一道竞赛试题的推广

2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题第6题：若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为____． 解：如图1，正三棱锥S—ABC中，内切球球心为O，它与底面的切点为O1，与侧面SAB的切点为E，连SE并延长交AB于D点，连DO1，显然点O1是△ABC的中心．     

三角形面积公式S=1／2absinθ——在立几中的类比及运用

AABC中,若口、b边夹角为0,则其面积S=1/2absinθ．类比联想,可发现在立几中有一个类似此公式的三棱锥体积公式：如图1,三棱锥P—ABC中,若P—AB—C为0,     

一道竞赛题的解法探究与拓广

1．问题的提出 问题：（1995年全国高中数学联赛题）如图1,设O是正三棱锥P—ABC的面△ABC的中心,过O的动平面与三棱锥P—ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q、R、S,则和式葡1/PQ＋1/PR＋1/PS为定值．     

求点到平面的距离五法

一、利用点到平面的距离的定义 例1 如图1．已知三棱锥S-ABC中．△ABC是边长为2的等边三角形．SA⊥平面ABC,SA=3,那么点A到平面SBC的距离为——．     

一道高考题引发的思考

一、题目再现(2012新课标理数全国卷11题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.槡26B.槡36C.槡23D.槡22二、解法探究解法1(通过将点S到平面ABC的距离进行转化求解)由SC为球O的直径,知S到平面ABC的距离h为O到平面ABC的距离的2倍.连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC=1.     

空间几何体表面积与体积的求法

一、三棱锥等人教大纲版空间几何体表面积与体积 1．已知高为3的直凌准ABC—A＇B＇C＇的底面是边长为1的正三角形（如图所示）,则三棱锥B＇-ABC的体积为（ ）     

一个简单公式的应用

如图,在三棱锥P-ABC中, PC⊥平面ABC,作CD⊥AB于点 D,连结PD,则易知∠PDC是二面角P-AB-C的平面角,设∠PDC=θ,二面角的棱AB=m, 三棱锥的高PC=h,三棱锥的底△ABC的面积为S．则     

浅谈三棱锥的解题技巧

三棱锥是重要的多面体,空间图形的很多问题都与它有关.因而对三棱锥的解题方法的研究,无疑是十分必要的,本文就三棱锥的解题技巧谈几点体会. 一、注意确定顶点射影的位置 因为三棱锥的高是它的主要元素,所以在解有关三棱锥的题目时,确定顶点在底面上的射影的位置,往往是解题的关锥. 例1 在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC.底面ABC中,∠C=90°,AC=18,三棱锥的高为40,求P到另一直角边BC的距离. 解:如图1,过P作PO⊥底面ABC,O是垂足.∵PA=PB=PC.∴OA=OB=OC,因此O是△ABC的外心,又△ABC是直角三角形,故O是斜边AB的中点.     

一道课本例题的多重价值取向

题目如图1,已知三棱锥A—BCD 的侧棱 AD 垂直于底面BCD,侧面 ABC 与底面所成的角为θ,求证:V_(三棱锥)=1/3S_(△ABC)·AD     

一道立几最值问题的探讨

思路1 从图1和题设得知，底面△ABC面积一定，要使三棱锥S-ABC体积最大，只须S点到底面ABC的距离最大，当且仅当平面SBC与平面ABC垂直时，三棱锥S-ABC的体积最大。     

割补法在解立体几何题中的应用

求异面直线所成的角 例1 如图1,正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等。如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于 分析 若把三棱锥巧妙补形,使其变为特殊的正方体．则定会叫人惊喜不已．     

空间几何体中易出现的错误

直线是空间几何的最基本的元素,当然也是最重要的元素．下面是同学们在学习时常常出现的三种错误．1与线段长有关的错误例1 如图1所示,现有一块三棱锥形状的蛋糕P—ABC。     

待定系数法之应用

1．求点的位置 例1 在三棱锥P—ABC中,PA,PB,PC两两成60°,它们的长度分别为3,2,3,试确定点C在平面PAB上射影D的位置．     

正四面体体积的变式探究

题目棱长为a的正四面体的体积是__. 解法1(公式法——用三棱锥体积公式) 如图1,∵四面体P-ABC是正四面体∴P在底面ABC的射影H是/△ABC中心.     

求体积常用的数学思想——割补法

例题 如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6．其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．     

立几与平几的类比

20 0 3年广东高考试题第 15题是条填空题 ,要求类比平面几何中的勾股定理 :“设 ABC的两边AB ,AC相互垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 ” ,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 .其正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC ,ACD ,ADB两两互相垂直 ,则S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB =S2 BCD.”证明如下 :由于三棱锥A-BCD的 3个侧面均是以点A为公共顶点的直角三角形 ,所以由三垂线定理知点A在底面BCD上的射影E是底面三角形BCD的垂心 .　　∴S2 BCD =14 DF2 ·BC2=14 (AF2 +AD2 ) ·BC2=S2 ABC+ 14 AD2 ·BC2=S2 AB…     

对一道高考题的探究

题目 在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB^2 AC^2=BC^2”．拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积问的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则——。”     

由一道高考试题引发的思考——三角形与三面角中几个性质的类比

2003年全国高考数学新、旧课程卷(文科)第15题：在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB^2 AC^2=BC^2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积间的关系，可以得出的正确结论是；“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S^2△ABC S^2△ACD S^△ADB=S^2△BCD．”     

谈立体几何复习

例如图1,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.     

一道高考题的推广及其应用

如图一,三棱锥P—ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA、BC 的公垂线ED=h,求证三棱锥P—ABC的体积V=1/6l~2h。这是1987年理科数学高考题第四题,该题可推广如下: 定理如果四面体P—ABC中,PA、BC的长为a、b,PA与BC两异面直线间的距离为h,且PA与BC所成角为θ,那么,该四面体的体积为 V=1/6abhsinθ证明,如图二,以P为顶点作四棱