教学笔记四则

1“补救了观察法之不足”老师问:方程3~x 4~x=5~x 的解是什么?(经同学们讨论后)学生答:据勾股定理知,x=2.老师接着问:还有别的解吗?(学生普遍感到心里没底)老师讲:把方程化为(3/5)~x (4/5)~x=1,联想看指数函数性质知道,函数f(x)=(3/5)~x (4/5)~x是减函数.当x=2时,f(2)=1,当 x>2时,f(x)1.故原方程只有一解 x=2.(这时学生心里感到忠实多了).抓住这个时机,老师又问:方程5~x-1=2~(x 1)(1     

函数与方程在高中数学中的运用

<正>高中数学中,很多函数问题均要用到方程知识进行求解,而很多方程类的问题,也离不开函数知识的辅助。1.方程根、函数零点例1函数f(x)=2~x|log_(0.5)x|-1的零点个数是多少个?解题:要想求得f(x)=2~x|log_(0.5)x|-1零点个数,需要让f(x)=0,这样可以得到方     

二元方程定解例说

我们知道,一个二元一次不定方程在一般情况下,其解有无数多组,然而有些二元方程,只要我们充分注意挖掘方程自身的隐含条件,或题中给出的附加条件,抓住未知数的特殊性,是能求得其定解的。本文列举初中数学竞赛题予以说明。例1 已知x,y为实数,且x~2+2x+2y-6y+10=0,则log_2(y-x)·log_2(y+x)=__(86,无锡)。解:原方程化为(x+1)~2+(y-3)~2=0,利用非负数的性质,可得x=-1,y=3。∴log_2(y-x)·log_2(y+x)=log_24     

浅谈用函数观点解题

有关函数的习题,大致分为两类,一类是直接运用函数概念和性质的;另一类是通过某些变换用函数工具来解的。中学数学中的许多问题,若能利用函数观点来考虑和分析,往往可使习题的解法方向明确,思路清晰。本文浅谈几个方面。一、函数与方程例1 解方程3~x 4~x=5~x 解:由观察可知当x=2时,方程满足勾股定理,∴x=2是方程的解。再考虑方程是否存在其它解,先把原方     

一类指数方程的解法

方程((5+2 6~(1/2))~(1/2))~x+((5-2 6~(1/2))~(1/2))~x==10(上海1958年数学竞赛题)与方程((2+3~(1/2))~(1/2))~x+((2-3~(1/2))~(1/2))~x=4的解都是±2,它们形式相似,解又相同。那末,这类方程有没有一定的规律性呢?本文就探讨这一问题。定理1 若a>0,b>0,a~2-b=1,c≥2,则方程 (a+b~(1/2))~x+(a-b~(1/2))~x=c (Ⅰ)的解是     

错在哪里

忽视复合函数的定义城已知函数f（x）=2＋log_3x（1≤x≤9）,求函数g（x）=[f（x）]＾2＋f（x＾2）的最大值和最小值.错解：由1≤x≤9,得0≤log_3x≤2.g（x）=（2＋log_3x）＾2＋2＋log_3x＾2=（log_3x）＾2＋6log_3x＋6=（log_2x＋3）＾2-3.     

浅谈函数思想的几类应用

1函数思想在方程中的应用例1,方程2-x+x2=3的实数解的个数为。分析:本题若企图从解方程的角度入手求出方程的根,显然有困难;因为2-x+x2=3不是常见的一次方程或二次方程;事实上,题目并不要求出方程2-x+x2=3具体的根,而只要求出此方程实数解的个数。     

一道对数题目的延伸、拓展与变式

<正>原题呈现:请作出函数y=|log_2 (x+1)|+2的大致图像。解析:我们一般都是采用图像平移、对称翻折的方法来作出相应函数的大致草图。本题先画出函数y=log_2x的图像,向左平移1个单位后得到函数y=log_2 (x+1)的图像;然后保留函数y=log_2 (x+1)在x轴上方部分的图像,把函数y=log_2 (x+1)在x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方去,得到函数y=     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

1996年数学总复习质量检测题

卷一、填空题(每小题3分,共45分)1.方程(x 1)~2=2的解是___。2.不解方程,x~2-2(5~(1/2))x 5=0有______的实数根。3.方程组xy=-10, x y=3的解是___。4.函数y=(2-x)~(1/2)中,自变量x的取值范围是___。5.函数y=-1/3x中,随自变量x的增加,函数值y___。6.已知一次函数y=3x-m经过点(1,-2).则m=__。     

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试一、选择题(每小题5分,共50分)1.a、b 为实数,集合 M={b/a,1},P={a,0},f:x→x表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于().A.-1 B.0 C.1 D.±12.若函数 f(x)满足 f(2/(x+|x|))=log_2(x|x|)~(1/2),则 f(x)的解析式是().A.log_2x B.-log_x C.2~(-x) D.x~(-2)3.若关于 x 的方程(3/2)x=(2+3a)/(5-a)有负数根,则实数 a 的     

函数方程的初等解法——代换法

含有未知函数的方程叫做函数方程。解函数方程的问题,就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合。下面是四类函数方程的初等解法。一、利用函数的奇偶性解函数方程。若在函数方程中涉及函数奇偶性时,此时自变量x的位置具有互反关系。用-x代替x得一新方程,将新方程和原方程联立组成关于所求未知函数的方程组,再用消元法求出未知函数。 [例1] 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1987x(5-x~2)~(1/2)+x~(1988),求f(x)和g(x)。解:由已知得x定义域是[-5~(1/2),5~(1/2)],因f(x),g(x)分别为偶函数和奇函数,故用-x代替方程中的x,得一新方程,再将所得新方程与原方程联立得     

构造函数 活用单调性

根据题设条件和题意要求 ,巧构函数 ,活用函数的单调性 ,实现问题转化 .由此 ,既可简化运算过程 ,又可明快证明结论 ;既可探索解题捷径 ,又可发现解题方法 .本文就此举例探究 .1　构造函数方程例 1　解方程 4x +2 -7-x +3 =0解 :由观察可知 ,x的取值范围为 :-2≤ x≤ 7令 F ( x) =4x +2 -7-x +3 ,因为在区间 [-2 ,7]上 ,f ( x) =4x +2单调递增 ,g( x) =7-x单调递减 .所以 F ( x) =4x +2 -7-x +3在 [-2 ,7]上单调递增 ,又 F ( -2 ) =0 ,所以由函数单调性可知 ,原方程的解为 x =-2 .2　构造函数解不等式例 2　解不等式 3 x +1>3 -x解 :构造…     

含参数的不等式

一、选择题1.若 x∈(-∞,-1],不等式(m-m~2)4~x+2~x+1>0恒成立,则实数 m 的取值范围为().A.(-∞,1/4] B.(-∞,-6]C.(-∞,1/2)∪(1/2,+∞) D.(-2,3)2.若θ是钝角,则满足等式 log_2(x~2-x+2)=sin θ-3~(1/2)cosθ的实数 x 的取值范围为().A.(-1,2) B.(-1,0)∪(1,2)C.[0,1] D.[-1,0]∪(1,2]3.若关于 x 的不等式 x~2<2-|x-a|至少有一     

利用f^—[f（x）]=x解决反函数问题

若函数 y=f ( x)存在反函数 y=f-1( x) ,则对于定义域中的任何一个 x都有 f-1[f( x) ]=x成立 .同样 f[f-1( x) ]=x也成立 .这种性质在处理反函数的有关问题中有着很多应用 .1　求值例 1、方程 log2 x x=3的根为 x1,方程 2 x x=3的根为 x2 ,求 x1 x2 的值 .分析 :直接求解比较困难 .由题可知 ,其中 y=log2 x 与y =2 x 互为反函数 ,利用反函数性质来处理 ,令 f ( x) =log2 x,则 f-1( x) =2 x.解 :f( x1) =3 -x1,1 f-1( x2 ) =3 -x2 2由 2两边同取 f ,得 f ( 3 -x2 ) =x2 .3另一方面 y=f ( x)是单调递增的 .比较 1 3当 x1>3 -x2 ,即 x1 x2 >3时…     

数形结合五则

例1 求方程2-x＋x2=3的实数解的个数．分析方程解的个数即函数y=2-x与y=3-x2的图象交点的个数．     

用观察法解特殊方程

所谓观察法就是通过观察发现方程的一个解,然后通过讨论分析,求出其它的解.请看下面三例.例1 解方程 x~x~x=1解:显然 x=1是其解当x>1时 x~2为增函数 x~x~x 也为增函数故 x~x~x>1,当0相似文献   

反函数的应用(高一)

例1 方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根分别为α、β,求α+β. 解因为lgx=3-x,10x=3-x. 没f(x)=lgx,则 f-1(x)=10x. 分别作出函数f(x)、f-1(x)和直线y=3-x的图象,y=f(x)与Y=3-x的交点A(α,3-α),y=f-1(x)与y=3-x的交点为B(β,3-β).而     

一道函数定义域问题的错解辨析

已知函数的定义域,反过来求所含参数的取值范围,这类问题常见于各种复习资料．但笔者发现一例,很多资料上所提供的参考答案是错误的．本文列举此例．加以辨析．题目若函数f(x)=(1=3~xα)~(1/2)的定义域为(—∞,1],则实数α的取值范围是____．错解：原题等价于命题：不等式1+3~xα≥0在区间     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…