循环小数几个猜想的证明及推广

1 引言为了叙述的方便,我们约定:既约分数 q/p(p 是素数,且 p≠2,5)可化成循环小数,最短循环节形式的循环小数我们称之为 p-小数;最短循环节的长度称为该小数的长度.我们不妨设既约分数 q/p 是真分数,即1≤qp),由带余除法 n=pm+r(m 为整数,r相似文献   

充要条件学习指导

对高中生来说,在数学学习中应理解并掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义,能够判断给定的两个命题之间的关系,这是提高数学素养的基本要求.一、理解充分与必要条件的概念已知p、q是两个命题:(1)如果有p q,则称p是q的充分条件,而q是p的必要条件;(2)如果既有p q,又有q p,即p q,则称p是q的充要条件;(3)如果已知p q,且q/p,则称p是q的充分不必要条件;(4)如果已知p/q,且q p则称p是q的必要不充分条件;(5)如果已知p/q,且q/p,则称p是q的既不充分也不必要条件.二、理解充分、必要条件与四种命题的关系原命题为:“若p则q”,则否命题为“若┐p则┐q…     

第一讲 数与式复习精讲

1.1有理数知识梳理1.复习有理数的概念,要注意这样三点:(1)整数(正整数、零、负整数)、分数统称为有理数;(2)有理数均可以表示为两个整数之比p/q(p、q是互质的整数,且q≠0)的形式,注意(22)/7是分数,但2~(1/2)/7不是     

充分条件和必要条件的理解与判断

一、定义(1 )若 p q,则称 p是 q的充分条件 ,q是 p的必要条件 ;(2 )若p q,p \q ,则称 p是q的充分而不必要条件 ;(3 )若 p / q,p q,则称 p是 q的必要而不充分条件 ;(4)若 p q ,则称 p是 q的充要条件 ;(5)若 p / q,p \q,则 p是q的既不充分也不必要条件 .说明 :“p q”就是说如果 p成立 ,那么 q一定成立 .换句说 :p成立时 ,一定能推出 q成立p是 q的充分条件与 q是 p的必要条件 ,这两句话是完全等价的 ,它们是同一逻辑关系“p q”的不同表述 .二、与四种命题的关系(1 )若原命题“若 p则 q”为真 ,即“p q” ,逆命题“若 q则 p”为假 …     

第一届墨西哥数学奥林匹克试题与解答

1990年,墨西哥举行了第一届数学奥林匹克。竞赛分两天进行,每天4.5小时,共有62名中学生参加。这里提供的试题译自俄罗斯《Квант》杂志92年第1期。 1.证明:如果两个不可约分数的和是整数,那么这两个分数的分母相同。证设两个不可约的分数为q/p和n/m,则 q/p n/m=(qm pn)/pm是整数。即pm|(qm pn)。 (1) 由p|(qm pn)知,p|qm,而(p,q)=1,∴p|m。 (2) 同理,由m|(qm pn)推得m|p。     

反证法经典两例

1.证明2~(1/2)是无理数. 证假设2~(1/2)是有理数p/q其中p、q为互质正整数,,即2~(1/2)=p/q.两边平方可得p~2=2q~2,可见p为偶数,设p=2n,则(2n)~2=2q~2,故q~2=2n~2,从而q也是偶数,所以p、q有公因数2,这与p、q互质矛盾。因此,2~(1/2)必为无理数.     

关于分数化小数中的两个问题

大家知道,整数和分数合称有理数,无限不循环小数叫无理数;一切有理数都可表成分数 p/q(p、q 互质,p∈N,q∈N),无理数不能表示成分数 p/q。那么,将分数 p/q 化为小数,是有限小数,还是无限循环小数呢?小数的位数或循环节内的数字的个数又是多少呢?本文试图对这两个问题作一些一般性的探讨,供小学数学老师教学这个内容时参考。     

循环小数几个猜想的证明及推广

1引言 为了叙述的方便，我们约定：既约分数芳q/p（p是素数，目．P≠2，5）可化成循环小数，最短循环节形式的循环小数我们称之为P-小数；最短循环节的长度称为该小数的长度．     

2~(1/2)的另外一个“面孔”

我们知道任意一个有理数都可以用p/q(p、q互质)这样的分数形式表示,而2~(1/2)则不能,因为2~(1/2)不是有理数.但2~(1/2)能用另一种形式的分数——连分数来表示.     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

一道算术题解的引伸

《湖南教育》今年第三期发表了曾庆萱、龙自范两位老师“两道小学数学习题的解析”一文,其中冰水互变一题,在图示法的基础上,可以引伸和抽象出如下两个公式: 1.若甲比乙增加几分之几是q/p(p、q∈N,且互质).则乙比甲减少q/(p+q)。也就是说,减少几分之几的分数之分母是原分数(q/p)的分子与分母之和,分子仍是原分数的分子。     

第一讲 数与式复习精讲——&#167;1.1有理数

知识梳理 1．复习有理数的概念,要注意这样三点：（1）整数（正整数、零、负整数）、分数统称为有理数;（2）有理数均可以表示为两个整数之比p/q（p、q是互质的q整数,且q≠0）的形式,     

究竟哪个答案对

在一次统考中,出现这样一道选择题:设p=x≠0且x≠1,q:x≠x~(1/2),则p是q的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件笔者所选的答案是B,理由是将"x≠x~(1/2)"两边平方即可解得"x     

导出匹配可扩图的韧度

如果图G的每一个导出匹配都包含在图G的一个完美匹配中,则称图G是导出匹配可扩的.用T(G)表示图G的韧度,文章的主要结论是:设G是有2n(n≥3)个顶点的非完全图,如果G是导出匹配可扩的,则2/(n-1) ≤T (G) ≤n-1;对于任意满足2/(n-1) ≤p/q≤n-1,p+q≤2n,1≤q≤n-1的数p/q,都有韧度为p/q的导出匹配可扩图.     

关于Lucas数的级数之和

设P,q为正整数,Lucas序列Un+2=PUn+1+q Un,U1=1,U2=p;Vn+2=PVn+1+q Vn,V0=2,V1=p,本文得到系数为Lucas数孪生幂级数定理与几组孪生恒等式.     

关于循环小数的几个猜想

参考文献 [1 ]中指出 ,设 qp 是一个既约分数 ,则当q不能被 p除尽时 ,qp 就化成了循环小数 ,并且循环节的长度不超过 p -1 .比如 ,17=0 .1 ·42 85 7·,31 3=0 .2·3 0 769·.这里第一个小数的循环节长度为 6=7-1 ,第二个小数的循环节长度为 6<1 3 -1 .为了叙述方便 ,以下我们称由分数 qp 化得的循环小数为 p 小数 ,并简称其循环节的长度为该小数的长度 .以下只考虑p是素数的情形 .几个自然的问题是 :p 小数的长度可不可以等于 p -2 ?可不可以等于 p -3 ?不同的 p 小数会不会有不同的长度 ?从一个p 小数可否推断出其他的 p 小数 ?通过大量的…     

数列综合问题

一、选择题1.在数列{a_n}中,已知 a_n=log_n(n 1),n∈N~*,设1/(log a_n 100)=q/p,其中 p、q 为正整数,且(p,q)=1,则 p q 的值为( ).A.2007 B.2006 C.1023 D.32.如图1,在杨辉三角中,斜线l的上方,从1开始沿箭头所示的数     

同一命题 不同呈现

<正>命题两个能够完全重合的图形,若有部分重合,则每个图形上不重合的部分的数量(线段的长度、角的度数、图形的面积)是相等的.简证因为两个图形能够完全重合,所以令两个图形的数量均为w,令重合部分的数量为p,两个图形上不重合部分的数量分别为q1和q2.∵p+q1=w,p+q2=w,∴p+q1=p+q2.∴q1=q2,问题得证.     

中考试题中“有理数”归类解析

作为中学数学最基础的知识——有理数,在中考里也占有一定比例,归纳起来,主要有:一、考查根本概念例1 已知P与1/3q互为相反数,且p≠0,那么P的倒数是( )A.q/3 B.-3/q C.3q D.-3q(2002黑龙江省)分析与解:考查相反数与倒数的概念,由p+1/3q=0,得p=-1/3q,从而1/p=-3/q,应p+1/3q=0,得p=-1/3q,从而1/p=-3/q,应选B.     

判断充要条件的几种方法

处理充分、必要条件问题时 ,首先要分清条件与结论 ,然后才能进行推理和判断 .判断命题的充要条件通常有以下几种方法 .1 定义法根据充分条件和必要条件的定义 ,直接判断 .例 1　P∶x1、x2 是方程x2 5x -6=0的两根 ,q∶x1 x2 =-5,则p是q的什么条件 ?析 :方程x2 x -6=0的两根为x1=1 ,x2=-6,∴x1 x2 =-5,即p q ,但x1=-2 ,x2 =-3 ,满足q ,而不是方程的根 ,而q / p ,故p是q的充分不必要条件 .2 集合法①表示A为B的充分条件∵Ax∈A x∈B .②表示A为B的必要条件因为想要进入B首先要通过A .③A为B的充要条件 (边界重合 )④、⑤A为B的…