多姿多彩的有理数竞赛题

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,趣味无穷.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛题中有理数赛题,供大家学习参考. 一、计算求值题 例1 计算:199+298+397+… +991+1090+1189+…+9802十9901=__.(2001年初一赛题) 分析及解:这里有99个数相加,考察每个加数的特点,我们将每个加数适当变形之后再相加: 原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…+(1000-9)+(1100-10)+(1200-11)+…+     

计算它们的和是多少

问题:计算99+198+297+396+495+594+693+792+891+990=?(《小学生数学报》数学竞赛题)这是一道等差数列求和计算题。特点是:已知十个加数,它们中前后相邻二数的差都相等(都是99),构成等差数列。要求它们的和是多少,关键要熟悉等差数列的判断与求和公式。判断:因为198-99=99、297-198=99、……、990-891=99。所以,上面十个数构成了一等差数列。公式:①等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2。②等差数列的和=(首项+末项)×数的对数。解题方法:先判断由加数组成的这列数是不是等差数列。如果是,便用求和公式计算;如果不是,便另找规律计算。解题:方…     

关于自然数的一个结论及应用

把大于3的自然数N分拆成其它一些自然二L,.二。,J」沙竺白为卜多价~‘侧去巨今。丰q石一N。或N一3(*)且 当3}N时,取a~ob= 当3牛N时,取a=1、2 则(关)是N的所有不同的分拆中能使加数的积最大,且最大值为2“·30. 分析:由于1 xk<1十k,因此在加数的积最大的分拆中,所有加数应是2,3和大于3的数,若N~Zm,将N分成的两个加数的积中,易知只有mZ最大.事实上,取N一n+(2m一n)(m>n),mZ一n(Zm一n)=mZ一Zmn+nZ~(m一n)“>O,…mZ>n(2m一n),若N~Zm+1,同样可得只有加数m与m十1的积最大. 当m或m+1大于3时,将每个加数仿上继续分解,经过有限次,N就写成了…     

倒序配凑 美妙无穷

!!l卜甘刀r +飞题目:计算:冬+ 乙,12、气—十-丁-)’33’/l,2 .3、气—十—十—)’4 44’(告+鱼 3十— 5亡)+……十(命+ 22003 3十— 20032001200320022003 分析与解:此题加数太多,直接通分计算显然是不可取的。其实,各加数之间是有联系的,凡分母相同的几个分数,它们的分子是从l开始的连续自然数,它们的个数等于分母减l,抓住这一特征就可以倒写相加,把各加数之间的内在联系充分体现出来。 把原式中各个括号中的各个加数的顺序倒过来得到:土+(宁(牛 21、,4 32十—十—)十叱—十—十—十 44’、5 55告)+(2002200320012003十.“.+,将此式与原式…     

“乘法的初步认识”教学设计与评析

一、准备教师板书:3+3+35+5+5引导学生观察后提问:每个连加算式中的加数有什么特点?(在学生发现它们的加数都相同后,教师明确指出)在连加算式中,每个加数都相同,这样的加数就叫做·相·同·加·数。〔评析:通过观察两个连加算式使学生认识相同加数,为下一步学习乘法初步认识做了铺垫。〕二、新课1.教学例1。(1)教师依次在黑板上摆黄花图片教具。(每次摆2朵,摆3次)每次摆后提问:这是几朵黄花?用数字几表示?(学生边回答教师边板书)有几个2?(板书:3个2)求3个2是多少用什么方法计算?怎样列算式?(板书:2+2+2=6)指算式提问:这个算式的加数有什么特…     

灵活巧用求和公式

从1到n个连续自然数的求和公式为 1+2+3+…+n=n(n+1)/2. 灵活巧用它,一些问题的解答可变得简易.迅捷.现举例如下: 一、有理数计算问题     

“乘法的初步认识”教学设计

建筑式结构数学第二册78页例1、例2“乘法的初步认识”的教学目的是:使学生初步认识求几个相同加数的和用乘法计算比较简便;会读会写乘法算式;懂得乘法算式的意义。教学过程如下。教学开始,教师组织学生讨论上堂课课外作业第2题:1+2+3,2+2+2,4+4十3,3+3+3+3,思考这些题都是什么算式?找出加数相同的算式,说出相同加数是几,各有几个。学生讨论后,教师归纳小结:在加法算式中,如     

有理数竞赛题归类解析

有理数竞赛题题型丰富,技巧性强,对于学有余力的同学开发智力极为有利.现选择近年来广州市“五羊杯”初中数学竞赛中的有理数赛题,介绍这些试题的题型特点和解题思路,供读者参考.一、求值计算题例1计算:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901=摇摇摇摇.(2001年)分析这里有99个数相加,考察每个数的特点,应适当变形之后再结合相加.原式=(200-1)+(300-2)+(400-3)+…(1000-9)+(1100-10)+…+(9900-98)+(10000-99)=(200+300+400+…+10000)-(1+2+3+…99)=(200+10000)×992-(1+99)×992=5100×99-50×99=(5100-50)×99=499950.例2计算:2÷3÷7+…     

自然数的一种有趣的“最大积”分解

《教学与研究》86年第十二期刊登了这样一道迎新趣题:求正整数n和x_1,x_2,…,x_n,使x_1+x_2+…+x_n=1987,且积x_1·x_2…x_n尽可能地大。本题实际上是“把一个自然数分解成几个自然数的和使各加数的积尽可能地大。”(简称自然数的“最大积”分解)的问题。本文将给出解答这类问题的一般方法。把一个自然数写成几个自然数的和只有有限种写法,因而由各加数所构成的积也只有有限种,故必存在最大的一个。这说明自     

例说运用方程思想解题

<正>本文通过与二元一次方程有关的两道题目的解法分析,说明运用方程思想解题的两个基本步骤.题1设有n个数x1,x2,…xn,其中每个数都可能取0,1,-2这三个数中的一个,且满足下列等式:x1+x2+…+xn=0,x12+x22+…+xn2=12,则x13+x23+…+xn3的值是___.本题以数列为"载体"考查方程思想,对七年级学生来说起点较高,难度较大.那么,我们该如何分析这个问题呢?1、理清基本知识,寻找联系点首先让我们反思有理数加法运算法则,加数是0,个数不限,和不变,得出有理数的和     

巧用分组法解题

在数学题中常会遇到较多个有理数相加减的问题 .对于这类貌似计算量很大的计算题 ,切不要被其表面现象所吓倒 ,只要你注意发现题目的特点 ,一般都能找出简便的方法 ,其中分组法就是常用的一种方法 .例　 1 - 5+ 9- 1 3+ 1 7- 2 1 +… + 2 0 0 1= .分析 :对此题 ,如依次去计算肯定能求出最后结果 ,但其计算量太大 ,不可取 .首先 ,我们应弄清算式末的“2 0 0 1”是第几个数 ?观察各加数 (如“ - 5”可以看成“ + ( - 5)”)的特点 ,不难看出 ,它们的绝对值都是比 4的倍数小 3的数 ,即每个加数都可写成 ( - 1 ) ｎ + 1( 4ｎ - 3) (ｎ =1 ,2 ,3,…     

“儿童乐园”教学设计及设计意图

教学内容北师大版数学二年级上册:儿童乐园。教学过程一、用学生已有的认识,引入乘法的概念(一)有5盘苹果,每盘3个,怎样列式解答?1.列式:3+3+3+3+3=15(个)。2.实质上求的是几个几的和?3.算式中的相同加数是几?相同加数的个数是几?(二)如果有20盘苹果,每盘有3个,怎样列式计算?1.同学们写了这么长时间,是不是很辛苦?2.其实,这样求几个相同加数的和的算式还有一种简便写法:乘法。(三)谁知道3+3+3+3+3=15用乘法算式怎样表示?1.算式5×3=15中3表示了什么,5表示什么?2.3+3+3+3+3=15还可以怎样用乘法算式来表示?3.先写一写,再与同桌说一说2+2+2=6可…     

∑ from k=1 to n k~2的三种求法

数列的求和问题是一个饶有兴趣的问题.本文给出三种求数列{n2}的前n项和的方法,并对数列求和的一般解法做些探讨.方法1:归纳假设法这种方法利用最初的数值计算列表发现规律,而后猜测答案,这是发现数学公式的重要方法之一,它给我们“在没有公式之前怎样去找公式”提供了一个很好的范例.取n=1,2,3,4,5,…分别计算∑nk=1k和∑nk=1k2列表如下:12345…∑nk=1k=1+2+…+n1361015…∑nk=1k2=12+22+…n215143055…∑nk=1k2∑nk=1k1(33)35373(39)131…计算∑∑kk2得到一个数列:33,35,37,93,131,…显然此数列可写成2n3+1,所以有12+22+32+…+n21+2+3+…+…     

学习是一种“体验”──“乘法的初步认识”教学案例与反思

[方案对比]方案A :教师创设“星期天去公园游玩”的场景 ,让学生仔细观察画面 ,自由选择信息提出若干数学问题 ,同时列出算式 :3 +3 +3 +3 ;2 +2 +2 ;4 +4 +4 +4 +4等。师 :仔细观察一下 ,这些算式有什么共同的地方。再和你的小伙伴交流一下。生 :我发现它们都是求一共有多少 ,都用加法来计算。生 :我发现每一道算式中的加数都是相同的。师 :对。同学们观察得非常仔细。像这样加数是相同的 ,我们就给它取个名字 ,叫做“相同加数”。你能说说第一道算式中的相同加数是谁吗?师 :你们能不能自己写一道像这样相同加数连加的算式呢?学生充分交流…     

第二届美国数学邀请赛试题及参考解答

1.如果a_1,a_2,a_3,…是等差数列,公差是1,a_1+a_2+a_3+…+a_(98)=137。求a_2+a_4+a_6,+…+a_(98)之值。解注意:a_2=a_1+1,a_4=a_3+1,…,a_(98)=a_(97)+1。由a_1+a_2+a_3…+a_(98)=137,两边同加49得 (a_1+1)+a_2+(a_3+1)+a_4+…+(a_(97)+1)+a_(98)=186, 即 2(a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=186。∴ a_2+a_4+a_6+…+a_(98)=93。 2.n是具有下述性质的最小整数:它是15的倍数,而且每一位数字都是0或8。求n/15。     

用不定方程来解排列组合问题

一些排列组合问题 ,可以用不定方程的正整数解的组数来确定排列组合数 ,这样的求解方法 ,事半功倍 ;但有时需事先处理构造 ,且主要依据以下 2个问题的结论 :问题 1:试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n≥ 2 ,m≤ )的正整数解的组数 .由于 n1≥ 1,x2 ≥ 1,… ,xm ≥ 1,把 n分成 n个 1,其间有 n- 1个空档 ,插入 m - 1块“挡板”,把 n个 1分成m个部分 .则每一种情况对应不定方程的一组解 ,所以原不定方程共有 Cm- 1n- 1组解 .问题 2 :试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n∈ N )的非负整数解的组数 .分析 :把方程 x1…     

第十五讲 代数式(之4)

（4）两个自然数公式的导出下面我们再介绍与S₁相关的另外两个公式:1²+2²+3²+…+n²=（n（n+1）（2n+1））/6 1³+2³+3³+…+n³=[n（n+1）/2]²这就是从1开始的n个自然数的平方和.从1开始的n个自然数的立方和.将它们依次记作S₂,S₃.     

“乘法的初步认识”例1、例2教学实录

教学内容:六年制数学第二册第65页例1、例2。教学要求:使学生初步理解乘法的意义,认识乘号,会读、写乘法算式。教学过程: 一、复习连加,预作准备1.板演:(?) 2.口算:4+1+4 7+3+5 3+3+3 6+6 3.引导学生观察比较板演的两组连加式题,说出第(2)组中的两道连加算式的加数有什么特点? 指出:一样的加数称作相同加数。第(2)组的两道算式都是相同加数连加。(板书:相同加数)     

灵活运用组合数的性质求和

组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中 ,很多问题 ,有时百思不得其解 .灵活运用组合数的性质 :Cmn+1 =Cmn + Cm- 1n ,却能化难为易 ,获得简捷明快的解法 .下面由浅入深研究四个问题 .一、排列数与组合数的求和例 1　求证 :Cmm + Cmm- 1 + Cmm +2 +… + Cmn =Cm+1n+1(其中 m ,n均为正整数 ) .证明 :根据组合数的性质 :Cmm =Cm +1m +1 ,Cmn + Cm- 1n= Cmn+1 .∴ Cmm + Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 +Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 + Cmm+2 +… + Cmn =… = Cm +1n + Cmn =Cm +1n+1 .例 2　求和 :S =Pmm…     

乘法公式的应用

师:学过整式运算,特别是乘法公式以后,可以讨论许多有趣的问题.这些问题,课本上可能没有,但它也不需要更多的知识.你所要做的,就是多想,设法找出一种正确的推理方式.现在就开始吧!第一个问题是:如果n是自然数,并且2n+1是平方数,证明n+1是两个平方数的和.生:看到“证明”两个字有点害怕,不知从何下手.师:不要怕,先举一些例子,逐步熟悉你所面对的问题.例如取n=4.生:这时2n+1=9是平方数,n+1=5,5是哪两个平方数的和呢?应当是1与4的和.师:能不能取n=5?生:不能.因为2n+1=11不是平方数.我取n=12,2n+1=25是平方数.这时n+1=13是4与9的和.师:很好!“证…