平行平面的一个轨迹及其性质

在文[1]中,应用平面直线的参数方程解决了一个与平行直线和定比分点有关的轨迹问题,并得出了平行直线的一个性质.本文应用空间直线的参数方程,将[1]的结果推广到空间.     

双曲线的一个轨迹问题及其有趣性质

笔者最近对双曲线作了一点研究，得到了一个重要的轨迹问题及其有趣性质，现将其整理成文，与读者共享．     

相交圆中的一个轨迹问题及其推广

<正>1从一道简单的轨迹题说起平面几何中有一道常见的轨迹题:命题1如图1,⊙O₁与⊙O₂相切.过切点P作动直线l,l与两圆的另一个交点分别是E、F,则线段EF的中点M的轨迹是以O₁O₂的中点O₃为圆心且过切点P的圆.注:直线l取两圆过切点的公切线时E、F与P重合.     

一个双曲线轨迹的典型例题的探究及其发展

新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式,要求教师努力营造学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多样的学习方式,发挥学生学习的主动性,激发学生学习兴趣,养成独立思考、积极探索的习惯.高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.本文将通过对一个双曲线轨迹的典型例题的探究与推广,介绍自己在这方面所做的一次尝试.     

一个轨迹问题的推广

问题已知F1、F2是双曲线x2-y2=4的两个焦点,Q是双曲线上任一点,从F1引∠F1QF2的角平分线的垂线,垂足为M,则M点的轨迹方程是____.解延长F1M交F2Q于A点,则△F1QA是等腰三角形,那么｜F1Q｜=｜AQ｜,｜｜F2Q｜-｜F1Q｜｜=｜｜F2Q｜-｜AQ｜｜=｜AF2｜=4,M为AF1的中点,故连接OM,则｜OM｜=21｜AF2｜=2.因此,M的轨迹方程为x2 y2=4.这是一个很有意义的问题,可作如下推广.     

一个轨迹问题的引申

引例：若动点P到点F（1,0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1,求点P的轨迹.这是我们耳熟能详的一个问题.它主要考查抛物线的定义,依题意,点P到点F的距离与到直线n：x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以点F（1,0）为焦点,直线n：x=-1为准线的抛物线,易求得点P的轨迹方程为y~2=4x.下面,笔者对该问题作如下几点引申,以供大家教学参考.     

一个轨迹证明的改进

初中《几何》第二册P_(76)在证明基本轨迹6时,将整个轨迹分成(?)与(?)属两部分加以证明,这样容易给学生以错觉,认为上面和下面是两个轨迹,造成以部分图形充当轨迹的错误:此外,在②的证明巾叙述不够清楚,对直线AB上的点也没有讨论,还使用了学生尚不熟练的逆否命题的证明代替原命题的证明,增加了学习中的困难。     

一个差生转变的轨迹

一个差生转变的轨迹太和县蔡庙镇单文华他的国画刊登在《初中生必读》上，继而又被中国书画联谊会选送日本姬路市展出，并受到日中文化友好协会会长福田一郎的称赞，几次来信索取书画。他，就是五年前我的一位三年级特差生刘真诚。他是当时全校有名的顽皮生，他一年级留二...     

正方形的一个轨迹问题

2000年国家集训队测验题:△ABC是正三角形,在此三角形内部求满足∠QAB+∠QBC+∠QCA=90°的点Q的轨迹.其轨迹是△ABC的三条高.我们进一步探讨:问题四边形ABCD是正方形,在此正方形内部求满足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°的点Q的轨迹.     

一个命题及其应用

受文[1]的启发,可得如下的结论: 命题若∑ni=1a2i＝1,(1) ∑ni=1b2i＝1,(2) ∑ni=1aibi＝1,(3) 则ai＝bi(I＝1,2,…,n).(4) 证明 (1) (2)-(3)×2得 ∑ni=1(a2i-2aibi b2i)＝0, 即∑ni=1(ai-bi)2＝0,∴(4)成立.     

一个不等式及其应用

本文给出一个关于数组的不等式,并举例说明它在证明不等式、求函数最值、解方程中的应用.     

一个定理及其应用

定理:a(x)、b(x)、p(x)都是x的函数,且a(x)、b(x)的值皆大于零,那么有: <1> 若a(x)·b(x)=d(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最小值c,则函数y=a(x)+b(x)+p(x)有最小值2√d+c。 <2> 若a(x)+b(x)=e(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最大值f,则函数y=a(x)·     

一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

一个公式及其应用

1一个简单组合求和问题 先看一个常见的组合求和问题．     

一个定理及其应用

定理设g(x)、f(x)为集D上的单调递增函数,且 g(x)∈D,f(x)∈D,g(x)≤f(x),则 g[g(x)]≤f[f(x)]。证:∵ g(x)、f(x)在D上递增,且g(x)≤f(x),因g(x)∈D,f(x)∈D。∴ g[g(x)]≤g[f(x)],g[f(x)]≤f[f(x)], ∴ g[g(x)]≤f[f(x)]。上述定理在判断自身复合函数值大小时有着巧妙而简捷的功用,