一道“希望杯”赛题的再推广

《数理天地》09年第12期刊登了第20届“希望杯”全国数学邀请赛高一年级第2试第23题的一个推广，得到如下命题：     

再谈一道数理结合题的解法

读了《数理天地》2011第1期程贤楼老师的《一道题的数理两种解法》一文,引起了笔者的共鸣,在这里笔者也想谈谈自己的一点见解．     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

一类等差数列赛题的通用解法

例1设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a1〉0,Sn为其前n项之和,则Sn（n∈N^n）中最大的是（ ）     

也说WMTC好题

读了《数理天地》第十期上李耀文老师的《WMTC好题解法一览》一文,很受启发,然而又觉得意犹未尽!     

平几赛题在有心圆锥曲线上的推广

《数理天地》初中版03年第6期刊发了2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题的第11题：如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连接AC,与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

球类运动赛题探趣

例1国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性,希望降低球的飞行速度,将比赛用球的直径从d1=38mm改成d2=40mm,同时要求球的质量不变．为了简化讨论,设空气对球的阻力与球的直径的平方成正比,并且球沿水平方向做直线运动,     

构造函数解赛题

1．构造一次函数 例1 设x,y,z∈（0,1）,求证： x（1-y）＋y（1-z）＋z（1-x）〈1．     

一道“希望杯”赛题的研究

题目若Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和,且对任意的正整数,n都满足     

构造函数解赛题

例1如果cos5θ-sin5θ〈7（sin3θ-cos3θ）,θ∈[0,2π）那么θ的取值范围是——．     

运动学赛题新解

例1在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2和L3,     

赛题推广

2013年浙江省高中数学竞赛试题第18题：     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

一道几何赛题的另证

本刊2013年第4期“一道几何赛题的多种证法”一文运用几何构造给出了第（2）问的四种证法．这里再给出另外两种不同证法,供读者参考．     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

与正方形有关的赛题四则

例5如图6,有长为24米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形鸡场．     

一道赛题的简证

题目　已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即　ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即　ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.…     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

赛题简解

类似“已知函数f（x）的最值求参数值”这类题都可以转化为恒成立问题,但切记等号可取．     

用配方法解赛题

例1函数f（x,y）=x^2＋2xy＋3y^2-4x-8y＋3的最小值是——．（第9届希望杯高二培训题）