每期一题

.如图,△ABC中,D、E分别是边刀C、AB上的点.且匕l=艺2~匕3,如果△月刀C、△忍石D和△ADC的周长依次为m、,:、,:,证明:(m:+m:)/m成5/4. (1989年全国初中数学联赛试题) 解法三分解法 过D作DF//BA交AC于F,记△FDC的周长为m3,由△ABC的△EBD 分析本题属几何不等式,其解题思路是将题中的有关t转化成二次式型,B 月乙。 盛声仍△DAC的△FDC,显然m,+m:~m于是又 ml”忿2从s然后利用二次函数最值或判别式加以解决.各种解法的转化方式着眼点各有差别. 解法一直接法 设BC=a,AC=b,AB一‘,由/1-匕2=艺3得△ABC的△EBD仍△DAC,刀忿a: …     

从高考试题看向量数量积的求解方法

平面向量的数量积是平面向量的重要内容,与三角函数、解析几何、平面几何等章节有密切联系.在江苏高考考试说明中是8个C级要求之一,难度比较大.纵观近几年的高考试题,数量积的求解方法主要有以下几种. 一、定义法 [例1](2008年湖南卷)如图1所示,在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=√10,则→AB·→AC= 分析:→AB,→AC的模已知,重点是求出→AB与→AC的夹角. 解:在△ABC中,∵AB=3,AC=2,BC=√10,∴由余弦定理得cos∠BAC=9+4-10/2×3×2=1/4,∴→AB·→AC=| →AB| |→AC| cos∠BAC=3× 2×1/4=3/2.     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

"整体思想"在图形中的运用

所谓整体思想,是在解数学题时,从大处着眼,由整体入手,把一些貌似彼此独立实质上紧密联系的量作为整体来考虑的思想方法.这种思想方法在解决实际问题时有着十分重要的作用,常可使许多按常规方法不可解或比较难解的问题得到快速便捷的解答,举例说明如下:例1如图1,在△ABC中,AC=6cm,BC=4cm,DE垂直平分AB.求△BDC的周长.解:∵DE垂直平分AB,∴AD=BD.∴BD DC=AD DC=AC=6.故△BDC的周长=(BD DC) BCAEB DC图1=AC BC=6 4=10(cm).评析:按常规解法,求出△BDC三边的长后,就可求得△BDC的周长.但本题根本求不出BD、DC的长.从而…     

斯库顿定理及应用举隅

如图一,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则AD~2 BD·DC=AB·AC. 这就是平面几何中著名的斯库顿定理.它的证法简便. 证明:延长∠BAC的平分线AD交⊙ABC于E,连结BE.∴∠E=∠C,∠BAE=∠DAC,∵△ABE∽△ADCAB/AE=AD/AC,∴AD(AD DE)=AB·AC.即AD~2 AD·DE=AB·AC,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,∴AD~2 BD·DC=AB·AC.     

向量基本定理表示形式新探索

P是△ABC所在平面内一点,由平面向量基本定理,存在唯一有序实数对λ1,λ2,使得:→AP=λ1→AB λ2→AC.得:→AP=λ1 →AB λ2 →AC.     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

巧思妙解中考题

许多中考题,解法比较灵活,有循规蹈矩的“正宗”解法,也有别出心裁的巧解.现举例说明.一、抓住特殊例1如图1,在等边三角形ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,D是MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F,若C1E B1F=6,则B△ABC的边长是().(A)81(B)14(C)12(D)1(2005年浙江省湖州市中考题)分析本题是一道难度较大的选择题,其一般解法是利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质求解.注意到D是MN上的任意一点,可这样巧思:将D运动到M(或N)点,则BF=21AB,CE=AC=AB,由C1E B1F=6,有A1B 112AB=6,解得AB=21,从而选…     

图形定位与解题

先看下面两题:题1 过双曲线x/16-y/9=1左焦点F_1 的弦AB=6.设F_2 是右焦点.求△ABF_2 周长.题2 过双曲线X~2-Y/3=1左焦点F_1的弦AB=3.设F_2 是右焦点.求△ABF_2的周长c这两题的统一解法是使用直线的参数方程.题1利用双曲线定义有更简单的处理方法.事实上.如图1.|AF_2|-|AF_1|=2a=8 ①|BF_2|-|BF_1|=8 ②① ②得|AF_2| |BF_2|=16 |AF_2| |BF_1|又|AF_1| |BF_BF_2|=|AB|=6.周长=|AF_2| |BF_2| |AB|=28     

探究一题多解 凸显思维过程——一道填空题的解法探究

<正>等边三角形是初中几何中重要的基本图形之一.本文通过对一道填空题多种解法的探究,深入讨论此类基本图形在解题中的重要作用.题目如图1,△ABC是等边三角形,点D是AB的三等分点,且BD/AB=1/3,点E是AC的中点,BE、CD交于点F,则∠EFC的正切值为.解决本题的关键是,利用已知E是AC的中点,由等边三角形三线合一性质得BE⊥AC,则∠FEC=90°.     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

08年高考试题研究 7．江苏卷理科第13题

题目满足条件AB=2,AC=2^1/2BC的△ABC的面积的最大值为_<sub><sub>.分析初看本题平淡无奇,深入探讨后发现本题内涵丰富.易想到公式S_△ABC= 1/2absinC,即解法1,但过程略显繁琐;解法2是解析法,一般学生不容易想到,而用解析法,方     

2007年全国高中数学联赛试题解答集锦

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.在正四棱锥 P-ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( ).A.1/7 B.-1/7 C.1/2 D.-1/2基本解法:如图1,过点 A作 AM⊥PB,垂足为点 M,由对称性知,∠AMC 为二面角A-PB-C 的平面角.不妨设 AB=2,则由∠APB=60°,得 PA=AC     

一道高考向量试题的解法分析

20 0 4年高考数学 (湖北卷 )理科第 19题 :如图 1,在Rt△ABC中 ,已知BC =a ,若长为 2a的线段PQ以点A为中点 ,问PQ与BC的夹角θ取何值时 ,BP·CQ的值最大 ?并求出这个最大值 .1　基本解法本题主要考查向量的概念 ,平面向量的运算法则 ,考查运用向量及函数知识的能力 .解法Ⅰ　∵AB⊥AC ,故AB·AC =0 .∵AP =- AQ ,BP =AP- AB ,CQ =AQ -AC ,∴BP·CQ =(AP -AB)· (AQ -AC)=AP· AQ - AP· AC- AB· AQ +AB·AC=-a2 -AP·AC +AB·AP=-a2 +AP· (AB- AC)=-a2 +12 PQ·BC=-a2 +a2 cosθ .当cosθ=1,即θ =0 (…     

分析反思 探究新解

1分析解法首先看一位教师对2012年高考数学浙江卷理科第15题的讲评:在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB·AC=____.解∵AB=AM-1/2BC,AC=AM+1/2BC,∴AB·AC=(AM-1/2BC)·(AM+1/2BC)=AM2-1/4BC2=9-1/4×100=-16.老师讲完以上解法马上转入下一道题,没有分     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

三角形分角线及其应用

大家知道,在△ABC中,若AD是∠A的平分线,则面BD/DC=AB/AC,若D为BC边上任意一点,由正弦定理,得在△ABC中,BD/AB=sinα/sinγ, 在△ACD中,DC/AC=sinβ/sin(180°-γ),两式相除得BD/DC=AB·sinα/AC·sinβ。     

对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

三角形内外角平分线的两个性质及应用

三角形内外角平分线有如下的重性质: 若△ABC的角A的内(外)角平分线交其外接圆于D(D)′,则有 (1) AB AC=2ADcos(A/2); (2) |AB-AC|=2AD′sin(A/2)。证明:不妨设AB≥AC。 (1) 从D向直线AB、AC作垂线垂足分别为E、F,连DE、DC易证△AED≌△ADF △BED≌△DCF, ∴ AE=AF,BE=CF. ∴ AB AC=(AE EB) (AF-CF)     

上期《“相似图形”测试题》参考答案

A卷:1.D.2.A.3.D.4.D.5.C.6.D.7.B.8.A.9.2∶3.10.3-25.11.4.12.20.13.4.8.14.(1,-2).15.230.16.14494.17.(1)由AB=AC得∠ABD=∠ACE,再由AB2=DB·CE,AB=AC得BADB=CAEC,故△ADB∽△EAC.(2)110°.18.(1)答案不惟一,如∠ACP=∠B,或AC2=AP·AB等.(2)26.19.(1)由△A′PP′∽△A′B′B可得AA′′BP′=BPBP′′,即A′2B′=19.8,所以A′B′=10.(2)B′Q=AB′-A′P-PQ=10-2-6.5=1.5,再根据AQ′BB′′=AQ′AQ′得110.5=1AA.8′,所以AA′=12.20.(1)一定相似.因为AD=DB,FD⊥AB,所以FA=FB,所以∠A=∠FBD,因为…