点到直线距离的最值

题目 如图1,已知P为椭圆C：x^2＋4y^2=4上任意一点,求点P到直线l：2x＋3y=6距离d的最大值与最小值．     

数形结合求最值

在数学问题的解决中,等价转化与数型结合思想有着极其重要的应用,尤其在一定条件下,求某些式子的最值问题,就可利用数形结合的方法,转化为求斜率、截距、距离等问题,从而使问题得到解决．一、转化为直线的斜率例1 如图1,若实数x,y满足(x-2)2 y2 =3,求y/x的最大值及最小值. 点拨:点(x,y)满足圆的方程,而y/x正是圆上的点与原点连线的斜率．如果把(x,y)视为动点,借助图形观察,则y/x的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率．     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

谈复数的模的最值问题

复数的模的最值问题,涉及知识面广,灵活性大,在各级各类考试中经常出现,现将几种常用解法予以归纳.1.利用复数的几何意义求最值例1已知复数z的模为2,则z-i的最大值为()A.1B.2C.!5D.3解:∵z=2,所以z所对应的点在以原点为圆心、2为半径的圆上,如图所示;∴z-i就表示圆上的点到点B的距离,即z-i的最大值为AB=3∴选D.2.利用三角函数法求最值例2已知z,z∈C,求W=z2-z 1的最值.解:∵z,可设z=cosθ isinθ∴W=z2-z 1=(cos2θ-cosθ 1) i(sin2θ-sinθ)=!(cos2θ-cosθ 1)2 (sin2θ-sinθ)2=!3-4cosθ-2cos2θ=!4cos2θ-4cosθ 1=2cosθ-1.当cosθ…     

来函照登

今由西安市华山中学万笃勋、湖北大司师范高三文科班刘敬鸿、四川仁寿县北斗中学刘国权、上海市上南中学沈珊妹、浙江省衢州二中江璧奎等同志来信指出：本刊93年第11期P7的例1：“x为何值时，取得最小值，并求出这个最小值。”的解答过程有误，原文在利用复数解时，把Z1、Z2误令为Z1=X 3i,Z2=X-4 i，从而得出错误的最小值为而正确的解法是：解法1令解法2所以y可看作是点A（x,0）到点B（0，3）和点C（4，1）两点的距离。要求y值最小，即求A点到B、C两点距离之和为最小.作C点关于x轴的对称点C'（4，-1）.则|BC'|即为最小值，而BC'…     

浅谈复数在数学解题中的应用功能

复数的几何表示和复数运算的几何意义,揭示了复数和平面上图形的对应关系;复数模的大小则指明复数和不等式及最值关系密切;复数的三角表示则又沟通了复数与三角函数之间的内在联系。因此复数知识在解决数学问题中发挥了广泛的作用。一、复数在求最值中的应用功能复数模的范围可用不等式表示,而求最值则要借助于不等式,由此运用复数的这一性质又开辟了一条求最值的新思路。例1已知复数ｚ1、ｚ2满足关系式|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,设ｚ=ｚ1·ｚ2,若ｚ=ｘ ｙｉ(ｘ、ｙ∈Ｒ),求ｘ ｙ的最大值和最小值。解:∵|ｚ1|2 |ｚ2|2=1,而|ｚ|=|ｚ1|·|ｚ2|≤|ｚ1|2…     

二次函数的定义、图象、性质及其应用

一、知识要点掌握二次函数的定义、图象和性质及其应用，以及用配方法求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值．二、解题指导例1已知抛物线经过点。P（2，－8）．（1）求k的值；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴方程和最小值．（浙厂．1993年）分析（1）要求k的值，只要根据题目条件列出关于上的方程即可．因抛物线经过点H（2，－8），故一8—2’WZk－8．k——－2．（2）由（1）知，y—X’一ZX－8一（X－1）‘－9．所以抛物线的顶点坐标为（1，－9），对称轴方程为X一1，最小值为一9．例2已知抛物线y—x’We（。n－4）x－m与X轴的两个交点…     

巧用矩形的对角线相等解题

<正>矩形的对角线相等是矩形的性质之一,巧妙地利用这个性质,可以使某些问题得到简单而快捷的解决.一、求最值例1如图1,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一个动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.BPC F E A图1%分析与解连结AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,     

初中数学中的函数最值问题

最值问题是初中数学的一个重要内容,也是各种考试命题的一个热点。笔者根据自己的教学体会,将初中阶段所涉及的求函数最值问题的题目类型归纳如下。 一、求y=ax~2+bx+c(a≠0)型的最大(小) 值 当a>0时,y最小值=(4ac-b~2)/4a;当a<0时,y最大值=(4ac-b~2)/4a。 例1.求y=-2x+7的最大值. 解 ∵a<0,∴y最大值=(81)/8. 例2.求y=2x~2-3x+4的最小值. 解 ∵a<0,∴y最小值=(23)/8. 二、求隐二次函数的最大(小)值 已知y与x不成二次函数关系,但z与x成二次函数关系,可以先求z的最大(小)值,而后再求y的最大(小)值. 例3.求函数y=1/(2+(x-1)~2)的最大值.     

巧解圆中的最值问题

<正>求最值是常见的数学问题,几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉,圆中的最值问题也走进了我们的视野.基本模型如图1、2,平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O,连结AO并延长,分别交圆于B,C两点,则AB为AP的最小值,AC为AP的最大值,即最小值为|AO-半径|,最大值为AO+半径.     

求解复数模和辐角的一个重要公式

若设两个非零复数为该公式简单易证，下面谈一谈该公式的一些应用：一、求解复数的辐角问题公式（·）可变形为，用上述两种变形形式求解辐角问题异常方便．的辐角主解设由公式（1）例2若虚数z_1，z_2满足解设例3若复数Z_1,Z_2满足此时显然成立例4已知复数Z满足辐角为o，求证：(k为整数)．由于Z的辐角为O．则1/z的辐角为亦即为整数）例5已知在复平面上三个不共线的点所对应的复数为z_1、z_2、z_3其中z_1的辐角主值为0；z_2、z_3的辐角主值是α、β，且z_1 z_2 z_3=0，为何值时，cos（β—α）有最大值？解由题知当m=2时，2m（4-m)取得最大…     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

初中几何问题巧解——从一般到特殊

<正>同学们在解几何问题时,经常会遇到求两边和(差)最大(最小)值的问题．问题1,在△ABC中,AB=AC,边AC的垂直平分线分别与AB,AC相交于点M,N,AB=12,△BMC的周长为20,点P是直线MN上的动点,求PA-PB的最大值．问题2,在菱形ABCD中,AB=6,AC与BD相交于点O,AC上有一点N,且AN=2,点M在直线BC上,且■,点P是对角线BD上的一动点,求PM-PN的最大值．问题3,已知正方形ABEF的面积为4,正方形外有一点C,连接CE,BC,△ECB是等边三角形,正方形ABEF的对角线BF上有一点P,若使PC+PE的值最小,则这个最小值的平方为多少?     

注重以形助数教学 拓展思维域限

我们知道，数学是客观现实数量关系的抽象反映形式，随着它的抽象性发展，学生对它的理解愈加困难，而以形助数正是要把它抽象形象地加以反映，从而摆脱“玩数字魔术式”的解题假象，使之成为生动有趣的思维过程，同时充分运用这一思想，便可拓展学生思维域限，提高其思维能力。　　一、充分应用量的几何意义　　例1已知复数Z满足|z＋1＋i|=1，求|z＋1－i|的最大值和最小值　　[解1]：设w=z＋1－i则z=w－1＋i　　方程|w－1＋i＋1＋i|=1即|w＋2i|=1，因此w对应点的轨迹是以(0，－2)为圆心、半径为1的圆(如图一)　　而|w|即圆上的点到原点的…     

复数最值问题解法种种

1．化为实数问题例1 复平面上点A、B对应的复数分别为z1=2，z2=-3，点P对应的复数为z，z-z1/z-z2的辐角主值为ψ，当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周(不包括两个端点)上运动时，求ψ的最小值。     

弦函数的最值点在解题中的应用

弦函数的最值点,不但可以显示函数的最大值和最小值,而且利用它还可以解决其它一些问题,请看下面的例子. 一、求三角函数的解析式例1(90年全国高考题)已知函数y=Asin(ωx )在同一周期内,当x=π/9时,取得最大值1/2,当x=4π/9时,取得最小值-1/2,则该函数的解析式为( )     

应用复数解题例说

复数在三角、几何、代数中有着极其广泛的应用．利用复数解题的关键是构作适当的复数，本文枚举部份高考题说明复数法的应用．例1已知正方形ABCD相对顶点A（0，－1））和C（2,5）．求顶点B和D的坐标．（1991年全国高考文科试题）解如图运用复数的几何意义构作复数，设OB＝x＋yi，OA＝－i，则AB＝OB－OA＝x＋（y 1）i，由正方形性质得：由复数相等得例2求sin(2arcsin4/5）的值（1962年高考题4题）注意：Imz代表复数z的虚部，Rez代表复数z的实部．例3已知sina＋sinβ＝1/4，cosa＋cosβ＝1/3，求tg（a＋β）的值．（1990年全国高考题…     

一道高考压轴题的探究历程与教学建议

<正>一、试题呈现如图1,已知抛物线C:x2=2py(p> 0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求ΔPAB面积的最大值．     

复合最值问题的十大解题策略

在竞赛数学中，经常会遇到复合最值问题．所谓复合最值问题，即最大值与最小值相互嵌人求解的问题，具体地讲也就是在最大值中求最小值或最小值中求最大值的问题．这类问题比较抽象，难度较大，颇受竞赛命题者的青睐．本文拟通过典例归纳复合最值问题的十大解题策略．