．为此本文提出：要攻克综合试题难关,必须强化综合思维意识,即把五大数学思想有机地组合起来,既各司其职,又充分发挥其整体的功能．１　图像意识由ｙ＝ｘ＋ｐｘ变形得ｘ２－ｘｙ＋ｐ＝０,利用一般二元二次方程的判别式得Ｂ２－４ＡＣ＞０,并注意到ｐ＞０,故其图像为双曲线,且渐近线方程为ｘ２－ｘｙ＝０,即ｘ＝０和ｙ＝ｘ．又由基本不等式得｜ｙ｜＝ｘ＋ｐｘ＝｜ｘ｜＋ｐ｜ｘ｜≥２ｐ,当且仅当ｘ＝±ｐ时等号成立,知其顶点…     

如何选用因式分解的方法

因式分解的方法多,技巧性强,这就要求我们在解题时要根据不同的题目,进行具体分析,灵活选用因式分解的方法．例谈如下：一、多项式为二项式,如果有公因式,要先提公因式,再试用平方差公式或立方和、立方差公式。例１分解因式：（３）１６（ａ－ｂ）２－９（ａ＋ｂ）２．分析（１）可把８１ａ４看作一个整体,连续应用平方差公式;（２）提公因式后用立方差公式;（３）把１６（ａ－ｂ）２和９（ａ＋ｂ）２看成两个整体,原多项式则可看成二项式,利用平方差公式分解因式．解（１）原式＝（９ａ２＋ｂ２）（９ａ２－ｂ２）＝（９ａ２＋…     

关于《因式分解》的对话

学生什么叫做因式分解？它与因数分解有什么联系和区别？教师因式分解是对多项式而言的．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或叫做把这个多项式分解因式．例如把ａ～２－ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ），即ａ～２－ｂ～２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）就是把多项式ａ～２－ｂ～２因式分解；又如把多项式ａ～２＋２ａｂ＋ｂ～２变形为（ａ＋ｂ）～２，即a～２＋２aｂ＋ｂ～２＝（ａ＋ｂ）～２就是把多项式ａ～２＋２aｂ＋ｂ～２因式分解．由此可知，多项式的因式分解的过程是由和到积的过程，结果是几个整式的积…     

换元法在因式分解中的应用

所谓换元法，就是把某个代数式看成一个新的未知数（元）来实行变量替换，其实质就是转化．通过转化常能化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉．下面通过实例加以说明．一、整体换元例１分解因式：（ｘ２＋ｘ－１）（ｘ２＋ｘ－３）－１５．分析我们可视ｘ３＋ｘ－１为整体，令其为ｙ，则ｘ２＋ｘ－３＝y－２．这样便转化为我们所熟悉的二次三项式．解令ｘ２＋ｘ－１＝ｙ，则原式=ｙ（ｙ－２）－１５=Ｙ２－２ｙ－１５＝（ｙ－５）（ｙ＋３）=（x２+ｘ－６）（ｘ２+ｘ＋２）＝（ｘ－２）（ｘ＋３）（ｘ２＋ｘ＋２）．注也可视Ｘ２＋Ｘ或Ｘ２＋…     

一题多变 拓展思维

“一题多变”是启迪思维，训练思维灵活性和深刻性，提高解题能力的常用方法．下面以一道代数题为例进行“一题多变”．例把ｘ２－２ｘ－１５分解因式（初二代数Ｐ３５）．解原式＝（ｘ－５）（ｘ＋３）．就这么一道简单的例题，可以从下面几个方面来变：１．改变字母的指数．把二次项ｘ２变成ｘ４或ｘ６，则一次项ｘ相应地就要变成ｘ２或ｘ３．（１）ｘ４－２ｘ２－１５；（２）ｘ６－２ｘ３－１５．解（１）原式＝（ｘ２－５）（ｘ２＋３）．（２）原式＝（ｘ３－５）（ｘ３＋３）．２．改变字母的个数．把一个字母Ｘ变成两个字母ｃｙ或更…     

整式加减的整体处理技巧

在进行整式加减运算时,把注意力和着眼点放在问题的整体上,往往能收到事半功倍之效．现举例说明．例1计算：解原式说明把小括号内的各项视为一个整体,先去中括号,这样不仅使计算简便,而且还能避免因多次变号而出现错误．例2计算解原式例3计算：解原式一15＋2（－。）－（－a＋a’）＋（－a＋a’）－a’＝15＋2－Za－a’二17－Za－a3．说明例八例3中分别把（。＋y）和（1－a＋a’）看作一个整体,则可进行同类项合并,这样比先去括号再运算简便例4已知m－n＝3求4（n。－n）－3n。＋3n＋56｛J值．解原式一4（n;－n）－3（n。－l。）＋…     

分式求值的几种方法

对于某些分式求值的题目，若能根据其结构特点，选择适当的方法进行运算，常可使运算简便．举例如下：一、整体代入法例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝３，ａｂ＋ｂｅ＋ｃａ＝２，求　　的值．解原式＝例２若　　　　　　则　　（１９９４年天津市中考试题）解　设　　　　则ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝４ｋ．于是三、裂项相消法即把代数式的各项拆成符号相反的两项，利用正、负项相消消去一部分项，使剩下的项便于计算求值．例３　若　则解由已知条件可得ａ－１＝０且ａｂ－２＝０，于是ａ＝１，ｂ＝２．原式＝四、因式分解法例４已知（１９９０年四川省…     

运用整体思想解题例谈

所谓整体思想,就是从整体的角度出发去思考问题,把注意力和着眼点放在问题的整体上,或把一些相互联系的量视为一个整体来处理的思维方法．运用整体思想解题,应注意从全局着眼,全面、系统地观察分析整体与局部、整体与结构的关系,从而把握问题的本质,求得解题捷径．例1化简5（’－Zb）＋3（Zb－az）－Za’＋4b＋1．分析本题先去括号,再合并同类项,固然可以达到化简的目的,但若能观察到：Zb－a’二一（a’－Zb）,－Za’＋4b＝2（a‘－Zb）,把（ a‘－Zb）视为一个整体,则可迅速得出结果．例2已知代数式3m’＋5m＋l的值是3,…     

你出现过这样的错误吗

例１计算（１）a１２÷a４；（２）x３n＋４÷x３n＋１．错解：（１）a１２÷a４＝a３；（２）x３n＋４÷x３n＋１＝x３n＋４－３n＋１＝x５．剖析：同底数幂相除的法则是“底数不变，指数相减”．（１）式的计算中，错把“指数相减”变成了“指数相除”；（２）式的计算中，法则虽没有用错，但在３n＋１的外面没有加上括号，导致符号错误，正确答案是：（１）a８；（２）x３．例２计算：（－２x）４÷（－４x）３错解：（－２x）４÷（－４x）３＝犤（－２）÷（－４）犦·x４－３＝１２x．剖析：－２和－４是括号内单项式的系数，可将（－…     

抓好由加到乘的过渡 教好“表内乘法”

与２０以内的进位加法、退位减法一样,表内乘法是小学阶段计算的基础。依据教材的特点,教学中应注意以下几方面。一、由加到乘．初步认识条法的意义教学应清晰地体现如下认识过程：（１）在比较中发现特点。可先让学生计算几道加数不相同的连加法,然后引导学生用学具依次摆出３个２朵红花,并列式计算一共有几朵红花,得到２＋２＋２＝６,用同样的方法引导学生摆学具,列算式计算,又得到３＋３＋３＋３＝１２,４＋４＋４＋４＋４＝２０。接着进行比较,发现摆学具列算式的加数都是相同的。（２）初步认识乘法算式。发现特点后,让学生…     

数列求和的七种方法

一、拆项转化法先研究通项，抓住特点，确定拆项方法，把数列通过拆项，转化为等差或等比数列，然后求和．例１求和：（１＋１２）＋（２＋１２＋１４）＋（３＋１２＋１４＋１８）＋…＋（n＋１２＋１４＋…＋１２n）．解括号中式子的通项公式是an＝n＋１２＋１４＋…＋１２n＝n＋１２（１－１２n）１－１２＝（n＋１）－１２n，∴所求的和Sn＝犤２＋３＋４＋…＋（n＋１）犦－（１２＋１４＋１８＋…＋１２n）＝n２（n＋３）－１２（１－１２n）１－１２＝n２２＋３n２＋１２n－１．二、裂项相消法这种方法是把每项化积为差，化为两项，…     

平方差公式的逆向运用

平方差公式的代数式表示为（a＋b）（a－b）＝a２＋b２．在解题中，在熟练地掌握了它的正向应用后，还需注意它的逆向应用．例１计算x２＋ ２－x２－ ２．（２００１年广西区初中数学竞赛试题）解：原式＝x２＋ ＋x２－ x２＋ －x２－ ＝６x．例２乘积１－１２２ １－１３２ …１－１１９９９２ １－１２０００２ 等于（）．A．１９９９２０００B．２００１２０００C．１９９９４０００D．２００１４０００（２０００年重庆市初中数学竞赛试题）解：原式＝１＋１２ １－１２ １＋１３ １－１３ …１＋１１…     

看项数 选方法

从所给多项式的项数来选择因式分解的方法是一个行之有效的好办法．举例如下．１．二项式待分解的多项式是二项式，可以选择的方法有：直接应用平方差公式或立方和立方差公式．如果有公因式，先提取公因式．例１分解因式：（１）１６ｘ４－ｙ４；（２）３ｍａ４＋２４ａｍ；（３）４（ａ－２ｂ）２－９ｃ２．简析（１）可连续应用平方差公式；（２）先提取公因式后用立方和公式；（３）把４（ａ—２ｂ）２看成一个整体，原多项式仍可看成二项式，切不可盲目把括号展开．解（１）原式＝（４Ｘ２＋ｙ２）（４Ｘ２－ｙ２）＝（４Ｘ２＋ｙ２）（…     

注重运算能力培养思维品质

注重运算能力培养思维品质许兴花晋军一、在运算中培养思维的灵活性思维的灵活性表现为思维不刻板，能因题而宜，灵活应变。例１在Ｒｔ△ＡＢＣ中，斜边上的中线为１，周长为４＋６，求Ｓ△ＡＢＣ？解：设两直角边为ｘ，ｙ。则有ｘ＋ｙ＋２＝４＋６ｘ２＋ｙ２＝４２ｘｙ＝...     

证明不等式的又一方法—排序法

排序原理设有两组有序实数：ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ（ｎ≥２）,若Ｍ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ,Ｎ＝ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ－１＋…＋ａｎｂ１,Ｑ＝ａ１ｂｉ１＋ａ２ｂｉ２＋…＋ａｎｂｉｎ,式中ｂｉ１,ｂｉ２,…,ｂｉｎ是ｂ１,ｂ２,...     

充分发挥习题功能 优化学生思维品质

如何设计习题课教学,如何在习题课教学中有效地培养和开发学生的思维品质,是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题．本文试图从一道课本练习题的教学过程,谈谈习题课教学中培养学生思维能力,优化思维品质的一点粗浅体会．题目求证：ａ２＋ｂ２ｃ２＋ｄ２≥ａｃ＋ｂｄ...