利用阶与指数型同余式解竞赛题

（本讲适合高中） 1定义与符号 欧拉定理给定整数m〉1,设整数a与m互素．则aφ（m）=1（mod m）．     

奇妙的欧拉公式

欧拉（1707.4—1783.9）,瑞士数学家及自然科学家,18世纪数学界最杰出人物之一,为数学界做出了重大贡献．在许多数学分支中,以他的名字命名的常数、公式和定理数不胜数．本文所说的欧拉公式是指e^iw＋1=0．之所以说它奇妙,是因为它的组成元素非常特殊,其中的1是正整数的基本单位,0是唯一的中性数,i是虚数的基本单位,     

费马小定理和欧拉定理的应用

(本讲适合高中) 费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的两个定理,对解决整除问题和同余问题有着强大的功能,因此,也是数学奥林匹克命题的一个丰富宝藏.与费马小定理和欧拉定理有关的题目是国内外数学竞赛命题中出现频率十分高的一类问题.本文先介绍与此有关的一些知识,所涉及的定理及结论可以在任何一本数论书中找到证明,不再赘述,然后通过几个例题介绍这两个定理及有关知识的应用.     

费马大定理的余韵

1994年英国数学家怀尔斯 (Ａ .Ｗｉｌｅｓ)证明了费马大定理 (不定方程ｘｎ + ｙｎ =ｚｎ当ｎ>2时 ,没有正整数解 ) .这是一个了不起的数学成就 ,因此 ,他获得数学界最看重的菲尔兹奖 (特别奖 ,1998)和沃尔夫数学奖(1996) .这同时也说明了费马大定理在数学界人士心目中的地位 .费马大定理的崇高地位还吸引数学家对它进行种种扩展工作 ,提出一些相应的问题 ,其中有的非常有趣 ,有的至今没有解决 .这里举三个例子 .例 1　如果对未知数的个数进行怀疑 ,会怎么样呢 ?18世纪著名的数学家欧拉 (Ｌ .Ｅｅｌｅｒ)在 1769年提出 :由于不定方程ｘ3+ ｙ…     

中国剩余定理的两种算法分析

分别采用穷举算法和中国剩余定理（孙子定理）的数学分析算法进行计算机编程求解,对传统余数问题,即对“已知一个正整数被不同的几个正整数除后的余数,求该数”的问题进行了分析,并比较了两种算法的特点.     

坚强的数学家欧拉

欧拉（Euler），1707年4月15日出生在瑞士的巴塞尔，是世界历史上最伟大的数学家之一。他从19岁开始写作，直到76岁。半个多世纪写下浩如烟海的书籍和论文。至今几乎每一个数学分支都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，主体解析几何的变换公式，四次方程的欧拉解法，到数论中欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分法的欧拉方程，复变函数论的欧拉公式等等，数也数不清。但由于过度的工作，他右眼失明，那时他才28岁。     

100阶以内的群的单性

有限群尽管是只有有限个元素的群,然而其内容是非常丰富、非常深刻的.有限群不同于无限群之处在于其阶是一个正整数n,有限单群在有限群类中起"基本构件"的作用.文章利用初等群论的方法和Sylow定理,着重讨论了100阶以内的群的单性.     

二项式(2+1)~n的几何模型及其与n维规则形中多面体欧拉定理之关系

通过构造二项式（2＋1）n的几何模型——n维规则形,揭示了n维规则形的构成元素的个数分布规律及其与二项式定理之间的联系,并对多面体欧拉定理在n维规则形中作了推广。     

简单多面体的欧拉公式的一个推广

全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（下）增加了研究性课题：多面体欧拉定理的发现,给出了简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间存在规律：V＋F-E=2．它叫做欧拉公式．     

欧拉常数γ及简单应用

调和级数∑n=1^∞1/n是发散的，而极限linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]却是收敛的，通常将极限值linn→∞[∑k=1^n1/k-lnn]称为欧拉常数γ。欧拉常数γ存在性的证明有多种方法，例如，可利用函数不等式、几何直观（平面图形面积）、数项级数的收敛性、积分中值定理等方法。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。     

利用向量解平面几何问题

用向量解决平面几何问题 ,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段 ,设为ａ、ｂ ,则平面内的其他有向线段均可用ａ、ｂ惟一表示 ,即ＡＢ =ｐａ +ｑｂ .有序实数对 (ｐ ,ｑ)可看成ＡＢ的“坐标” ,这里近似于复数 ,但它的优点在于直观性 ,ａ、ｂ可以是不互相垂直 ,同时起始点可以任意选定 ,从而对于解决几何问题有着较大的自由度 .本文仅就两个方面说明它的价值 .　　一、证明三点共线定理 1　Ａ、Ｂ、Ｃ为平面上不重合的三点 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线 ＡＢ∥ＡＣ 存在实数λ,使ＡＢ =λＡＣ .定理 2　ａ∥\ｂλａ + μｂ =0 λ + μ =0 .图 …     

行列式的两个降阶定理

本文给出了行列式的两个降阶定理,重点讨论了利用行列式的第二降阶定理计算n阶行列式的条件、方法和技巧。     

一类四阶两点边值共振问题解的存在性

运用Mawhin延拓定理,在一定条件下讨论一类四阶两点边值共振问题的存在性.     

关于多重完全数的一个结论

设n为大于 1的正整数 ,ω(n)表示n的不同素因子的个数 ,σ(n)为n的所有正因子之和 .若σ(n) =2n ,则称n为完全数 .若σ(n) =knk≥ 3,则称n为多重完全数 .本文以欧拉定理及费尔马定理为基础讨论了一种特定条件下的多重完全数问题 ,即满足σ(n) =ω(n)·n(ω(n)≥3)的解的情况 ,得到了σ(n) =ω(n)·n(ω(n)≥ 3)的全部解为n =2 3 ·3·5 ,2 5·3·7,2 5·33 ·5·7.     

一阶非线性椭圆型复方程的间断Haseman问题

讨论一阶非线性一致椭圆型复方程的间断非线性Haseman边值问题,使用保角粘合定理证明了此边值问题与相应复方程问题R的等价性,给出了相应复方程问题R解的表示式和先验估计式,由此使用连续性方法和Schauder不动点定理证明了相应复方程问题R可解,进而导出一阶非线性一致椭圆型复方程的间断非线性Haseman边值问题的可解性定理。     

关于行列式两个展开定理的应用

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和及任意k行（列）中一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和;本文主要是利用行列式两个展开定理对行列式降阶的计算及行列式两个展开定理的特殊情况的利用。     

分数阶微分方程边值问题正解的局部存在与多解性

应用Green函数将分数微分方程边值问题转化为积分方程的方法讨论分数阶微分方程边值问题正解的存在性.研究非线性分数阶微分方程的两点边值问题,主要工具是锥上的Krasnosel'skii不动点定理.结果表明:只要非线性项在某些有界集合上的"高度"是适当的,该问题有n个正解(n是一个任意给定的正整数).     

论同余方程组正整数解的构造式

本文借助于欧拉（Eluer)定理,给出了同余方程组整数解的构造式。     

环形染色问题的公式解法

定理 如图把一个圆分成n（n≥2）个扇形区域An,现用m（m≥2）种不同颜色为这n个区域染色,要求相邻两个区域Ai与Ai＋-颜色不同,则不同的染色方法共有（m-1）^n＋（m-1）（-1）^n种．     

行列式的降阶定理妙用两则

《线性代数》中的行列式的降阶定理是:定理设A、D分别为n×n、m×m矩阵,B、C分别为n×m、m×n矩阵,若A、D可逆,则|A B C D|=|A||D-CA~(-1)B|