给定区间上函数恒成立问题的两类解法

给定区间上函数恒成立问题的基本题型是:当m∈M时,F(m,n)>0(或<0或=0)恒成立,求n的取值范围.1利用一次函数的性质一次函数f(x)=ax+b(a≠0),根据一次函数性质,在[m,n]内恒有f(x)>0,等价于f(m)>0且f(n)>0;在[m,n]内恒有f(x)<0,等价于f(m)<0且f(n)<0.例1已知a∈[0,1]时,(a?1)log32x?6a log3x+a+1恒为正数,求实数x的取值范围.分析令2h(a)=(a?1)log3x?6a log3x+a+122=(log3x?6log3x+1)a?log3x+1.当a∈[0,1]时,h(a)>0恒成立,即233(0)0,log10,(1)0,6log20,h xh x???>>???????++>>∴?1相似文献   

巧用一次函数的单调性解题

根据一次函数的图象及单调性,容易推得如下结论成立:一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当x∈[m,n]时,1f(x)>0f(m)>0且f(n)>0;2f(x)<0f(m)<0且f(n)<0;3f(x)=0f(m)f(n)≤0.有些数学问题,可根据题意转化为关于某一变量的一次函数,应用上述结论求解,简捷、明了.例1对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求实数x的取值范围.解:不等式x2+px>4x+p-3即(x-1)p+x2-4x+3>0令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3视它为关于p的一次函数,显然x≠1.由于0≤p≤4,所以由f(p)>0恒成立可得f(0)>0且f(4)>0,即f(0)=x2-4x+3>0f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0.解之得x<-1或x>3.例2…     

不等式恒成立参数范围确定

不等式恒成立问题涉及面广,逻辑性强,许多同学对此类问题常常感到无从下手,下面举例分析,希望对同学们能够有所启迪. 1 利用一次函数的保号性 对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)＞0,f(n)＞0,则当x∈[m,n]时,f(x)＞0. 例1 已知当1≤m≤2时,不等式(log2m-1)(log3x)2-61og2m·log3x+log2m+1＞0恒成立,求x的取值范围. 解析 按常规思路,应将不等式视为关于log3x的二次函数1,这将难以求解.如果换一个思路,把log2m看作主元,log3x看作常量,则求解变得简单容易.     

正难则反逆向思维

历史上“草船借箭”“司马光砸缸”的故事,都给我们以有悖于常理的启示.在研究数学问题时,如果正向思维受阻,那么可以运用“顺难则逆,正难则反”的思维方式,向原问题相反的方向去探索,构造其对立的数学形式来解决问题,有时会事半功倍.同学们可以试一试.例1对满足｜log2p｜<2的一切实数p,求使不等式x2+px+1>3x+p成立的x的取值范围.分析:由｜log2p｜<2知140时,求x的取值范围.这样处理比较繁琐.反过来,以p为研究对象,有g(p)=(x-1)p+(x2-3x+1),p(14,4)问题转化为关于p的一次函数值为正数时,对参数x的讨论.…     

如何求不等式恒成立的参数的取值范围

求不等式恒成立的参数的取值范围,是中学教学的难点之一,也是高考、数学竞赛的热点.下面就此问题的几种基本解法加以论述. 一、利用一次函数的性质 一次函数y=f(x)=ax+b在x∈[m,n]上恒大于零的充要条件是:{a＞0,f(m)＞0 或{a＜0,f(n)＞0或{f(m)＞0,f(n)＞0.(对于y=f(x) =ax+b恒小于零的条件亦可类似给出) 例1 若f(x)=(x-1)m2-6xm+x+1在区间[0,1]上恒为正值,求实数m的取值范围.     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…     

特值法在不等式恒成立问题中的应用

<正>由不等式恒成立求参数的取值范围问题是导数部分常见的题型,也是高考中的热点问题.对于问题：关于x的不等式f(x)≥0(x∈D,参数a∈P)恒成立,求a的取值范围.有时可以在集合D中取一个特殊的值x0,将其代入不等式得f(x₀)≥0,由此解得a的取值范围为集合A.显然当a∈?PA时, f(x₀)<0,不符题意,因此,如果能够证明当a∈A时不等式f(x)≥0恒成立,那么集合A就是所求的a取值范围,我们称这种解题方法为“特值法”.     

一类全称命题与特称命题中的求参数范围问题

对含有多个变量的不等式恒成立求参数取值范围问题大致可分为下面四种类型:(1)对任意x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(2)存在x1∈A,使对任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围;(3)存在x1∈A,存在x2∈B,使不等式F(x1,x2,m)≥0成立,求实数m的取值范围;(4)对任意x1∈A,任意x2∈B,不等式F(x1,x2,m)≥0恒成立,求实数m的取值范围.     

求恒不等式中参数取值范围的六种方法

恒不等式问题,往往是把代数、几何、三角有机地结合起来,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点,而学生对此类问题感到比较困难.为此,特举以下例子来探讨它的几种解法.一、变元转换法例1设g(x)=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若在t[-2,2]时,g(x)>0恒成立,求x的取值范围.解p(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,将问题转化成当t眼-2,2演时,p(t)>0,∴P(-2)>0熏P(2)>0 熏即-2(log2x-1)+穴log2x)2-2log2x+1>0熏2(log2x-1雪+(log2x)2-2log2x+1>0 .故08.二、分离参数,最值转换法例2若f(x)=1+2x+3x+…+穴n-1雪x+nx·m姨,其中mR,nN,且n≥2…     

运用化归思想处理含参数的不等式问题

函数与不等式关系密切,尤其是含参数的不等式问题,变量较多.处理这类问题,对思维能力的要求很高,稍不注意,便会引起思维混乱导致半途而废,得不出结果.遇到这类问题时,我们应如何处理呢? 例 1 如果 2x-1>m(x2-1)对任m∈[-2,2]都成立,求x的范围. 分析:解题时易想到,由原不等式解出x,再根据m的范围确定x的范围.可以想象,此法解题过程非常烦琐,很难解出结果.应如何考虑呢?注意到m的范围己确定,转换一下角度,把所给不等式看成m的不等式如何?原不等式变形为m(x2-1)-(2x-1)<0,左边显然是m的一次函数.记作f(m),由题意,f(m)<0对任m∈[-2,-]恒成立,由一次函数性质只需f(-2)<0 f(2)<0即可,这样便可解这个关于x的不等式     

如何解答恒成立问题

一、构造函数,利用函数的最值研究恒成立问题 例1若对一切｜p｜≤2,不等式（log2x）2＋plog2z＋1〉2log2x＋p恒成立,求实数x的取值范围．     

谈谈函数与方程的思想方法

函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时,构造适当的函数与方程,把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想·下面就结合2005年的高考试题,说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题·例1设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求实数x的取值范围·解析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式进行分类讨论·然而,若变换一个角度以m为主元,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在区间[-2,2]内恒负时参数x应该满足的条件·要使f(m)<0,只要使f(-2)<0,f(2)<0,即-2(x2-1)…     

警惕高中数学题中的那些“陷阱”

<正>易错点1端点值处最易出错的三种情形1.一元二次不等式恒成立类问题例如:设(fx)=x2-2ax+2ax+2(a∈R),若当x∈R时,不等试f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.分析:当x∈R时,f(x)≥a恒成立,即当x∈R时,x2-2ax+2-a≥0恒成立。∴△=4a2-4(2-a)≤0(易错为)△<0),所以-2≤a≤1。2.使用最值原理时的端点值问题例如:若k>13x3-4x当x∈(2,3)恒成立,求k的取值范围。分析:由导数分析可知,当x∈(2,3)时f(x)=13x3-4x单调递增,故k应大于f(x)的最大值,而由于     

不等式恒成立问题中的求参策略

含有参数不等式恒等式成立问题在高考试题中经常出现 ,是高考数学的一个重要知识点 .但是由于这类问题涉及知识点多 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,难度大 .是教学中的一个难点 .本文结合教学实例 ,对不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略作一些归纳和整理 ,希望有助于学生的复习 .一、分离参数法分离参数法就是把不等式中的参数 t和自变量 x分离出来 ,通过求函数 f ( x)的最值来求参数的取值范围 .例 1　已知 f ( x) =lg( x +1) ,g( x ) =2 lg( 2 x +t) ( t∈ R) ,如果 x∈ [0 ,1]时 ,f ( x)≤ g( x)恒成立 ,求t的取值范围 .解 :由 f ( x…     

恒成立不等式中参数取值范围的求法

含参数不等式恒成立时 ,参数的取值范围问题是中学数学的难点之一 ,也是高考数学复习的一个热点 ,由于这类问题的条件均以“恒成立”的方式给出 ,多数学生对此只能作出表面理解 ,又由于在教材中找不到解决这类问题的理论依据 ,因此在解答这类问题时觉得困难。本文介绍几种常见方法 ,对这类问题进行实质性的分析、解答 ,供参考。1、利用一次函数的性质(1)一次函数 ｙ =ｆ(ｘ) =ｋｘ +ｂ ,在ｘ∈ [ｍ ,ｎ]上ｆ(ｘ) >0恒成立的充要条件是 :ｋ >0ｆ(ｍ) >0 或 ｋ <0ｆ(ｎ) >0 或 ｆ(ｍ) >0ｆ(ｎ) >0(2 )一次函数 ｙ =ｆ(ｘ) =ｋｘ +ｂ在ｘ∈ [ｍ…     

有关不等式恒成立问题的探析

<正> 若关于x的不等式f(x,k)>0(<0)恒成立,求k的取值范围.对这类问题,常有以下解题途径.1.将f(x,k)>0变形为g(x)>k或g(x)相似文献   

一类易混问题的辨析

不等式y=f（x,m）≥0（m∈R）对于坌x∈D恒成立,确定实数m的取值范围这类问题,我们常常采用分离变元转化成求函数的最值问题,或者是变换主元,再结合其他知识,使得问题获得解决.而对于埚x∈D使得不等式y=f（x,m）≥0（m∈R）成立等问题,我们又如何来区分＂对于坌x∈D＂和＂埚x∈D＂呢？     

解“恒成立”问题的几种常用思路

“恒成立”问题是数学高考中的常见题型,这类问题综合性强,常涉及换元、化归、数形结合等数学思想方法,该类型问题也常在函数、方程、不等式等知识交汇处命题,而且题中常出现字母参数,对字母参数的处理即是此类问题的难点,也是关键点.下面举例介绍恒成立问题中几种常用的解题思路.例1.设f(x)=1g1+2x+4xga3(a∈R),如果x∈(-∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围.解一、(方程思想)由已知得:要使x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,即1+2x+4xga3>0对一切的x∈(-∞,1)恒成立.设2x=t,由x∈(-∞,1)知,00对一切的t∈(0,2)都成立当a=0时,有1>0,满…     

含参数不等式恒成立问题的求解策略

不等式是高中数学的重要内容之一,而含参不等式的恒成立问题,既是教学中的一个难点,又是近几年高考的一个热点,下面结合实例,介绍这类问题的几种求解策略.△利用判别式法直接求解把不等式转化为一元二次不等式,利用ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R的充要条件是驻<0,可以求解“在实数集R上恒成立”这一类问题.例1不等式24xx2+2+26kxx++3k<1对x∈R恒成立,求实数k的取值范围.解:因为4x2+6x+3=4(x+43)2+43>0,所以原不等式等价于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+(3-k)>0对x∈R恒成立.∴驻=(6-2k)2-8(3-k)<0,解得1相似文献   

解恒成立问题的几种主要方法

解函数综合题时,经常能遇到含参数不等式恒成立问题,处理这样的问题对解题能力的要求比较高,本文介绍几种处理恒成立问题的几种主要方法.一、特殊值法若函数f(x)>0(或f(x)<0)对x∈A恒成立,则对特定的x0∈A,有f(x0)>0(或f(x0)<0)【例1】已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的m,n∈R,恒有f(m n)=f(m) f(n),当x>0时f(x)<0恒成立,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性和单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的值域.解:(1)在f(m n)=f(m) f(n)中,令n=-m得f(0)=f(m) f(-m),在此式中令m=0得:f(0)=f(0) f(0)则f(0)=0∴f(m) f(-m)=0即f(-m)=-f(m),对一切m∈R恒成立.…