“同底数幂的运算”:以重构和顺应的方式融入数学史

以重构和顺应的方式融入数学史,设计和实施"同底数幂的运算"的教学:利用"宇宙沙数"的故事和"沙场点兵"的情境设计问题,让学生先经历大数的表达和以10为底的幂的运算,再经历对应关系的发现和以2为底的幂的运算,最后总结同底数幂的乘法公式,由此感受同底数幂的运算律自然发生、发展的历史和文化,感悟其中所蕴含的数学思想方法;通过"卡片大作战"游戏呈现例题,让学生在实际应用中由浅入深地理解并掌握同底数幂的乘法公式。通过课后调查和反思,验证了效果,也发现了不足。     

“全等三角形应用”:从历史中找到平衡

数学教学需要形式主义和现实主义的平衡。为了弥补教材的缺陷,考察了全等三角形及其应用的历史,根据古人测量长度的工具和单位,设计步长不变问题;根据泰勒斯测量距离的方法和八路军炸毁碉堡的故事,设计碉堡距离问题;根据美国早期几何教材中的问题,设计池塘宽度问题。在教学中,引导学生经历问题解决的过程,巩固知识,掌握方法。课后反馈表明,这样的教学使学生感受到数学与实际的广泛、密切联系,激发出学习的兴趣和信心。     

“一元二次方程的配方法”:用历史体现联系

梳理历史材料,发现古人是借助直观的几何图形来解一元二次方程的。在教学中,对历史进行重构,让学生认识代数意义上的配方对应于几何意义上的将长方形割补成正方形;并改编花拉子米的方程问题,以凸显配方法的必要性;介绍花拉子米的数学成就,以融入人的元素。课后反馈表明这样的教学建立了几何与代数之间的联系、历史与现实之间的联系、数学与人文之间的联系,加深了学生对配方法的理解,也激发了学生的学习动机。     

一次方程组的应用:从历史到课堂

根据数学史融入数学教学的一般过程,在确定了课题"一次方程组的应用"之后,首先考察二元一次方程组的历史;然后,在五项原则的指导下,从古代不同文明的数学文献中,对4类最典型的二元一次方程组问题各选取1个问题,进行教学设计,并将其实施于课堂;最后,通过问卷调查和访谈,获取学生的反馈信息,通过评课交流,获取教师的反馈信息,并据此对教学进行评价和反思。     

“正弦定理”:用历史拓思维、润情感

很多高中数学教材的编写未能让学生看到定理证明方法的多样性,感受到定理背后的人文精神.鉴于此,尝试将数学史融入“正弦定理”的教学:利用阿尔·库希的流星测量问题,引入新课;在利用“作高法”证明定理后,引入梅文鼎和辛普森的简化的“同径法”;在探究边与对角正弦的比值时,引入韦达的“外接圆法”;在课后作业中,引入麦克格雷戈的简化的“同径法”以及20世纪初的“辅助直径法”.课后反馈突出表明,一种方法若融入了人的元素,则会让学生产生更深刻的印象.     

“二项式定理”:在历史中探源、求法、寻魅

二项式定理传统的教学设计往往忽视知识之源证明之法文化之魅,使得学生不能理解为什么要学习二项式定理,难以掌握二项式定理的证明与应用,无法感受数学文化的多元性。于是,尝试重构二项式定理的历史,进行教学设计。首先,通过现实情境中的开方问题引出二项式展开的需求;其次,利用卡斯蒂隆的方法导出二项式定理;最后,播放关于二项式定理历史的微视频。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。     

“函数的零点”:用历史故事和问题激发动机

人教版教材从二次函数的图像出发引出函数零点的概念,难以激起学生的学习动机。在梳理相关史料的基础上,将"斐波那契解三次方程"的历史故事与问题运用于"方程的根与函数的零点"的教学,激发学生的好奇心与求知欲,帮助学生理解函数零点概念的必要性。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。     

数列概念:通过历史体现“奇、趣、本、用”

人教版高中数学教材通过毕达哥拉斯形数引入数列概念,在凸显数列概念的必要性、激发学生的学习动机方面,作用并不明显。从有关数列的历史材料中,选取和改编出月相情境、"计数量"问题、"找位置"游戏以及关于"数列与小行星的发现"的故事,引入和拓展数列概念的教学,从而体现了数列之"奇、趣、本、用",揭示了数列知识背后的文化韵味。课后反馈表明,这样的教学有效地激发了学生的学习动机。     

“可化为一元一次方程的分式方程”:按五项原则融入数学史

通过融入数学史来设计“可化为一元一次方程的分式方程”的教学:在课堂引入部分,首先通过附加式运用数学史,讲述中世纪数学家斐波那契的故事,通过加入人的元素,体现趣味性原则;然后通过顺应式运用数学史,呈现《计算之书》中原题的改编,通过一元一次方程问题的过渡,满足科学性、有效性、可学性原则.在学生对所遇到的增根现象感到疑惑时,通过附加式运用数学史,介绍增根的发生、发展过程,让学生了解数学活动的本质.在课堂总结环节,设计了一个“穿越时空”的古今对话,凸显了新颖性.     

“完全平方公式”:从历史中找动因、看形式

在符号代数诞生前,完全平方公式的产生源于求平方根、解一元二次方程、求平方等的需要,完全平方公式的表征是图形(几何)形式和文字形式。因此教学完全平方公式时,设计已知正方形面积,求边长的问题来引入,让学生产生认知冲突,感受到学习完全平方公式的必要性;设计从符号(代数)表征下的公式推导到图形(几何)表征下的公式解释和从和的平方到差的平方的探究过程,让学生能理解公式结构之间的不同与相通,掌握公式表征之间的转换。课后反馈表明,这样的教学实现了知识之谐探究之乐能力之助等。     

“指数”（第2课时）教学设计

将指数幂的拓展过程放在数系扩充的大背景下,类比初中正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程,引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程,建立拓展指数幂的整体架构,理解数学运算的一致性.     

HPM视角下的“任意角的三角函数”教学

人教版教材中"任意角的三角函数"的编写,忽略了从锐角到任意角、从平面几何到解析几何以及从单位圆到终边的自然过渡和比较。借鉴三角函数概念发展的从弦长到比值、从锐角到任意角以及从平面几何到解析几何的历史过程,对"任意角的三角函数"的教学,重构了"从特殊角到单位圆"、"从单位圆到坐标系"、"从‘单位圆定义法’到‘终边定义法’"三个关键环节;并重点借助托勒密求弦长的数学思想和生活中常见的曲柄连杆模型,引出了单位圆和坐标系。课后学生反馈表明,这样的教学取得了良好的效果。     

函数概念:基于历史相似性自然过渡

函数概念的演进历史,为高中函数概念教学实现从旧的"变量说"定义到新的"对应说"定义的自然过渡,提供了重要参考。考察函数概念的发展历史,在教学中重构式地呈现函数概念的"解析式—变量依赖关系—变量对应关系—集合对应关系"的发展过程;复制式地呈现欧拉的解析式定义与依赖关系定义、德摩根的解析式定义以及狄利克雷的变量对应关系定义;顺应式地将狄利克雷函数作为概念辨析的例子。课后反馈表明,这样的教学激发了学生的学习动机,促进了学生对函数概念本质更深入地理解和应用。     

“倾斜角与斜率”:重构数学史,体会合理性

对于直线的倾斜角与斜率,沪教版高中数学教材首先给出直线倾斜角的概念,然后直接将倾斜角的正切定义为斜率,因而在内容理解和知识衔接上显得不够深入、自然。在教学中,重构斜率概念的历史,从现实的滑雪情境出发,回顾已知的一次函数、直线方程知识,让学生经历斜率概念的自然产生过程;还通过几何表征沟通符号表征和三角表征,加深学生对斜率概念的理解;又通过历史再现进一步激发学生的兴趣和动机。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。     

“平行线的判定”:基于相似性,重构数学史

针对"平行线的判定"常规教学的不足,从HPM的视角来设计和实施本节课的教学:利用重构式,从学生对平行线的认知起点出发,为学生创造更多的探究机会,与数学史上数学家们对平行线的认知相呼应,让学生更深刻地理解平行线的判定方法一和基本性质;采用附加式,展示历史上平行线符号的演变过程,引导学生感悟数学文化。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果,体现了融入数学史的"探究之乐""知识之谐""方法之美"和"文化之魅""德育之效"。     

“递推数列”:从汉诺塔游戏出发

人教版高中数学教材直接给出递推数列的概念,显得较为突兀,不足以引起学生的学习动机。通过对数学史的简单回顾和梳理,发现可以从趣味性很强、递推公式和通项公式的关系容易发现的汉诺塔游戏入手来引入课题,使教学更有趣味性、可学性和新颖性。教学过程中,还融入了斐波那契其人其书、斐波那契数列与螺线、斐波那契兔子问题和棋盘问题等数学史和数学文化素材,有效实现了寓教于乐、寓理于"做"、寓数于"形"的效果。     

HPM视角下的对数概念教学

对数的发展史大体上可分为简化运算思想的形成、对数表的发明、指数与对数关系的发现3个阶段。随着计算工具的不断变革与普及,教材的编写略去了对数发展史的前2个阶段,导致学生缺乏对对数产生背景的了解,难以领悟其中的"算理"。沿着对数的发展脉络,把前2个阶段也纳入到课堂教学之中,进行了一次历史的"重构",通过"感受运算之繁"、"发现数表之妙"、"享受用表之乐"、"体验查表之缺"等环节,促进了学生对对数概念的理解,对对数表的应用,获得了良好的教学效果以及来自学生的认可。     

“曲线与方程”:用古希腊轨迹问题串联

在曲线与方程的教学中重构历史,引入古希腊轨迹问题并进行特殊化处理,按照从二线轨迹问题到三线轨迹问题,再到四线轨迹问题的顺序进行设计,从而呈现解析几何的自然诞生过程,激发学生的学习动机,让学生体会其中的思想方法,深刻理解曲线和方程之间的关系。课后反馈表明,这样的教学取得了较好的效果。     

“√2的认识”:HPM视角下的数感培养

√2是学生学习的第一个真正意义上的无理数,√2数感的建立对后续的无理数学习具有十分重要的意义.根据数感的组成成分,采用HPM视角来设计和实施“√2的认识”的教学:采用重构式,通过面积计算来引入√2;采用复制式,通过反证法来证√2不是有理数;采用附加式,介绍无理数的历史;通过“在数轴上标出√2的准确位置”的活动来凸显√2的几何表征.课后的问卷调查和访谈表明,这样的教学对于培养学生无理数的数感是有效的.     

“平面直角坐标系”:利用历史故事,实现维度跨越

沪教版教材"平面直角坐标系"的设计并未顾及学生从一维到二维转变过程中的认知困难。尝试从HPM的视角设计教学:从学生对数轴的认识入手,运用笛卡儿发明坐标系的历史故事设计教学情境,并把需要解决的数学问题融入故事中,引导学生展开充分的探索交流;在学生发现用数表示平面上的点的方法后,引导学生优化数轴工具,建立坐标系概念;然后给学生介绍相关的数学史和数学家,并让学生完成相关的应用习题,加深学生的理解。课后反馈表明,这样的教学体现了"知识之谐""探究之乐""文化之魅"。