一道国际奥赛题的再推广

第42届国际数学奥林匹克竞赛第2题为: 对所有正实数a、b、c,证明:a/a2 8bc b/ b2 8ca b/c2 8ab≥1. 很多文章对它进行了探索,文[1]、[2]用多种方法证明了如下定理1:     

一道日本奥赛题的推广

日本奥赛题：已知a、b、c为正数,求证：（b＋c-a）^2/（（b＋c）^2＋a^2）＋（c＋a-b）^2/（（c＋a）^2＋b^2）＋（a＋b-c）^2/（（a＋b）^2＋c^2）≥3/5 这道奥赛题是个热门题,很多人有过证明,但都过于繁杂,本推广证明简单并有一定的解题参考价值     

简证一道奥赛题的推广命题

第42届国际数学奥赛题第2题是: 对所有正实数a、b、c,证明:a/(√a2 8bc) b/(√b2 8ca) c/(√c2 8ab)≥1①     

一道数学奥赛题的推广

在文[1]中有2004年西部数学奥林匹克赛题,其中最后一题为:求证:对任意正实数a,b,c都有1＜a/((a~2 b~2)~(1/2)) b/((b~2 c~2)~(1/2)) c/((c~2 a~2)~(1/2))≤(32~(1/2))/2 (1)本文给出其推广形式,即有下面的命题:     

一道平几奥赛题的推广

2003年第44届国际数学奥林匹克试题4是一道几何题,试题如下: 试题[1] 设ABCD是一个圆的内接四边形,从点D向直线BC、CA和AB作垂线,其垂足分别为P、Q和R,证明:PQ=QR的充要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点.     

导数与基本不等式相结合推广一道奥赛题

例1设a＞1,b＞1,求证:a2/b-1 b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克题) 推广到一般情形有: 定理:对实常数k,a,若k＞1,且xi＞a＞0,n∈N,n≥2,则(规定xn 1=x1):n∑I=1x1i/xi 1-a≥nk(ka/k-1)k-1.① 分析:①式用纯不等式的一些初等方法证明几乎不可能;用纯导数的方法证明难度也比较大,因为它要用到n元函数的导数.但若能找到某个结合点,综合利用导数与基本不等式的方法可简单解决问题.     

两个美国奥赛题的证明

[译者注第33届美国数学奥林匹克于2004年4月27日和28日举行,美国<数学月刊>2005年第2期(季刊)刊出了第33届美国数学奥林匹克试题及解答,我们将此解答与<数学通讯>2004年第17期提供的解答相比较,看到赛题2、3解答差异较大,现翻译出来,供参考]     

值得探讨的一道奥赛题

贵刊2003年第8期上《从少到多推算寻规律》一文中,例举了这样一道小学数学奥林匹克竞赛题:北京的小朋友小京将自然数1~2008按以下格式排列:1摇2摇摇3摇摇4摇摇5摇 6摇摇78摇9摇摇10摇摇11摇12摇13摇1415摇16摇17摇18摇19摇20摇212223摇24摇25摇26摇27282930摇31摇32摇33摇34摇35…………………他请上海的小朋友小沪用3×4(3行,4列)的长方形框出12个数,使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是摇摇摇。笔者之所以认为这道题值得探讨,一是因为这道题的解法灵活多样,为学生提供了广阔的思维空间,有利于学生去创新、去探索;二是因为这道题…     

一道奥赛题的巧解

<中学数学月刊>2004年第4期刊登了2002年英国数学奥林匹克第2轮试题3及其解答,现提供一种巧解供参考.     

一道美国数奥题的六种解法

本文所研究的是一道美国第七届数学奥林匹克试题 ,它新颖、别致 ,是一道涉及五个变量的条件最值问题 .笔者研究后发现 ,它的解法相当多 ,不下于 1 6种 .现将其中 6种鲜为人知的新解法一一写出来 ,与大家交流 .问题 :已知a、b、c、d、e∈R ,a+b +c+d+e =8,a2 +b2 +c2 +d2 +e2 =1 6,试求e的最大值 (美国第七届数学奥林匹克试题 ) .解法 1 :(基本不等式法 )由基本不等式 2xy≤x2 +y2 (x、y∈R)得 (x+y) 2 ≤ 2 (x2 +y2 )　 ( 1 )令x =a+b ,y=c+d ,于是 ,由式( 1 )得[(a+b) +(c+d) ]2 ≤ 2 [(a+b) 2 +(c+d) 2 ]　 ( 2 )=2 (a2 +b2 +c2 +d2 +2ab…     

一道奥赛培训题的多角度审视

命题1:n为正整数,求证:1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+1/2n-1-1/2n<(√2)/2. 这是一道常见奥赛培训题,文[1]、文[2]、文[3]中均引用了该题,且所提供的证法如出一辙,引用如下:     

一道加拿大奥赛题的简证

08年第40届加拿大数学奥林匹克有这样一道试题： 已知a＋b＋c=1,a,b,c∈R^＋． 求证：（a-bc）/（a＋bc）＋（b-ac）/（b＋ac）＋（c-ab）/（c＋ab）≤3/2．     

一道台湾奥赛题的另一简证

2004年中国台湾数学奥林匹克集训营第4题为:设正实数 a,b,c 满足abc≥2~9,证明:1/((1 a)~(1/2)) 1/((1 b)~(1/2)) 1/((1 c)~(1/2))≥(?)(1).文[1]用高等数学的知识作出证明,过程较复杂;文[2]给出了两个简证,其实并不简单.下面用柯西不等式给出一个简证.证明:设 abc=λ~3,a=λ(yz)/x~2,b=λ(zx)/y~2,c=λ     

一道奥赛几何题的多种证明

题目设H是锐角△ABC的垂心,M是BC边的中点,过H作AM的垂线,垂足为P．证明：AM·PM=BM^2．这是2011年一道日本奥赛题．文给出一种证法,其要点是：ME（参见图7）是为以AH为直径的圆的切线,E为切点,注意BM=ME,     

一道奥赛题的“换位思考”引发的探究

以一道伊朗(代数不等式)奥赛题的抽屉原则证法为基奠,用代数的方法巧妙地勾画出赛题的经典加强;伴随而至的是一连串的优美经典的三角形不等式.通过思维换位的方式,突破了常规下的"用三角形代换的方法证明代数不等式"这种思维定势.为初等数学研究——用构建代数"母"不等式的方法去建立或探究三角形不等式开了先例.     

一道奥赛题的“换位思考”引发的探究

以一道伊朗（代数不等式）奥赛题的抽屉原则证法为基奠,用代数的方法巧妙地勾画出赛题的经典加强;伴随而至的是一连串的优美经典的三角形不等式.通过思维换位的方式,突破了常规下的＂用三角形代换的方法证明代数不等式＂这种思维定势.为初等数学研究——用构建代数＂母＂不等式的方法去建立或探究三角形不等式开了先例.     

关于多普勒效应的一道奥赛题简单解法

第22届全国中学生物理竞赛试题中关于多普勒效应的原题：两辆汽车A与B，在t=0时刻从十字路口。处分别以速度Y／A和VB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图1所示．     

一道奥赛题的空间拓广

第49届IMO试题的第1题：已知H是锐角△ABC的垂心．以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC相交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA相交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB相交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

一道奥赛题的简证

题目（第三届北方数学奥林匹克邀请赛）已知ΔABC的三边为a、b、c,且满足a＋b＋c=3,求f（a,b,c）=a2＋b2＋c2＋4/3abc的最小值.文[1]给出了一种新的证明,笔者觉得技巧性较强,不够自然.下面笔者再给出一个自然简单的证明.