由一道竞赛题引出的定理及其应用

1987年全国初中数学联合竞赛第二试第二题: 已知:D是△ABC的边AC上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C=45°,∠ADB=60°。求证:AB是△BDC的外接圆的切线。此题证法较多,下面用三角法给出证明: 证明:设DC=1,∵ AD∶DC=2∶1 ∴ AD=2,AC=3。在△BDC中,由正弦定理得3~(1/2)BD=2~(1/2)BC     

“证明(二)”自测题

一、填空题1 如图 1 ,已知AB =CD ,AC=BD (1 )图中全等的三角形有　　　　对 ,它们分别是　　　　　　　　　　　　　　　　 .(2 )求证 :OB =OC .分析　 要证OB=OC ,只要证△　　　 ≌△　　　 ,要证△　　　≌△　　　 ,只需要再有条件∠　　　　 =∠　　　　 (或∠　　　　 =∠　　　　 ) .2 如图 2 ,△ABC中 ,AB =AC ,∠BAC=40°.CD是高线 ,则∠BCD =　　　　°.3 如图 3 ,△ABC中 ,∠ACB=90°,∠A =3 0°,AB =8cm ,CD ⊥AB于点D .则BD =　　　　cm ,AD =　　　　cm ,CD =　　　　cm .图 44 如图 4,AD是△ABC…     

例谈三角形全等的证题

三角形全等的证明是几何证题中的重要内容.证三角形全等,可用来证明两线段相等,两角相等,两直线垂直等等.如何准确、迅速地探求出从已知条件到达求证结论的证明途径呢?下面通过实例来谈谈探求证明途径的基本思路.例1已知:如图1,A、B、C三点在一条直线上,△ACD和△BCE都是等边三角形.求证:AE=DB.分析从△ACD是等边三角形,可得AC=DC,∠BCD=60°,同理,EC=BC,∠ECA=60°.欲证AE=DB,只需图1证△BCD≌△ECA.证明∵△ACD是等边三角形,∴AC=DC,∠BCD=60°.同理,EC=BC,∠ECA=60°.在△ECA和△BCD中,∵AC=DC,∠ECA=∠BC…     

利用三角函数解(证)几何题

一、应用特殊角的三角函数例 1　在△ABC中 ,∠A=1 2 0°,AB=3,AC=2 ,求 BC和 sin B。解 :过 C作 CD⊥ BA,交 BA的延长线于点 D,如图 1。∵∠ BAC=1 2 0°,∠ D=90°,∴∠ DAC=60°,∠ ACD=30°。在 Rt△ ACD中 ,AD=12 AC=1 ,CD=AC· sin∠DAC=2×sin60°=3。在 Rt△ BCD中 ,BD=BA AD=4,BC=BD2 CD2 =42 (3 ) 2 =1 9,∴ sin B=CDBC=31 9=571 9。例 2　已知 :△ ABC的边 AC=2 ,∠ A=45°,cos A、cos B是方程 4x2 - 2 (1 2 ) x m=0的二根 ,求 :(1 )∠ B的度数 ;(2 )边 AB的长。解 :(1 )∵∠ A=45°,∴ cos …     

第34届IMO第2题的解答与推广

原题 设D是锐角△ABC内部的一个点,使得 ∠ADB=∠ACB 90°,并有 AC·BD=AD·BC。 (1)计算比值 AB·CD/AC·BD。 (2)求证△ACD的外接圆和△BCD的外接圆在C点的切线互相垂直。 这是一道难度较大的几何题,求比值AB·CD/AC·BD的关键是寻找角度与线段之间的关系。 下面介绍一种简捷的解答方法,并对原题进行     

一道竞赛题及其推广

2000年第十五届江苏省初中数学竞赛第二试题:已知:(1)四边形ABCD中,AB=AD,∠DBA=60°,∠BCD=120°,求证:AC=BC+CD.     

初二第二学期期末考试数学试题

一、填空题1 .sin30°· cos30°=;1tg45° tg60°=。2 .在△ ABC中 ,∠ ACB=Rt∠ ,AC=5,BC=1 2 ,则 sin B= ;tg A=。3.sin2 3 2° cos2 3 2°=;cos2 0°- cos50°填 (>0或 <0 )。4.方程 x2 x=0的解是 ;方程 x2 2 x- 1 =0的解是。5.已知方程 2 x2 1 3x k=0 ,如果一个根是- 3,则另一个根是 ,k=。6.不解方程 ,判断方程 5x2 - 2 x=- 1根的情况 :因为△ ;所以方程。　　 7.如图 ,△ABC中 ,DE∥BC,若 ADDB=32 ,则△ ADE与△ ABC的周长比为 ;S△ A DE∶ S梯形△ DBCE=。　　 8.如图 ,M是 AB的中点 ,AB=1 2 ,AC=9,且∠ ANM=…     

章末小结

点拨根据条件过B作AC的垂线交AC于D,如图所示,在Rt△BCD中．∠BCD=25&#176;＋20&#176;=45&#176;．BD=CD=15√2km．在Rt△ABD中,     

数学问题与解答——1994年第2期问题解答

326.△ABC中,AC=BC,点P在AB上,M、N分别是△APC、△BPC的外心,如果MN=PC,求证:PA~2,PC~2,PB~2成等差数列。 证:连结CM、PM、CN、PN,由正弦定理,PC/sinA=2·CM=2·PM,PC/sinB=2·CN=2·PN,∵∠A=∠B,∴CM=PM=CN=PN。 又∵MN=CP,∴四边形CMPAN为一正方形,且∠A=1/2∠CMP=45°,∠B=1/2∠CNP=45°。     

一道IMO试题的溯源及拓广

在第34届IMO中,由英国提供的一道试题为:命题1.设D是锐角△ABC内部的一个点,使得∠ADB=∠ACB+90°,并有AC·BD=AD·BC.(a)计算比值 AB·CD/AC·BD;(b)求证△ACD的外接圆和△BCD的外接圆在C点的切线互相垂直.就命题1而言,首先让我们来追溯一下可能的构思路线.我们知道,初中《几何》课本第二册P.39的第16题为:     

运用方程思想解有关角度问题

有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

证明(二)单元测试卷

一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形…     

巧妙构图 tan15°

如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2).     

用计算法证明几何题

不少几何题,可由题设及图形特征,通过边计算边推理进行证明。这是几何证明中常常采用的一种证题方法。 例1 已知:如图1,在△ABC中,∠C=90°,D和E是斜边AB上的点,且AD=AC,BE=BC。求证:∠ECD=45°。证明 ∵ AD=AC,BE=BC。 ∴ ∠1+∠2=∠4=∠3+∠B,① ∠1+∠3=∠5=∠2+∠A,②     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.     

三角形内外角平分线的两个性质及应用

三角形内外角平分线有如下的重性质: 若△ABC的角A的内(外)角平分线交其外接圆于D(D)′,则有 (1) AB AC=2ADcos(A/2); (2) |AB-AC|=2AD′sin(A/2)。证明:不妨设AB≥AC。 (1) 从D向直线AB、AC作垂线垂足分别为E、F,连DE、DC易证△AED≌△ADF △BED≌△DCF, ∴ AE=AF,BE=CF. ∴ AB AC=(AE EB) (AF-CF)     

比值法在平几中的应用

1.证线段相等 例1.以Rt△ABC斜边AB为直径作圆,过C的切线分别交以AC、BC为直径的圆于DE。求证CD=CE.、~一CD习七巧刁下犷书一.= U乃ACeos匕飞BCeos乙2 ACeos匕3一BCeos匕4A Beos匕4 eos乙3A Beos乙3 eos匕4:。CD=CE.2.证线段的和差倍分间的等式3.证线段的不等关系例2。△ABC的乙A=6。“,求证:ZBC)AB+AC。证设△ABC外接圆半径为R,则 2方CAB+AC2一ZRS in60。ZRs inC+ZRs inB25 in60。25 iflB+C 2COSB一C 2 1=一—一.万刃一.一丁干二〕1。 __O一U- CU吕—.’.2 BC)AB十AC.4.证明线段成比例5.证明线段的等积式…     

这题证明不全面

已知AB为平面α外一线段,平面α的斜线AC、BD与α所成角是30°、60°,AC=6,BD=2(3~(1/2)),AB=5。求证:AB∥α。证如图,AB在平面α内的射影为A_1B_1,则 AA_1=6sin30°=3 BB_1=2(3~(1/2))sin60°=3,     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、