对根式q1n1√a1+q2n2√a2+…+qsns√as无理性的研究

利用对称多项式以及整系数方程根的有关性质，得到了形如q1 n1√a1＋q2 n2√a2＋…＋qs ns√as（a1、a2、…、as、n1、n2、…、ns是大于1的正整数，a1、a2、…、as互不相等，q1、q2、…、qs为任意非零有理数）为无理数非常简单的一种判别方法．     

第55届IMO试题解答

1．设a0〈a1〈…为无穷正整数数列．证明：存在唯一的整数n（n≥1），使得 an〈a0＋a1＋…＋an/n≤an＋1.     

一道猜想不等式的初等证明

题目设口,b,c是正数,n是正整数,求证：a/n√a^n＋（3^-1）b^n/2c^n/2＋bn√b^n＋（3^n-1）a^a/2a/2＋c/n√c^n＋（3n-1）a^n/2b^n/2≥1.     

一道“新华杯”竞赛题的解答、溯源与推广

例1 证明：对任意的正整数n,存在正整数s,使得（√2-1）n=√s-√s-1成立。     

一个展开式在求平方根上的应用

设n是某一个正整数,并且n=a^2＋b,其中a为正整数,b为整数且｜b｜〈n则√n=a√n/a^2=a（a^2/n）-^1/2=a（n-b/n）-^1/2,（1）其中t=b/2n.     

两类一元二次方程根的问题

先请看实数如下一个简单的基本性质： 如果a、b是有理数,β是无理数,则当a＋bβ=0时,a=b=0．比如,如果a、b是有理数,a＋√2b=00,则a=b=0．     

两类一元二次方程根的问题

先请看实数如下一个简单的基本性质： 如果a、b是有理数,β是无理数,则当a＋bβ=0时,必有a=b=0.比如,如果a、b是有理数,且a＋√2b=0,则a=b=0.     

极限中的一个特殊定理

在本文中,将证明一个特殊的极限定理．设limx→ax^n=a^n,其中a为实数,n为正整数．若ε〉0为已知,则δ≤n√ε＋｜a｜^n-｜a｜.     

问题2．10

已知正整数m，n满足√m-174＋√m＋34=n，示n的最大值     

(五)有理数综合测试卷(B)

一、填空题（每空3分，共36分）：1.设a、b是互为相反数且则2.若ab＜0，，则ac．3.近似数4.20万精确到位，有个有效数字．4．若34．682＝1203，0．51943＝0．1401，那么0．34682＝，51．9435．设a、b为有理数，若|a—2|＋（3＋b）2＝0，则a＝，b＝（a＋b）2＝6（n为正整数）．二、判断题（正确的在括专内画“√”，不正确的在括号内画“×”，每小题3分，共12分）：1．若a＞0，b＜0，且a＋b＜0，则2．若|x|＝|－5|，则x＝－5．3.63400精确到千位表示为63000．4．如果，那么．三、计算（每小题6分，共42分）：一、—。一言。一1古。一手叱—…     

2012年北京大学、厦门大学等高校自主招生压轴题的初等证明

题目求证：对于任意的正整数n,（1＋√2）^n必可表示成√s＋√s-1的形式,     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

2006年福建省数学竞赛(高一)

一、填空题（每小题5分，共60分） 1．满足√n＋99-√n＜1的最小正整数n为——。     

一个关于整数部分的求和公式

设d是非平方正整数,u、v是适合u^2-dv^2=1的正整数,a=u＋v√d,证明了n∑k=0[a^k]=（a^n＋1）（a^n-1）/（a-1）a^n-（n-1）,其中[a^k]是a^k的整数部分。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

二次无理数的连分数及其应用

给出了二次无理数（a＋√n）／b展为连分数的简便算法,并将该算法用于有理数的连分数展开及某些定理的证明．     

用斐波那契数列求解一道全国数学联赛题

在2005年10月举行的全国数学联赛（江苏卷）中，有这样一道数列证明题： “数列{αn}满足α0=1,α=7αn＋√45αn^2-36/2。 证明： （1）对于任意的n,αn．为正整数;     

连平方根序列的收敛性及其应用

对连平方根序列｛Sn（a）｝：Sn（a）＝√a＋√a＋…＋√a（n个根号），n∈N，a∈R^＋的收敛性及其相关问题作了研究．     

一道初中联赛试题的再推广

2005年全国初中数学联赛解答题第1题为： a，b，c为实数，ac〈0，且√2a＋√3b＋√c=0，证明一元二次方程ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根．     

一道初中联赛题的推广及变式

2005年全国初中数学联赛有这样的一道题：a，b，c为实数，ac〈0,且√2a＋√3b＋√5c=0，证明一元二次方程 ax^2＋bx＋c=0有大于√3/5而小于1的根。