椭圆的参数方程

椭圆的参数方程与三角函数有密切的联系．在求与椭圆有关的最值问题时,利用椭圆的参数方程,借助正余弦函数的有界性,能使问题简便快捷获解．     

究竟是方法错了,还是错用了方法?——一道圆锥曲线最值问题解法的纠错之旅

1试题回放 在高三的一堂解析几何复习课上,笔者出示了一道全国高考题供学生练习:设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率为√3/2,已知点P(0,3/2)到此椭圆上的点的最远距离是√7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于√7的点的坐标. 这类问题的常规解法是利用两点间距离公式建立目标函数,通过消元转化为含参的一元二次函数最值问题或利用椭圆的参数方程将其转化为含参数的三角最值问题来求解.     

透视跟椭圆有关的最值问题

椭圆本身的最值问题1.涉及椭圆焦点的最值问题2例1已知椭圆的方程为x2+y=1,F981、F2分别为椭圆的左、右焦点,点A的坐标为(2,1),P为椭圆上的一点,求|PA|+|PF2|的最大值和最小值.透视角度涉及椭圆上的点与两焦点的问题(且所求式中距离系数的绝对值相等时),我们常常先运用椭圆的第一定义,再通过数形结合思想,借助绝对值三角不等式或三角形三边的关系等知识进行转化.     

浅议有关椭圆上动点最值问题的求解

正在学习椭圆简单几何性质的时候,大家都会学习到椭圆方程中的几何意义,它们分别表示了椭圆长轴,短轴的端点到椭圆中心的距离.但很少有人注意到这也是有关椭圆上动点的最值性质,它们表示了椭圆上动点到椭圆中心距离的最大值与最小值.从而,在解决有关椭圆上动点的最值问题时感到很困难.而如果我们在学习的时候能抓住这一性质的内涵,那么在解决有关椭圆上动点的最值问题时就显得游刃有余.     

例谈椭圆最值的求解策略

圆锥曲线在高考中占很重要的地位,每年必考．而椭圆为三曲线之首,其中椭圆的最值问题是比较重要的课题,它主要体现了转化思想的应用,涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等．下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的求解策略．     

椭圆最值问题分类解析

椭圆的最值问题是个重点、难点问题，这类问题涉及面广，综合性强，处理方法灵活多变，对学生的能力要求较高，有较好的区分度，已成为高考命题的热点．笔者根据多年的教学经验，从椭圆方程的特点及椭圆的性质出发，分析其图形结构，分类探析椭圆最值问题解题思路．     

解析几何的最值问题初探

解析几何的最值问题,往往与代数、三角、几何等诸多知识联系在一起,使问题具有高度的综合性和灵活性。因此常用来考查学生综合运用知识的能力,需引起高度的重视。下面从几个方面谈谈最值问题的解法。一、定义法根据定义解题是最基本的方法,它不仅可以加深学生对概念的理解,而且还可以简化解题过程。正确理解定义,并能灵活运用,有利于快速简便地解决相关问题。(一)利用第一定义例1已知点A(1,1)为椭圆x92+y52=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,求｜PF1｜+｜PA｜的最值。解析:不论用椭圆的普通方程(设P(x,y)),还是用椭圆的参数方程(…     

“设而不求”巧解直线与椭圆相交问题

处理直线与椭圆相交问题,采用设出交点坐标,但不求出,利用韦达定理和相关坐标去把问题转化,可巧妙解题下面用一例说明.例已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236+y92=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.分析本题考查直线与椭圆的位置关系问题,通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,再由根与系数之间的关系,直接求出x1+x2,x1x2(或y1+y2、y1y2)的值代入计算即得,并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法在圆锥曲线中要经常用到.本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题,也可采用点差法或中点坐标公…     

与椭圆有关的一些最值的求法

椭圆曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;另一类是椭圆曲线中有关几何元素的最值问题.这些问题往往通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式等知识以及观图、设参、转化、替换等途径来解决(当然在解决其他圆锥曲线问题时也可选用类似方法).以下通过例子简析其一般求法.     

高考椭圆考点透析及解题策略

一．高考试题特点回顾椭圆是圆锥曲线中的重要内容之一,也是高考的热点之一,在高考中主要考查椭圆的概念和性质、求曲线方程及轨迹方程、直线与网锥曲线的关系、定值最值问题、参数问题等．在选择题、填空题中主要考查椭圆的概念、几何性质等基础知识,而解答题则是考查椭圆与其他知识的交汇．以中档题、压轴题的形式出现．     

椭圆的十个“最”

在长期的教学中,笔者经常会遇到或想到椭圆的一些＂最＂值问题,学生们也需要教师给予解答和总结,笔者精选了椭圆十个＂最＂值问题,供师生们参考.     

圆锥曲线点间的最值问题

<正>圆、椭圆、双曲线、抛物线这四种曲线从方程的形式看,在直角坐标系中,方程都是二元二次的,所以把它们称为二次曲线.由于这四种曲线又可以看做不同的平面截圆锥面所得到的截线,因此,它们又统称为圆锥曲线.本文主要是以这四种圆锥曲线有关点间最值问题为例,谈谈解决这类问题的四种常见的转化策略.一、两个定点间距离的转化有关椭圆点间的最值问题有时常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为用到另一个焦点的距离表示,这就可     

从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用

<正>圆锥曲线是解析几何的核心内容,是中学数学的重点、难点,是高考命题的热点之一。根据考纲的要求,理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容,对双曲线是了解的内容;文科只对椭圆是掌握的内容,对双曲线、抛物线是了解的内容。纵观福建近几年来的高考也可以看出这一点,椭圆是高考必考的内容,其次是抛物线,考得最少的是双曲线。而数学的核心问题又是最值问题,数学中的最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面,它在高考中的地位十分突出。最值问题     

数形巧结合 妙解离心率——从2019年高考题中的离心率问题谈起

纵观近几年的高考题,圆锥曲线中椭圆与双曲线的离心率问题一直是个热点问题.解决这类问题即求出c/a的值,实则是去寻找椭圆或双曲线中基本量a、b、c满足的关系式,只要求出任意两个基本量的关系,即可求出离心率的值.一般地,求解策略为利用圆锥曲线的定义与几何性质、结合方程、图形的几何特征等进行综合分析与处理,从而得以解决离心率的求值问题.     

解析几何中参数范围问题的求解策略

解析几何中的参数范围问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目,因而也是解析几何中的一个难点问题·这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等,将问题转化为求函数的值域或最值等来解决·一、运用数形结合探求参数范围例1m为何值时,直线y=-x m与半椭圆2x02     

破解“椭圆中的范围或最值问题”

椭圆中的范围或最值问题是历年解析几何高考考查的重点与难点,不仅会在选择题、填空题中进行考查,也会在解答题中着重考查学生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力.本文归纳总结椭圆中的范围或最值问题求解策略,帮助读者提高解决这类问题的能力.     

求椭圆弦长的一个公式

求椭圆的弦长问题,是椭圆中的一个基本问题。看去似乎简单,做起来才深感麻烦,一旦椭圆方程或弦所在直线方程比较复杂时,将直线方程代入椭圆方程后,再通过应用韦达定理和距离公式等等去求出其解,其过程更加烦琐,学生往往因此而导致错误或半途而废,为     

椭圆中关于最值问题的几个结论

本文给出椭圆中的几个(一类)最值问题的结论,并通过整体换元的方法将所求的最值问题转化为求二次或一次函数最值的方法给以证明.     

破解椭圆中有关面积最(定)值问题的新视角

<正>求解与椭圆有关的三角形面积的最值或者定值是圆锥曲线中的热点问题之一.这类问题往往综合性强,常规解法是直角坐标法：先运用椭圆的弦长公式表示三角形的底边长,借助点到直线的距离公式表示三角形的高线长,再运用三角形面积公式表示面积.这种解法运算量大,推理过程复杂,容易出错.本文另辟蹊径,运用直线参数方程、椭圆参数方程和坐标伸缩变换破解几道与椭圆有关的面积问题,以期对同学们求解圆锥曲线问题起引导作用.     

三用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为:x=acosφ,y=bsinφ(φ为参数,a>b>0),它是椭圆的另一个重要表示形式,具有揭示性质、简化运算、构造坐标等作用.椭用的参数方程的应用主要有"揭示性质求椭圆"、"简化运算求最值"、"构造坐标求点式"三个方面,下面对椭圆参数方程的三个应用进行举例分析: