用圆锥曲线定义巧解一类最值问题

在平面几何中,我们会在直线上求一点,使它到直线外两定点A、B的距离之和最小和距离之差最大.在解析几何中,很自然地联想到,能否在圆锥曲线上找一点到两定点的距离之和为最小呢?本文将给出当一定点为圆心或焦点时,利用圆锥曲线定义求最小值     

利用等长转移思想求最值

解题时常常会碰到这样的问题:在已知图形(线、面)上求一点P,使:(1)点P到两个定点的距离和最小;(2)点P到一定点的距离和点P到某个确定平面的距离和最小;(3)点P到两个定点的距离差的绝对值最大.     

利用对称点最值(高二、高三)

在求几何中关于“定点到动点距离之和(差)”的最值时,我们常用到对称点.关于该方法的证明及应用,现给出三类情况.1.已知两点在一条直线同侧,在直线上找一点。使其到两定点的距离之和最小寻找方法:作出任一定点关于直线的对称点,连结该对称点与另一定点交直线的点即为所求,且上述的最小值为该对称点到另一点的距离.图1     

圆锥曲线的一类最值问题

<正> 本文探讨在圆锥曲线上求一点,使其到一定点和一焦点(或圆心)的距离之和最小、或距离之差(绝对值)最大的问题. 圆锥曲线将平面分成两部分,我们称含焦点的区域为圆锥曲线的内部,不含焦点的区域为圆锥曲线的外部.以下讨论定点在曲线内     

一个几何模型的六类应用

一、几何模型如图l,点A,B是在直线z同侧的两个定点,在直线Z上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小．     

例析直线部分的最值

一、利用对称法求最值 例1在x轴上求一点P,使点P到两点A（0,1）、B（3,3）的距离之和最小．[第一段]     

点的距离之和(差)的最值问题

<正>解析几何中有一类题型是求解动点到两个定点(或动点)之间距离和或差的最值问题.遇到这类问题很多同学会摸不着头脑,本文将对这类问题进行梳理,以找到合适的求解方法.一、利用对称性求和的最小值例1已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),在直线上l求一点P,使     

用平几知识求解极值

利用平几知识求解极值,可以使某些复杂、棘手的问题变得简单、明了,避免大量的数学运算,起到化繁为简、变难为易的作用,兹举数例如下: 例1 在直线l:3x-y+2=0上求一点P,使它到两定点A(8,6),B(2,-2)的距离之和为最小,并求出这个最小值。     

应用两点间距离与复数的模求有关极值

我们知道: 一、在已知直线(曲线)上求一点,使它到两定点的距离之和为最短的最小值点的几何作图法. ①当两定点A、B在已知直线(曲线)l异侧时,则连结A、B两点的线段与已知直线(曲线)的交点P就是所求之最小值点,其最小值S-|AB|. ②当两定点A、B在已知直线l同侧时,作两定点中的其中一个定点关于直线l的对称点,与另一定点的连线段与l的交点P就是所求之     

用构造法解题

有些数学问题,根据其自身结构的特点,联想已学过的知识加以比较,可以构造成已知知识的模型来解决。 1 构造两点间的距离公式求最值 已知P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)两点,则 例1.1 求函数的最小值. 分析 y的表达式近似两个“点与点的距离”之和.如果能够把问题转化为一个动点到两个定点距离之和(构造两点间的距离公式),则最小值问题也就迎刃而解了。 解 如图1,设点P(x,0),A(0,1),B(2,-2),则y就是x轴上的动点P到两定点A,B的距离之和     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

异侧和最小 同侧差最大——到两定点距离之和与差的最值问题的新观察

正1问题提出解析几何中,我们常遇到1个动点到2个定点距离之和与差的最值问题,此类问题的条件通常是给出2个定点和1个动点,动点往往有固定的轨道,所求的问题一般是动点到2个定点的距离之和或差.此类问题往往因为定点处于轨道的异侧与同侧之分,轨道也有直线与曲线之别,距离又分和差,最值有最大也有最小,所以看起来解法各异,甚是     

解决线路最值问题的一个有效模型

线路最值问题是中考中常见的问题之一,解决这类问题常用到一个有效的模型:如图1,在直线l的同侧有两个点A,B,试在直线l上取一点P,使点P到点A、B两点的距离之和最小.点P应选在何处?     

等角线及应用(高一、高二、高三)

在一条曲线上求一点,使它对两定点的张角最大或最小,这类问题可用解析几何中的夹角公式求解,这时要讨论斜率是否存在,考察函数单调性或者用不等式.这里介绍一种作图求点的几何方法.在平面几何中由圆的知识可知:同弧所对的圆周角相等,     

一道高考试题的开放性探究

问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。本试题看似一个存在性问题,实际上是一个不折不扣的轨迹问题。但问题的提出却出乎意料:不开门见山直问“求过点P的轨迹”,而是以“到两定点的距离之和为定值”来代替。但稍有圆锥曲线知识的学生容易联想到:到两定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆。从而该题即“是否存在这样的常数a,使点P的轨迹为椭圆”。眼前便豁然开朗,从而轻松获解。     

一个几何模型的六类应用

<正>一、几何模型如图1,点A,B是在直线l同侧的两个定点,在直线l上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小.AB图1%AlB′BC′C图2作法如图2,作点B关于直线l的对称点B',连结AB'交直线l于点C,则C即为所求.连结BC,这时AC+BC最小.证明略.这个几何模型,是用来解决线段和最小值问题的一种常用方法.但是,在比较复杂的     

活用两点的距离公式解题例谈

两点的距离公式主要用于求两点的距离,若能灵活应用,则可使有些数学问题的解决更直观、明了,现将在高中数学中的几种常见用法归纳如下:一、解方程【例1】解方程|3x-2| |3x 7|=9解:原方程化为|x-32| |x-(-37)|=3.①根据两点的距离公式的特殊情形,即数轴上两点的距离公式,可知①式即求点M(32)和另一点N(-73)的距离之和等于3的x的值,显然-37≤x≤32是原方程的解.【例2】解方程x2 y2 (x-2)2 y2 (x-2)2 (y-4)2 x2 (y-4)2=45.解:方程的左端可表示为如图1所示的坐标平面内任意一点P(x,y)到四个定点O(0,0)、A(2,0)、B(2,4)、C(0,4)的距离之和.OA…     

用变换与共线性解一类极值问题

《平面解析几何》中，有一类概值问题：动点在已知曲线上运动，曲线将坐标平面分成不同区域，当两已知点在不同或相同区域时．求动点到两定点距离之和或距离差的绝对值的极值．这类问题，若直接通过建模．单纯用代数法确定极值时．难以求解．易用变换与共线性解之．下面就常见题型作一简单介绍．     

从解析几何角度看一类距离问题

从将军饮马问题出发,以解析几何的视角讨论了定直线上一动点到直线外两定点的距离之和、差、比、积问题,给出了具体的计算思路与过程.     

它们的轨迹是椭圆(高二、高三)

1.到两定点距离之和为定值m(m大于两定点间的距离)的点的轨迹. 例1 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 分析在图1中,由△ABC