利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法     

关于ln|x|的导数和推广

本文就《高等数学》第24讲中谈到的ln|x|的导数问题,作如下两点论述,供授课教师和听课的同学们参考。(一)(ln|x|)′=(lnx)′吗?1.求 y=ln|x|的导数。<解>y=ln|x|=lnx(当 x>0) ln(-x)(当 x<0)①当 x>0时,y′=(lnx)′=1/x②当 x<0时,y′=[ln(-x)]′=(-1)/(-x)=1/x     

|a|与a哪个大

设a为实数,|a|与a哪个大呢?初学者往往认为|a|>a.这是不对的.首先应了解什么叫做一个实数的绝对值.规定如下:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即|a|={a(a≥0)-a(a<0)如|3|=3,|0|=0,|-5|=5.所以,当a≥0时,|a|=a,只有当a<0时,才有|a|>a.我们还应了解,|a|的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离.     

用|a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)简解最值竞赛题

性质 |a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)(当且仅当 a 与 b 共线时取等号).(*)证明设两向量的夹角为θ,则|a|~2=(|a|~2|b|~2)/(|b|~2)≥(|a|~2|b|~2cos~2θ)/(|b|~2)=((a·b)~2)/(|b|~2).用性质(*)求最值问题,不仅可解决按常规方法不易解决的问题,而且求解思路清晰,解答过程简捷明快,解题方法新颖易懂,是新教材衍生的一种富     

复数|z-z_0|的几何意义及应用

复数|z-z1|的几何意义:表示复平面中复数z对应的点与复数z0对应点的距离.下面针对|z-z0|的几种应用给出具体说明. 一、依据|z-z0|确定最值例l 已知复数z的模为2,则|z-i|的     

用|a|~2≥(a·b)~2/|b|~2简解代数最值题

性质 |a|~2≥(a·b)~2/|b|~2(当且仅当a与b共线时取等号)。证明 设两向量的夹角为θ，则 |a|~2=(|a|~2)·(|b|~2)/|b|~2其中当且仅当a与b共线时取等号.用性质(*)求代数最值问题,不仅可以解决常规方法不易解决的问题,而且求解思路清晰,解答过程简捷明快,解题方法新颖易懂,是新教     

方程x2+p|x|+q=0与x|x|+px+q=0的根与判别式△=p2-4q的关系

在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况:     

|x-a|的几何意义(初一、初二)

|x-a|的几何意义是:数轴上两数x和a对应的点A和B之间的距离(如图1),即线段AB的长.记为|AB|. 从这个几何意义出发,能很好地解决一些含有绝对值符号的问题,比用代数法简单. 例1 适合关系式|3x-4|十|3x+2|=6的整数x的值的个数是( ) (A)0.(B)1.(C)2.(D)大于2的自然数.     

圆锥曲线中m|PA|±n|PB|型最值问题的解法

在圆锥曲线的学习中,常常会遇到m|PA|±n|PB|型的最值问题.若按常规的思路,用两点间的距离公式分别求出|PA|、|PB|,转化成目标函数求最值,往往非常繁或求不出解,而换个角度思考,抓住圆锥曲线定义的本质,结合图形把问题转化成共线的情形,则此类问题常可迎刃而解.     

关于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的证明

对于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,高中教材的证明如下: ∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,∴-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|,即|a b|≤|a| |b|,(1)又 a=a b-b;|-b|=|6|,由(1)得|a|=|a b-b|≤|a b| |-b|即|a|-|b|≤|a b|,(2)由(1),(2)得|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|.显然上面证明中的(2)的证法不容易想到,本人在教学实践中采用了下面的证法,不但思路自然,且证明过程更为简捷,教学效果好,现提供同行参考.     

圆锥曲线中"m|PA|±n|PB|型"最值问题的解法

在圆锥曲线的学习中,常常会遇到形如m·|PA|±n|PB|型的最值问题,若按常规思路,用两点间距离公式分别求出| PA |、|PB|,转化成目标函数求最值,往往非常繁或求不出解.若能换个角度思考,抓住圆锥曲线定义的本质,结合图形把问题转化成共线的情景,则此类问题不仅可迎刃而解,而且通过这样的训练,可加深学生对圆锥曲线概念的理解,进一步体会到数形的完美结合,给学生以极其快乐的数学美的享受.同时,还可培养学生的探索与创新能力.     

折线形函数y=|x-a|±|x-b|的图象与性质

在高中数学学习中,我们对于函数y=±|x-a|的图象与性质都很熟悉,但对于函数y=|x-a|±|x-b|的图象与性质却有些生疏,而这类函数在求函数图象的对称轴、对称点,最值,解绝对值问题中常常会考查到.本文介绍函数y=|x-a|±|x-b|的图象与性质及其应用.     

利用|a·b|≤|a|·|b|巧解数学竞赛题

向量的数量积是两个向量间的一种乘法运算,数量积隐含着一种不等量的关系,即|a·b|≤|a|·|b|,而这种不等量的关系可用来证明不等式.解决此类问题的基本方法是构造法,因此解题的关键是从所证不等式的结构和特点出发,巧妙构造向量.     

巧用|m·n|~2≤|m|~2·|n|~2简解三类分式型三角函数最值问题

我们知道,根据向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质:|m·n|2≤|m|2·|n|2.这个性质看起来非常简单,却有着十分广泛的用途.可利用它来解决三类分式型三角函数的最值问题,并且解答过程简洁、明了、快捷、容易理解,便于学生掌握.     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的四大运用

|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|”是高中数学新教材中的一个重要不等式,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具.课本主要介绍它在证明不等式中的应用,而其他方面很少涉及,且何时取等号也未指明,但在高考中却多次考查到.为此本文加以补充并例谈其应用。一、直接运用可以直接运用于证明不等式、求最值、求取     

利用|Z|~2=Z·Z解题

|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证:     

公式|z|~2=||~2=z在解题中的应用

公式|z|~2=||~2=z涉及到复数的模、共轭复数的概念,它在解决复数的有关问题时,可使复杂问题简单化,陌生问题熟悉化。下面举例说明。     

关于|x+1/x|≥2

“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m　　或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m　　　　　 ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m　　…     

利用|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|求函数的最小值应注意条件

从中学教材中得知,对于任意复数z_1,z_2,…,z_n都有|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|.运用这个不等式,求复杂函数的最小值,方法简捷,但是z_1,z_2,…,z_n满足什么条件,|z_1| |z_2| … |z_n|才取得最小值呢?下面用代数形式给出这个条件.     

不等式|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2|与极值

根据复数的模的几何义意,我们常可利用不等式|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|来解一些几何极值问题。利用上述不等式来解几何极值问题,常常是步骤简捷,条理清晰,而且取得极值的条件一般均可由上述不等式中等号成立的条件直接推得,而无需象其他方法那样预先作出某种猜想,然后再对这种猜想作出证明.|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量反向,而|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量同向。这在求极值的问题中应特别注意。如果根据问题的实际意义上述不等式中等号不可能成立,则上述不等式