一道高中数学联赛加试题的命题背景及其拓广

赛题 如图1,在锐角△ABC中,AB＞AC,M、N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2.证明:O1、O2、A三点共线.     

三角形的一个性质

笔者最近发现，三角形有一个性质，介绍如下，请伺行指正：定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于这个三角形外接圆与内切圆直径之和；钝角三角形垂心到两锐角顶点距离之和减去垂心到钝角顶点距离等于该三角形外接圆与内切圆直径之和．证明设三角形的三边为a、b、c，垂心为H，外接圆与内切圆半径分别为R和r．如图建立直角坐标系，则C（0，0）、A(b，0）、B（αcosCαsinC），无论是锐角还是钝角三角形，直线AH、BH的方程分别为由此得垂心坐标为应用距离公式，余弦定理及正弦定理得：于是，当△ABC为锐角三角形时|HA|注意到当△…     

2012年全国高中数学联赛加试平面几何题的另解

原题（2012年全国高中数学联赛加试试题）如图1,在锐角AABC中,.AB>AC,M,N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC,△AMN的外心分别为O₁,O₂.证明:O₁,O₂,A三点共线.文[1]对以上问题给出了三种证法,本文和』用反演变换给出另一证法.     

探究三角形“四心”到三边距离的等量关系

在北大自主招生（2012年）试题中,有这样一道题：若锐角△ABC的外接圆的圆心为O,求点O到此三角形各边的距离之比.在解决此问题时,笔者想到此三角形为什么限制是锐角,不是锐角结果会怎样？条件中的外心,变为三角形的内心、     

辛姆生（Simson）定理的解析证明

辛姆生(Simson)定理三角形外接圆上任一点向三边(或其延长线)作垂线,三个垂足共线. 证明1.当△ABC为锐角三角形或钝角三角形时 建立如图1所示的平面直角坐标系,设B,C点的坐标为B(0,0),C(a,0),边AB所在直线方程为y=k1x,边AC所在直线方程为y=k2(x-a),边BC所在直线方程为y=0.从而,顶点A的坐标为方程组     

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

过三角形垂心与一边中点的直线的性质及应用

(本讲适合高中) 1知识介绍 设H为非等腰锐角(或钝角)△ABC的垂心,M为边BC的中点,点H在边BC上的射影为D;J为AH的中点,以AH为直径的圆记为⊙J;△ABC的外接圆记为⊙O;直线MH与⊙0交于点A1、A2(点M在A1与H之间).     

巧用三角形的外心解题

<正>三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.有一类题目,使用三角形的外心可以简便求解.本文先介绍外心的有关知识,再举例说明外心在解题中的用法.一、外心的性质与判定1.外心的性质性质1三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.性质2设O是△ABC的外心.(1)若点O、C在直线AB的同侧,则∠ACB     

一道CMO试题的简证与引申

08年中国数学奥林匹克第一题：设锐角△ABC的三条边长互不相等,O为其外心,点A’在线段AO的延长线上,使得∠BA’A=∠CA’A．过A’作A’A1⊥AC、A’A2⊥LAB,垂足分别为A1、A2,作AHA⊥BC,垂足为HA,记△HAA1A2的外接圆半径为RA,     

关于2003年中国数学奥林匹克第一题

题目　设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1　试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1　三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形…     

一道IMO选拔赛题的推广与应用

命题设锐角△ABC的外心是M，过A，B，M的圆交直线BC于P，交直线AC于Q，证明直线CM垂直于直线PQ（图1）．这是第34届IMO土耳其国家最后选拔赛试题的第二题[1]．事实上，该命题条件过强，若将题设中的“锐角△ABC”改为“任意凸ABC”；“过点A，B，M的圆”改为“过A，B任作一圆”．命题的结论仍然成立．推广设任意凸ABC的外心为M，过点A，B作任一圆交直线BC于点P，交直线AC于点Q，则CM上PQ（图2）．证过C作QM的切线CT．．”．ZAer2上ABC．”．’／ABC一ZCQP，．”．ZACT一LCQP，．“．Po／／er，又”．“CM上C…     

借助辅助线求多边形内角和

一些较复杂的图形题，都是由简单图形演变而成的，只要能借助辅助线变形化简，解法就接踵（zhǒnɡ）而至了。例１设任意五边形ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？解：经过A点向C、D作对角线，把五边形ABCDE分成△ABC、△ACD、△ADE。因为每个三角形的内角和为１８００，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝１８００×３＝５４００。例２凸多边形ABCDE……N有n个边，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋……∠N＝（n－２）×１８００证明１：在多边形内任取一点O为顶点，向n边形各顶点引辅助线，把n边形分成n个三角形，其内角…     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

每期一题

题:锐角三角形ABC的顶点A到外心O与垂心H的距离相等,求∠A的所有可能的值。(美国第30届IMO提供的预选题)解法一(利用全乙A=60。。解法三(利用等边三角形)如下图结CH并延长分别交等三角形)如右图,过点O作OG上AC于点G,连结AO、CO,由于H是△ABC的垂心,则A刀、CF是△ABC的高。     

2010年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题解答集锦

一、（本题满分40分）如图1,锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点（不是边BC的中点）,D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M,求证：若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆．     

三角形易错笔记

易错点1概念的理解错误在三角形的概念及其基础知识中,由于对三角形中的线段、三角形的三边关系理解不清而导致错误.易错题1已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能     

另解一道中国国家集训队选拔考试题

题目如图1,在锐角△ABC中,已知∠A〉60°,H为△ABC的垂心,点M、N分别在边AB、AC上,∠HMB=∠HNC=60°,O为△HMN的外心,点D与A在直线BC的同侧,     

2003年CMO试题解答

一、设点,IH分别为锐角△ABC的内心和垂心,点11,BC分别为边,ACAB的中点,已知射线1BI交边AB于点2B2()BB,射线1CI交AC的延长线于点2C,22BC与BC相交于k,1A为△BHC外心,试证:1,,AIA三点共线的充分必要条件是△2BKB和△2CKC的面积相等. 证明 ∵H是 △ABC的垂心,1A 是△BHC的外心, ∴BHC? 180BAC?? 12BACBAC=? 又由题设知ABAC, 从而 1,,AIA共线,即1A在BAC平分线上 1A在ABCD外接圆上 1180BACBAC+=?0BAC=? 现证22BKBCKCSSDD=60BAC=? 作IDAB^于,DIEAC^于E, 设 ,,BCaCAbACc===,则 2ABCSIDIEabcD==…     

“三角形”自测题

一、选择题(每小题5分,共25分)1下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是().(A)一锐角对应相等(B)两锐角对应相等(C)一条边对应相等(D)两条直角边对应相等2若三角形三边的长是三个连续的自然数,其周长l满足10相似文献   

三角形外心的新性质及其猜想

三角形有外心、内心、垂心、重心,它们都有许多重要的性质,在教学与研究中,笔者发现了它的新的而且非常有趣的性质,现介绍如下: 性质1:三角形外心关于各边的对称点所构成的三角形必与原三角形全等。 证明:设△ABC的外心为O,O关于边BC、CA、AB的对称点分别为O_1,O_2,O_3,记外接圆半径为R_o (1)当△ABC为锐角三角形时,O点在△ABC的内部,如图1 ∠O_2AO_3=2(α β)=2A O_2A=O_3A=OA=R 由余弦定理知: O_2O_3~2=O_2A~2 O_3A~2-2O_2A·O_3A·COS2A =2R~2-2R~2·COS2A =4R~28sin~2A