“a^2：b^2=c：d”型问题的面积证法

初中几何中关于三角形面积的定理主要有：“相似三角形面积的比等于相似比的平方”；“高(或底边)相等的三角形面积的比等于对应底边(或高)的比”．本文举例说明上述两个结论在处理“a^2：b^2=c：d”型问题中的应用．     

课时四 直角三角形

(1)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”．(2)一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等．(3)在一个直角三角形中，斜边上的高与一直角边的夹角等于另一直角边与斜边的夹角．(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．     

“参与”就是“尊重”

【案例】:“口算两位数减两位数”两个教学片断对比第一次教学:我出示算式“76—39”,让学生小组讨论后说说自己的方法。一生回答:是37,因76减30等于46,46减9等于37,所以76减39等于37。     

“瞻前顾后”找条件

通过学习,我们得到了三角形全等的条件:“边边边”(SSS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)、“边角边”(SAS).并且知道了边边角”两边及其中一边的对角对应相等)或角角角”三个角对应“(“(相等)这两个组合条件都不能保证两个三角形一定是全等的.因此在探索三角形全等条件时,我们不但要瞻前”——明确结论和现已具备的条件,而且要顾后—对照全等条件的目标考虑结“———论成立时所必须的一切条件,然后对这些条件进行分析研究,最后得到问题的答案.具体的分析思路可根据下面的框表进行:这类问题的解决,不仅能加强同学们对三角形全等条…     

“完全一样”和“面积相等”是一回事吗

一位实习老师上“三角形的面积”一课,在推导三角形面积公式时,他这样说:“两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。”这种说法是错误的,课本上表述是:两个完全一样的三角形(或梯形)拼成一个平行四边形。“完全一样”和“面积相等”并不是一回事,请看下例:     

借思想之力 求“等腰”之角

与等腰三角形有关的求角问题在学习中屡见不鲜.解答它们,除了利用“等腰三角形的两个底角相等”“三角形的内角和等于180°”“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”等性质外,有时还要注意结合利用一定的数学思想.现以中考题为例介绍如下:     

角的等量代换技巧（初二、初三）

证明两角相等,除了运用角相等的定理,如“两直线平行,内错角(或同位角)相等”,“全等(或相似)三角形的对应角相等”等直接求证外,还可用等量代换来间接求证.     

1/7＝1/8？

等号“=”是英国数学家、牛津大学教授雷科德（R．Recorde,1510～1558）在1557年出版的著作《智力磨石》（The Whetstone of Witte）中首先使用的。雷科德在文章中指出：“为避免枯燥地重复is aequalleto这个词,也就是等于,如像我经常在自己的工作实际用到那样,我就放二条平行线——同样长的一对双生子,因为任何两件东西,不可能比它们更相等。”     

“长烟一空,皓月千里”是对偶

《安徽教育》(1993,1——2期)刊登了许青山的《“长烟一空,皓月千里”是对偶吗?》一文。认为“长烟一空,皓月千里”不是对偶句,其理由是“词性不相对”。许同志还认为构成对偶句的条件是两个(“词性相同”、“字数相等”)。我们觉得值得商榷。     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”，这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理，1840年，德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”     

三角形中巧用“比”

例1.如图1所示,在三角形ABC中,DC:BC=2:5,BO:OE=4:1。求AE和EC的长度之比是多少?[分析与解]此题可根据“底(或高)相等的两个三角形,它们的面积之比等于它们的高(或底)的比”来求解。如图2所示,连接DE,由DC:BC=2:5可知,BD:DC=3:2,那么,三角形ABD与三角形ADC的面积之比是3:2;由BO:OE=     

“黄金分割”在生活中的妙用

黄金分割,又叫分线段为“中外比”,是将一条线段分为不相等的两部分,使较长部分为原线段和较短部分的比例中项.较长线段与原线段的比值等于(5_~(1/2)-1)/2,0.618是它的近似值.两千多年来黄金分割被广泛应用于建筑、艺术、医疗等方面.在我国,著名数学家华罗庚先生身体力行推广的“优选法”(又称“0.618     

说“统括”

在说话作文时,把构成成分较繁的若干相关词语中共有的字或义抽取或概括出来,标上跟项数相等的数字,构成节缩或综合形式,这种修辞手法叫“统括”。“统括”修辞手法,不大为修辞学者注意,修辞著作大都不讲,但这种主要用于口语的修辞格,应用得越来越广泛。如近年报纸上常有关于“三个代表”的谈话或文章,“三个代表”就是“统括”。     

勾股定理的“发展”

勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方．如果两直角边分别为a．b,斜边为c,则有a^2＋b^2=c^2．勾股定理的证明主要是利用拼图的方法,借助面积相等进行证明的．下面我们借助“面积法”探讨“勾股图形”．     

“反杜林论”简释[二]

关于人类原始史,只在1877年,摩尔根方才提供了理解这一历史的关键。可是由于在此之后,我有机会在自己的“家庭、私有制和国家的起源”一书中运用在这期间我所能获得的材料,所以这里只要指出这部较晚的著作就够了。(第6页)路易·亨利·摩尔根(1818——1881年)是美国资产阶级的历史学家、人种学家,著名的原始社会研究家。摩尔根的大半生都是在北美纽约州易洛魁部落里度过的,并且在塞奈卡部落里当过养子。他从事美国印第安人生活的研究多年,为原始社会历史的研究提供了科学的根据。摩尔根的主要著作有“古代社会(1877年)和“美洲土人的家庭和家常生活”(1881年)。     

解读化学方程式“一二三”

一、化学方程式与数学方程式有三点区别1.含意不同:数学方程式是表示含有未知数的等式,等号两边的值相等;化学方程式是用化学式来表示化学反应的式子,它表明了哪些物质参加了反应,生成了哪些物质.化学方程式两边各元素的种类、原子的种类及原子的数目均相同,即参加反应的各物质的总质量等于生成物的总质量.2.符号的意义与读法不同:数学方程式中“+”读成“加”,“=”读成“等于”,表示数值相等的意思;化学方程式中的“+”、“=”与数学上的“+”、“=”写法相似,但意义不同.化学方程式中的“+”用于联系各种反应物或生成物,没有“加”的含义…     

“等角对等弧”的推广

在《圆》的一章中,有如下的定理:“同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。”这条定理,人们常简化为“等角对等弧”。如果把它推广到不等的圆中,就可得到推论: 相等度数的弧所对的圆周角相等;在不等的圆中,相等的圆周角所对的弧的度数也相等。应用这条推论,在解决不等圆的有关问题中可以带来方便。例1 已知两圆相交于A、B两点,AC、AD分别为两圆过点A的切线,各交圆于C、D两点,求证∠ABC=∠ABD。证:∵∠CAD是两圆     

让代数思维在探究等式的性质中萌发——“等式的性质”教学实践与思考

<正>课前思考《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“课标2022年版”)在“附录1”的第17个实例中介绍了等式的基本性质:等式的基本性质Ⅰ是“等式两边同时加或减同一个数,等式两边仍然相等”;等式的基本性质Ⅱ是“等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,等式两边仍然相等”。这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式,在后续学习方程时会用到。^[1]等式的基本性质Ⅰ其实就是《几何原本》五条公理中的两条:“等量加等量,其和相等”与“等量减等量,其差相等”。     

“+”、“-”、“×”、“÷”、“=”的来历

“ +”是 15世纪德国数学家魏德美所创造的 .它的意思是 :在横线上加上一竖 ,表示增加 ;“ -”也是德国数学家魏德美创造的 .它的意思是 :从加号中减去一竖 ,表示减少 ;“×”是 18世纪美国数学家欧德莱最先使用的 .它的意思是 :表示增加的另一种方法 .因而把加号斜过来写 ;“÷”是 18世纪瑞士人哈纳创造的 .它的含义是分解的意思 ,因此用一条横线把两个圆点分开 ;“ =”是 16世纪英国学者列科尔德发明的 .列科尔德认为世界上再也没有比这两条平行而相等的直线更相同了 ,所以用来表示两数相等“+”、“-”、“×”、“÷”、“=”的来历$湖…     

浅谈“a±b=c”型题的证法

证明两条线段的和(差可以转化成和)等于另一条线段,是课本和许多资料中常常遇到的一种题型,这类题型也是同学们感觉特别头痛的.下面.谈谈“一分为二”和“合二为一”两种证法在解有关题目中的应用.一、一分为二法1.如果长线段是由两条线段组成,那么可以证明这两条线段与欲证结论所含的两条短线段分别相等(c=d e,d=a,e=b,则c=n b). 2.如果长线段不是由两条线段组成.那么把长线段分成两条线段,证明分成的两条线段分别和两条短线段相等.分长线段的方法是:①在