2013年各地高考数学试题精选——新课标I卷

1．若复数z满足（3—4i）z=｜4＋3i｜，则z的虚部为（）     

复合亚纯函数的亏量与增长性

本文对R．Goldstein关于复合亚纯函数的亏量与增长性定理作了正确的修正，得出：若f与g都是超越整函数，f（z）的下级λ（f）＞0，0＜λ（g）＜p（g）＜∞，且适合an（z）f(n)＋a(n-1)（z）f(n-1)＋…＋a0（z）f＝b（z），c（z）为适合T（r，c（z））＝0（T（r，g））的整函数，ai（z）（i＝1，2，…，n）是有理函数，ai（z）∞（i＝0，1，2…．n）．an（z）0，an（z）≠0，b（z）∞（若c（z））恒为常数．则b（z）c（z）a0（z）），则有δ（c（z）．f（g））＝△（c（z），f（g））＝0本文还得到复合亚纯函数的亏量与增长性其它三个结果。     

一道IMO预选题的巧证及其推广

原题（39届IMO预选题）设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明：x3/（1＋y）（1＋z）＋y3/（1＋z）（1＋x）＋z^3/（1＋x）（1＋y）≥3/4.（1）本题无论是组委会还是一些数学竞赛教材提供的解答,都无非是强化命题构造函数求导或者琴生不等式均值不等式联合使用．这些证法都是奥赛尖子才能问津,普通中学生看这解答都很吃力．其实本题用最基本的均值不等式便容易得解．     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．因为此题中有三个未知数，但只有两个方程，所以，要想通过解方程组求得x、y、z的值是不可能的．但只要善于观察（1）、（2）两式系数的特点和它们之间的．内在联系，不难发现：（1）×3－（2）×2，得x十y＋z＝3．用同样的方法可解下列问题：①已知3x＋7y＋5z＝15，（Ⅰ）7x＋15y＋11z＝35.（Ⅱ）求x＋y＋z的值．（x＋y＋z＝5）②已知3x＋5y＋z＝9，（Ⅰ）4x＋7y＋2z＝12．（Ⅱ）求x＋y－z的值．（x＋y－z＝3）2.设乙拿走的球数为x只，则甲拿走的球数为3x只．剩下的一盒内装球y只．∴4x＋y＝12＋17＋18＋24＋29＋33＋36＋45＋52…     

一道竞赛题的研究性学习

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有如下一道不等式题． 问题1 已知正数x、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：27/4（x＋y）（y＋z）（z＋x）≥（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≥6√3.     

构造函数解赛题

1．构造一次函数 例1 设x,y,z∈（0,1）,求证： x（1-y）＋y（1-z）＋z（1-x）〈1．     

摩尔多瓦国家集训队试题的另证及推广

文中给出了一道2003年摩尔多瓦国家集训队试题： 设x,y,z都是正数,且x＋y＋z≥1,则y＋z^x√x＋x＋z^-y√y＋x＋y^-z√z≥2√3（1）的证明。但思路较复杂,技巧较强．本文给出（1）的另外三种较为简捷的证法,并将（1）推广．     

一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

一类高阶齐次线性微分方程解的超级

本文研究了高阶齐次线性微分方程f（k）＋Ak-1（z）e^pk-1（z）f^（k-1）＋Ak-2（z）^e^pk-2（z）f（k-2）＋…＋A0（z）e^pk（z）f=0和f（k）＋（Ak-1（z）e^pk-1（z）＋D（k-1）（z））f（k-1）＋…＋（A0（z）ep0（z）＋D0（z））f=0解的增长性问题,其中Pjk（z）=ajz^n＋bj,lz^n-1＋…bj,n,Aj（z）和Dj（z）是有限级整函数。针对Pj（z）中aj（j=0,1,…k-1）的幅角主值不全相等的情形。得到了σ2（f）=∞。     

构造法六则

1．构造向量 例1设a,b,c,x,y,z是正数,且a^2＋b^2＋c^2=10,x^2＋y^2＋z^2=40,ax＋by＋cz=20,则a＋b＋c/x＋y＋z=（ ）     

一类高阶齐次线性微分方程解的复振荡

研究了高阶齐次线性微分方程f（k）＋（Ak-1（z）e^pk-1（z）＋Dk-1（z））f^（k-1）＋…＋（A0（z）e^p0（z）＋D0（z））f=0解的增长性问题,其中pj（z）=ajz^n＋bj,1z^n-1＋…＋bjn,,Aj（z）,Dj（z）是有限级整函数。针对pj（z）中aj（j=0,1,…,k-1）的幅角主值不全相等的情形,得到了方程解的增长级的精确估计。     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

关于亚纯函数的微分多项式的特征函数的研究

设f（z）是｜z｜〈R（0〈R〈＋∞）上的亚纯函数,ai（z）（i=0,1,2,…,n-1）为｜z｜〈R上的n个全纯函数,且｜ai（z）≤1,f（0）≠0,f（0）≠0,f（z）的每个零点的级大于或等于m,f（z）的每个极点的级大于或等于s;再设g（z）=f^（n）（z）＋an-1（z）f^（n-1）（z）＋…＋a1f＇（z）＋a0f（z）,其中g（0）≠0,g＇（0）≠0,g（z）-bj的级分别为nj（nj≥2）,g（0）≠bj（j=1,2,…,q）,且（q-1）n＋1/（q-1）m＋1/q-1∑j=1^q1/nj（1＋n/s）〈1.则对0〈r〈R,存在与n,l,m,s,q,bj,nj有关的正常数A、B和C,使得T（r,f）≤A（log^＋｜f（0）｜＋log^＋｜g（0）｜＋log^＋1/｜g（0）｜＋log＋1/｜g＇（0）｜）＋B（logR/R-r＋log＋1/R＋log^＋R）＋C.     

一线串球 精彩纷呈——从一道国外竞赛不等式谈起

1问题的提出 定理 已知x,y,z∈R＋,且xy＋yz＋zx=1,求证：（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≤4-27（x＋y）（y＋z）（z＋x）. 这是一道土耳其国家队选拔题,笔者通过探索,发现它隐含着极其丰富的内涵,许多数学竞赛题和数学问题,都是以它为源头,通过变换条件逐步演绎深化而成,真可谓一线串球,精彩纷呈．     

Euler不等式的加强

在高中课本中有以下不等式：已知x,y,z∈R^＋,求证：（y＋z）（z＋z）（z＋y）≥8xyg．①本文通过对①式的加强,进而建立起著名欧拉（Euler）不等式：R≥2r（其中R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆的半径．下同）的一个优美儿何加强．     

应用复数解题例说

复数在三角、几何、代数中有着极其广泛的应用．利用复数解题的关键是构作适当的复数，本文枚举部份高考题说明复数法的应用．例1已知正方形ABCD相对顶点A（0，－1））和C（2,5）．求顶点B和D的坐标．（1991年全国高考文科试题）解如图运用复数的几何意义构作复数，设OB＝x＋yi，OA＝－i，则AB＝OB－OA＝x＋（y 1）i，由正方形性质得：由复数相等得例2求sin(2arcsin4/5）的值（1962年高考题4题）注意：Imz代表复数z的虚部，Rez代表复数z的实部．例3已知sina＋sinβ＝1/4，cosa＋cosβ＝1/3，求tg（a＋β）的值．（1990年全国高考题…     

用逆运算关系列代数式

在列代数式时，同学们只要能够理解题中的和差积商及大小倍分等数量关系，根据先读先写的原则，就可以顺利列出正确的代数式来．但是有一类列代数式的问题就不那么容易了，它需要运用加与减、乘与除的互为逆运算的关系，通过转化才能列出代数式．这类问题虽然难一点，但对今后学习应用题的方程解法很有帮助．现分类举例说明运用逆运算关系列代数式．一、用加减互逆运算关系列代数式侧1　写出与x＋y的和是y的数．解设这个数为a，把（x＋y）看成一个整体，于是a＋（x＋y）一z，已知一个加数（x＋y）与和z求另一个加数a，所以a＝z－（x＋y），…     

关于一个三元不等式的再思考

文[1]给出如下结论：设x,y,z∈R^＋,则x/（2x＋y＋x）＋y/（2y＋x＋z）＋z/（2z＋x＋y）≤3/4．文[2]将这一结论进行指数推广,得到     

你会解答吗?

初一年级A、B的大小．3．求1＋2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12－13－14＋15＋…＋1992－1993－1994＋1995的值．4.一列火车通过1400米长的铁桥，从火车开始上桥到这列火车完全通过桥用了80秒钟，整列火车在桥上的时间是60秒钟，求火车的速度和长度．初二年级1．已知求证：x＝y－z2若x、y、z都是实数，且满足关系式：则x（y＋z）＋y（z＋x）－z（x＋y）＝．3．如图1，在ABC中，AB＝AC，D为ABC内一点，且DB＜DC．求证：＜ADB＜＞ADC．4．如图2，∠ABD＝∠AED＝锐角，且∠ADB＝90°求证：AB＝AE．你会解答吗?@边冼…     

一个含双参不等式及其对一类分式不等式的证明

定理设实数x,y,z满足xy＋yz＋zx=λ（x＋y＋z）＋μ,则有（x—k）^2＋（Y—k）^2＋（z—k）^2≥2k^2-2μ-2λk—λ^2．（1）