每期一题

题:若:a、b、c为正数,试求函数y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)的极小值。解法一复数法运用代数中学过的复数模不等式 |z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|。设 z_1=x+ai x_2=(c-x)+bi ∴|z_1|=(x~2+a~2)~(1/2) |z_2|=((c-x)~2+b~2)~(1/2) ∵|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| ∴y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| =|x+ai+c-x+bi| =|c+(a+b)i|=(c~2+(a+b)~2)~(1/2) ∴y_min=(c~2+(a+b)~2)~(1/2)。解法二代数法运用不等式(x_1~2+y_1~2)~(1/2)+(x_2~2+y_2~2)~(1/2)≥((x_1+x_2)~2+(y_1+y_2)~2)~(1/2)其中等号仅当x_1/x_2=y_1/y_2时成立。∴y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)     

使用|Z_1 Z_2|≤|Z_1| |Z_2|时要注意等号成立条件

本刊1985年第四期刊登了《复数证明不等式初探》一文,该文能灵活运用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|进行解题,阅后得益非浅,但美中不足之处是在使用这个不等式时没有指出等号成立条件。从而学生在使用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|时存在盲目性。这正是我们教师应该指点之处。为了说明问题,我们将原文中例6,求证: (x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)≥17~(1/2)(原文题目有印错)改为: 例1:求函数y:(x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)的极小值。     

重视数形结合 培养思维的深刻性

“数缺形时少直观,形缺数时欠入微”,在教学时,引导学生重视数形结合,使学生形成由形思数,由数想形,进行联想,从而揭示出问题的特征与本质,达到培养思维深刻性的目的.例1 设|z_1|=5,|z_2|=2,|z_1-(?)_2|=(13)~(1/2),求(?)_1/z_2的值.分析按常规解法是把复数设成三角形式或把模用共轭复数表示.解如图(一)所示,三角形 AOB_1三边长均已知,故由余弦定理:cos∠AOB_1=|OA|~2 |OB_1|~2 |AB_1|~2/2|OA||OB_1|=4/5     

怎样正确使用模不等式

先从一个例子谈起。 例1 x为何值时,y=((x~2 3))~(1/2) ((x~2-8x 17))~(1/2)取得最小值。 解法1 (错解) 令z_1=x 3~(1/2)i,z_2=(x-4) i,则y=(x~2 (3~(1/2))~2)~(1/2) ((x-4)~2 1)~(1/2)=|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|(2x-4) (3~(1/2) 1)i|=((2x-4)~2 (3~(1/2) 1)~2)~(1/2)。当z_1=kz_2(k>0)时,不等式取等号,y取最小值。     

一道全国竞赛题的多种解法

1994年全国高中数学联合竞赛第二试第一题:x的二次方程x~2 z_1x z_2 m=0中,z_1,z_2,m均是复数,且z_1~2-4z_2=16 20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=2(7~(1/2)),求|m|的最大值和最小值 。本刊94年第12期介绍的一种解法外,还有多种不同的解法,现给出如下:     

构造复数巧解题

有些数学题.如果直接从条件到结论用定势思维去探求解题途径比较困难时,可以根据题设及其特点,构造出复数,从而得到独特的解题方法,使问题化难为易.例1 求函数 f(x)=(9 x~2)~(1/2) ((4 (5-x~2)))~(1/2)的值域.分析:可将根式的问题,通过构造复数化成模的有关问题.解:构造复数 z_1=3 xi,z_2=2 (5-x)i则 f(x)=(?)|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|3 xi 2 (5-x)i|     

利用|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|求函数的最小值应注意条件

从中学教材中得知,对于任意复数z_1,z_2,…,z_n都有|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|.运用这个不等式,求复杂函数的最小值,方法简捷,但是z_1,z_2,…,z_n满足什么条件,|z_1| |z_2| … |z_n|才取得最小值呢?下面用代数形式给出这个条件.     

巧用|z|=1=(1/2)解题举

我们知道在复数中,|z|=1(?)z=1/z(z∈C),此式对有些复数题解法化较简便现举例说明如下: 例1 如果三个复数名z_1、z_2、z_3适合|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,求证:|z_1 z_2 z_3|=|(1/z_1) (1/z_2) (1/z_3)|.     

不等式|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2|与极值

根据复数的模的几何义意,我们常可利用不等式|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|来解一些几何极值问题。利用上述不等式来解几何极值问题,常常是步骤简捷,条理清晰,而且取得极值的条件一般均可由上述不等式中等号成立的条件直接推得,而无需象其他方法那样预先作出某种猜想,然后再对这种猜想作出证明.|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量反向,而|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量同向。这在求极值的问题中应特别注意。如果根据问题的实际意义上述不等式中等号不可能成立,则上述不等式     

一道典型例题的妙用

苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》（上册1996年3月第一版）第115页有这样一道典例:若|z_1|=3,|z_2|=5,|z_1-z_2|=7,求(z_1)/(z_2),粗看此题只不过是一道常见的复数计算题,但经仔细分析就会发现这是一道相当典型的综合复习题,可用复数的不同知识点进行求解,通过一题多解,有机地把复数知识网络串联,达到解决一道题,复习一系列知识点的目的。1 用于复习复数的代数形式的知识点 解法1 设z_1=a bi,z_2=c di（a,b,c,d∈R）∵|z_1-z_2|=7,∴（a-c）~2 （ b-d）~2=49,即a~2 b~2 c~2 d~2-2（ac bd）=49,而|z_1|=3, |z_2|=5, ∴a~2 b~2=9, C~2 d~2=25,可求得ac bd=-15/2（1）.又∵|z_1·z_2|=15,∴|(a bi)(c-di)|=15即（ac bd）~2 （bc-ad）~2=15~2（2）.     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

应用复数模不等式巧解等式问题

用复数模不等式|z_1 z_2|≤|z_1 |z_2|解决一些条件等式的证明问题,往往有意想不到的效果.     

余弦定理在复数中的应用

复数集中有关|z_1 z_2|与|z_1-z_2|的问题,学生解题时往往不善于用其几何意义,颇感困惑。若能用其几何意义并与余弦定理联系起来,解题就能明快简捷多了。 设z_1、z_2∈C,z_1、z_2在复平面内对应点为A、B,Z_1 Z_2对应点为C(图一),z_1、z_2辐角主值分别为α、β,则∠AOB=|α-β|或2π-|α-β|,∠OAC=π-|α-β|或|α-     

一道课本习题的解题功能挖掘

人教版高中《代数》下册 P.194第6题是:设 z_1、z_2是不等于零的复数,用几何法证明:||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1| |z_2|(为行文方便以下简称习题)此不等式结构优雅、美观,内涵丰富、深刻,如能挖掘其潜在的解题功能价值,可优化某些数学问题的解题思路,拓宽学生知识应用及解题方法的思维空间,并能激发学生钻研数学的     

用复数证明不等式

对某些含有二次根式或可化为含有二次根式的不等式的证明,可作恰当的复变量代换,构造出某几个复数的模,运用复数模的性质而证。一、利用||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1|+|z_2|     

复数模不等式的一些应用

不等式:|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|在全日制十年制学校高中课本第三册中已经出现。我们把这个不等式加以推广就可得到一个复数模的不等式:|z_1|+|z_2|+……+|z_n|≥|z_1+z_2+……+z_n|,式中z_n为复数,等号当且仅当所有复数的幅角主值:     

一复数题的应用

题目如果复数z_1、z_2、z_3满足|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,且z_1 z_2 z_3=0。证明z_1、z2、z3所对应的点是内接于单位圆的一个正三角形的三个顶点。分析:由|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,知复数z_1、z_2、z_3所对应的点都在单位圆周上。因此关键是证明z_1、z_2、z_3所对应的点构成正三角形。证明:利用复数的代数形式来证明。     

有关探索性问题的解法探究例说

有关探索性问题的数学命题作为对学生探索性能力的考查已列为近两年高考数学命题的重点内容之一．由于这类题对学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高，因此，不少学生对此感到无从下手．本文通过例题对这类问题进行归类和分析，说明解这类题的一般方法和思路．一、有关条件的探索性问题例1已知z_1=x 5 yi,z_2=x-5 yi,x,y∈R,，要使|z_1| |z_2|=6，还需增加什么条件？分析：欲使|z_1| |z_2|=6，即由此易知点（x，y）到点（一5，0），（5，0）的距离之和为6．用点（x,y）表示x yi,x~2/9 y~2/4=1因此还需加条件：点（x，y）的轨迹是椭圆…     

一道高考题的简捷解法

八五年高考理科数学第五题: 设o为复平面的原点,z_1和z_2为复平面内的两个动点。并且满足: (1)z_1和z_2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2); (2)△Oz_1z_2的面积为定值S。求△Oz_1z_2的重心z所对应的复数的模的最小值。解:在△Oz_1z_2中,中线|OA|≥高|OB|(如图1),     

一道习题的应用

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册 P210有这样一题:设 z_1,z_2是不等于零的复数,用几何法证明||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1|+|z_2|.本文给出这道习题的一个应用:利用这一双向不等式,求一类复数的模的最大(小)值.