从一个错误的面积练习题谈起

书[1]第117页有这样一个练习题： 例1如图1，P为△ABC内一点，AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F，把△ABC分成六个小三角形，三角形中的数字为四个小三角形的面积．求△ABC的面积．     

一道“墙角问题”中的“问题”

问题:三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面积为1,三侧面与底面所成的角分别为30°,45°,60°,求棱锥的侧面积．解一:如图,因为三条侧棱两两垂直,所以△ABC在侧面ADC,ADB,BDC上的射影分别是△ADC,△ADB,△BDC．     

斜三角形的解法及其应用(一)

一、知识要点1．斜三角形的边角关系：角之间的关系，过之间的关系，边角之间的关系─—正弦定理、余弦定理及其变形．2．三角形面积公式．3．斜三角形的解法及其应用．二、解题指导例1（1）在△ABC中，，求的度数．（2）在△ABC中，C=2，求b及S△说明解三角形的关键是正确选用正、余弦定理．若已知两边及其夹角或已知三边，求其它的边和角时，一般选用来弦定理；若已知两角一边，应选用正弦定理；若已知两边一对角，应选用余弦定理，用解方程的方法来解．例2（1）在△ABC中，已知，解这个三角形，（2）在△ABC中，已知。，求BC边上…     

利用直角坐标系求面积

平面直角坐标系是研究数形结合问题的最好工具,根据坐标平面内顶点的坐标求图形面积,很好地体现了几何问题的代数解法.下面就举例说明如何利用平面直角坐标系来求图形的面积,希望对同学们有所启示.一、坐标平面内三角形面积的求法1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,3),C(0,-1).求△ABC的面积.分析与解:根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上,所以BC=4,点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离,也就是A点的横坐标的绝对值,所以S△ABC=12BC·AO=12×4×3=6.2.…     

阴影面积的计算问题

计算平面图形的面积是常见题型,求平面图形阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形、圆、圆弧等基本图形组合而成,在解此类问题时,要注意观察,做到会分析图形,能分解和组合图形.试题1如图1,将△ABC绕点B逆     

利用图形的旋转变换解题

生活中常常会有这样的一些复合图形,它们可以通过图形的旋转变换及其组合得到.下面举例说明之.一、通过旋转变换计算角度例1△ABC和△DCE都是等边三角形,则在图1中,△ACE绕着点逆时针旋转度可得到△.解C,60,BCD.图1图2例2如图2,绕着中心最少旋转能与自身重合.解90°(注意:一些同学会误认为是45°,该图案中一大一小的两个图形是不能重合的).二、通过旋转变换计算面积例3如图3,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.图3图4解把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DE′C…     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

两类“三线碰头”问题的处理策略

<正>本文所指的"三线碰头"问题的基本图形是指在任意△ABC内,分别以△ABC三个顶点A、B、C为一个端点的三条线段交于一点P时的图形(如图1).以该图形为背景的常见问题有两类:一是与"碰头三线和"有关的问题;二是与"碰头三线和"无关的问题(如求角度、求边长等).本文分别针对这两类问题进行分析.     

对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

构造轴对称图形解题

<正>我们在解(证)几何问题时,常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形,这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,D是△ABC内一点,满足AD=3^(1/2),BD=5,CD=2,求△ABC的面积.分析把△ACD、△CDB、△ADB分别AD、CB、AB作轴对称变换,把分散的线段,集     

直角三角形的解法及其应用

一、知识要点1．直角三角形的边角关系：角的关系，边的关系，边角关系．2直角三角形的面积3．直角三角形的解法．二、解题指导例1在Rt△ABC中说明解直角三角形的关键是正确选择关系式，当已知条件或求解中有斜边时，用正弦或余弦；无斜边时，用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法求得时，则用乘法，不用除法，可由已知数据又可用中间数据求出时，宜用原始数据，不用中间数据．例2如图1，在Rt△ABC中，，的平分线BD=，求AC和△ABC的外接圆半径R．解在Rt△ABC中，．说明解含有非基本元素的三角形，一般是将非基本元素转化为…     

一个值得重视的图形

基本图形：过△ABC顶点的三条线段AD、BE、CF交于点P，分别交对边于点D、E、F，如图1．     

研究一道日本中考试题

下面介绍日本东京一所私立中学—-巢鸭高等学校的一道高中招生试题，并对它作一些探究． 试题：如图1，边长为2的正△ABC内有一点P，它到三边的距离分别为PD、PE、PF．求 （1）PD＋PE＋PF的值；     

巧用旧知识解答新题目

有些数学问题，小学生乍看会感到面目全新，高不可攀，产生望而生畏的心理。其实，学生往往已经具备了解决这些问题的基础知识和基本技能。教师若能引导学生借助已有知识去获取新知，这便是精湛的教学技巧之所在。一、以退为进，减缓思维的坡度有这样一道题：在△ABC中，AB边被4等分，AC边被3等分，已知小△ADE的面积为3平方厘米，求大△ABC的面积。（如图1）解答这类题，引导学生观察比较，教师应先出示（如图2），辅助图形，由于AA'／／BC，所以△ABC和△A'BC是等底等高的三角形，它们的面积相等。这样就为学生接受新题做好了铺…     

三角形面积的一个性质及应用

引例 如图1,D为 △ABC边BC上的一点,且 DE∥AC,DF ∥AB,△ABC面积记 为S_△,△BDE、△DCF 的面积分别记为S_1、S_2,□AEDF面积记为S＇.     

对一道三角形最值问题解法探究

如图在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,正△PQR的顶点分别为△ABC的三边上。求△PQR的最小边长．     

关注相似三角形中的“基本图形”

如图1,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.这是一个重要的基本图形,在许多问题中都不难发现它的影子,利用它可以帮助我们顺利地解题.根据图形,结合相似三角形的性质,我们可以得到下面的结论:     

勾股定理应用中的方程思想

勾股定理描述了直角三角形三条边长之间的关系 .解题中 ,当涉及求直角三角形边长时 ,可将要求的边长设为未知量 ,然后借助于勾股定理得到它满足的方程 ,进而求解 .因此 ,方程思想在勾股定理的应用中非常广泛 .　例 1　已知△ABC的 3条边长分别为 1 3 ,1 4 ,1 5,求这个三角形的面积 .图 1分析　要求△ABC的面积 ,需要知道它的底边长和高 .由勾股定理的逆定理知 ,△ABC不是直角三角形 .首先作BC边上的高AD .由于图中出现了两个直角三角形 ,要求它们的直角边AD之长 ,可根据勾股定理列方程求解 .解　作BC边上的高AD ,设 AD =h ,BD =x …     

利用正方形的对称性解题

正方形是一种比较特殊的图形,它不仅是特殊的矩形,又是特殊的菱形,身兼二者性质.在对称性方面也如此,既是轴对称图形,对称轴有4条;又是旋转对称图形,最小旋转角为90°,同时又是中心对称图形.利用它的对称性可较好地解题.例1已知:如图1,正方形ABCD边长为4,AC是其一条对角线,求图中阴影部分的面积.观察到每个阴影部分的面积都不容易求,注意到AC是正方形的一条对称轴,可将阴影部分的面积对称到一起,构成△ADC或△ABC,这时阴影部分面积=正方形面积的一半=4×4÷2=8.图1图2例2已知:如图2,在正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,过P作PE⊥A…     

巧用面积法解平面几何题

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称之为面积法.它是平面几何中的一种常用方法,灵活运用,可收到事倍功半的效果.一、用面积法求图形面积例1 在△ABC中.DE∥FG∥BC,GI∥EH∥AB.若三角形△ADE、△EFG、△GIC 的面积分别为