谈谈函数y=(x~2 t 1)/(x~2 t)~(1/2)的最小值问题

在求函数 y =( x2 t 1 ) /x2 t( t为常数 )的最小值问题时 ,学生们往往会将原函数变形为 y =x2 t 1 /x2 t,于是想到利用不等式 ( a b) /2 ab( a,b∈ R ) ( * ) ,马上得到 ymin =2 ,请看下面例题 :例 1　求函数 y =x2 3/2x2 1 /2的最小值 .[解 ]:原函数可变形为y =x2 1 /2 1x2 1 /2=x2 1 /2 1x2 1 /2 2所以　　 ymin=2但是 ,如果用同样的方法求下面这个函数的最小值 ,就会出现错解 ,请看 :例 2　求函数 y =( x2 5 ) /x2 4的最小值 .[错解 ]:原函数可变形为 :y =( x2 4 1 ) /x2 4=x2 4 1 /x2 4 …     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(d-cx)~(1/2)的值域

本刊2002年第4期文[1]用改进了的三角换元法举例说明了无理函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac<0)最小值和最大值的求法,读后颇受启发.本文将用“双换元法”给出这类无理函数的最小值和最     

函数y=(ax b)~1/2 (cx d)~1/2(ac<0)值域的又一求法

《数学教学通讯》1997年第4期文[1],1998年第4期文[2],1998年第5期文[3]中分别就函数 y=(ax b)~(1/2) (cx d)~(1/2)(ac<0)的值域给出了相应的求法,本文再介绍一种方法——三角换元法.供参考.     

形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx-d)~(1/2)函数值域的求法

在分析化定义中,深刻理解其中的词语及其结构非常重要.对A是“如果存在”,并且它是一个常量对是“预先指定”、“无论多么小”,说明它是变量与常量的辩证统一,是在变化中的相对静止;对N是“总能找到”,它与有关,是根据求出的.N也有确定性和不确定性两方面,由可以求出它的最小值,则N是确定的;但也可以取大于N的正整数,则N是不确定的.在这样的教学中,学生对数列极限的理解经历了由形象化、直观化到抽象化、精确化,由几何化到例1.求函数y=2x+4√+6-x√的值域.解1:易知函数的定义域为[-2,6].原函数两边平方并整理得y2-x-10=22(x+2)(6-x).√(1…     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac≠0)的值域

本文利用函数的增减性和三角代换法求函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2) (1)(ac≠0)的值域。如ac>0,命k=max(-b/a,-d/c)(a>0,c>0) 或k=min(-b/a,-d/c)(a<0,c<0),则(1)的值域为     

关于函数y=(x-p)~(1/2) (q-x)~(1/2)(0≤p

李太钊 《数学大世界(高中辅导)》2006,(6)

求函数y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)(ac＞0)值域的新方法

函数 y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)是中学数学中重要的一类无理函数.近年来,许多刊物曾探讨过其值域的求解方法,本文运用的两个简单不等式给出解决这类问题的一种新方法,望同行赐教.很容易证明下列两个简单不等式:     

函数y=a/sinx b/cosx的最小值

本文应用待定系数法和柯西不等式给出下面函数的最小值 .定理　函数 y=asin x bcos x,x∈ ( 0 ,π2 ) ,a,b为正常数 ,则 ymin=( a23 b23) 32 .证明　设 m,n为待定正常数 ,由柯西不等式 ,有( asin x bcos x) ( msin x ncos x)≥ ( am bn) 2 ,1( m2 n2 ) ( sin2 x cos2 x)≥ ( msin x ncos x) 2 . 2由 1 ,2得asin x bcos x≥ ( am bn) 2m2 n2 . 3而 3式中等号成立的条件是 1 ,2式中的等号同时成立 ,即 :amsin2 x=bncos2 x且 msin x=ncos x,亦即 :m=3ak,n=3bk( k>0 ) ,代入 3式整理得asin x bcos x≥ ( a23 b23) 32 .下面举例说…     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

y=((x~2+(ax+b)~(1/2)+(x~2)+(x+d)~(1/2)最值的几何求法

一、最值的几何来法当x－一时,y＋ac,可知函数y无最大值。现只介绍其最小值的求法。定理1对形如（l）的函数,令u3m,nv＄0,当其（）n一V时,X二世L二区时,nvyto。＝／｛;iwiir,;－－－－．－－（【【）n＝v＝0时、m＜xsu时,y＿＝11－11证明在平面上取点Am,）,B（,）,且。v＄0,P（X,则是X轴上任一点,则P到A、B两点的距离之和：PA＋PB一八万二月下7＋／｛H;iis,－一是函数（I）连接AB（;）当n一v时,因uv＄0,故AB与x轴有且只有一个公共点以如图1）,当P（X,0）为C点时即是所求的最小值。…直线AB的方程为：（…     

对有关形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的最值问题探讨

在高中数学中,函数有关值域和最值问题是一个重点也是一个难点问题,题型和解法也较多。本文就形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的有关函数求最值问题做一探讨。     

关于函数y=(ax~2+bx+c)~(1/2)图象的探讨

函数图象千变万化,y=的图象变化又有什么规律呢? 问题的讨论由于     

函数f(x)=x~4 x~3 x~2 x 1的最小值

有的文献证明了对任何ｘ∈Ｒ,ｆ(ｘ)>0.本文获得定理　设ｘ∈Ｒ,则ｆ(ｘ)=ｘ4 ｘ2 ｘ 1在ｘ=ｘ0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值ｆ(ｘ0)=516[(ｘ0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知ｘ0是方程ｆ’(ｘ)=0的惟一实根.下面用不等式(Ａ2 Ｂ2)(1 ａ2)≥(Ａ ａＢ)2(=|ａＡ=Ｂ)来证明.对ｆ(ｘ)进行”双配方”,应用该不等式,有ｆ(ｘ)=(ｘ2 12ｘ)2 34(ｘ 23)2 23=(ｘ2 12ｘ)2 (32ｘ 33)2 23≥11 ａ2[ｘ2 (12 32ａ)ｘ 33ａ]2 23.设3ａ=ｂ,13<ｂ<3,则ｘ2 (12 ｂ2)ｘ ｂ3≥14[4ｂ3-(12 ｂ2)2]=(3ｂ-1)(3-ｂ)48>0…     

关于函数y=x+a/x(a>0)最小值的求法

笔者在高一年级函数教学中举了一个例子：建一个容积为8m^3，深2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别是120元和80元，那么水池的底面边长多长时，总造价最低?     

函数y=((x-a)~2+b~2)~(1/2)+((x-c）~2+d~2）~(1/2)的最小值的求法探索

对于求函数的值域,本文将从函数表达式的结构入手,从不同的角度探索该函数值域的多种求法.下面提供几种求该函数的最小值的方法,供大家参考.1 构造等差数列 例1 求函数的最小值. 解:函数定义域为R,由已知得成等差数列,故令     

y=~(1/2)ax ~(1/2)ax~2 bx c(a>0)一类函数的值域

文〔1〕通过反例(xx 丫妥万一0)指出;用y~x十试了二万牙干厄的定义域(一co,1」U〔2, 当x妻一b2a时,,>、(2二十音) ︶一、少 二‘。7一a 一︻.云口一卜︸产b一护/甲"一2~.一,2b多弓丫a弋一万一 乙a b、十-万少~一 乙co)及解得的x~vZ一2Zy一3建立不等式料毛当x<一b2a时,y>丫万(一1或料刃,求出此函数的值域M一(一,晋,日(晋, \)是错误的;并用图解法了即求直线系y~一x十y(y为参数)与双曲线y一丫牙二石不厄(y)0)存在交点的条件),得出此函数的正确值域M一〔1,普)。〔2,?)·本文先剖析上述错解的错误原因,然后用代数方法…     

谈谈函数y=(x2+t+1)/的最小值问题

在求函数y=(x2 t 1)/(t为常数)的最小值问题时,学生们往往会将原函数变形为y=√x2 t 1/√x2 t,于是想到利用不等式(a b)/2≥√ab(a,b∈R )(*),马上得到ymin=2,请看下面例题: 　　……     

x~(1/2) y~(1/2)≤{2(x y)}~(1/2)的解题功效不容忽视

研究庞大的生物体从研究细微的细胞开始 ,同样的道理 ,对错综复杂的不等式研究 ,可以从对一些最为简单的不等式的探索开始。本文旨在探讨一个不惹人注意的简单不等式 :ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) (其中ｘ、ｙ∈Ｒ ) ( )(当且仅当ｘ =ｙ时 ,等式成立 )证明不难 :　依基本不等式ｘ ｙ≥ 2ｘｙ,知(ｘ ｙ) 2 =(ｘ ｙ) 2 ｘｙ≤ (ｘ ｙ) (ｘ ｙ) =2 (ｘ ｙ) ,两边开平方 ,即得ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) 。不等式 ( )的结构简单 ,而应用却十分广泛。1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　若正数ａ使不等式 ｘ ｙ≤ａ ｘ ｙ对一切正数…     

条件等式((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~a=(m+b~n)~(1/2)-m~(1/2)的简证

《中学数学教学》1985年第3期刊登了梁丽玲同学写的《关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨》的小论文。该文把条件等式: 对一切自然数n,都存在自然数m,使得(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立①推广成: 对一切自然数n,都存在自然数a、b、m,使得 ((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+b~n)~(1/2)+m~(1/2)成立②并利用数学归纳法给出了证明。下面给出条件等式②的另一种证明。     

求y=(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)(ac(?)o)型函数的值域的新方法

求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的方法,一般不只一种,如观察法,利用函数单调性、三角代换等,但这些方法,往往因为考虑不周而容易出错,或使用范围有限,或有变形繁琐的缺点。这里,我们借助直线与二次曲线的关系,给出求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的新方法,此方法具有直观、简明、准确、实用范围广等优点。 [方法]设Y=(ax+b)~(1/2)≥0,X=(cx+d)≥0,则 y=Y±X 即 Y=±x+y (1)且 aX~2-cY~2=ad-bc (2) 建立平面直角坐标系XOY,那么(1),(2)分别表示坐标平面内的一条直线(斜率为±1,在Y轴上的截距为y)和一条二次曲线(可以为直线),若直线(1)与曲线(2)在第一象限(包括X、Y轴的正半轴)