关于三角形中线的一个不等式

笔者在中国不等式研究小组网站(http://zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想).今解答如下:命题设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则当△ABC为任意三角形时,必有一条中线不大于R+r;当△ABC为非钝角三角形时,必有一条中线不小于R+r.为以下证明方便,记△ABC三边长为AB=c,BC=a,CA=b,其对应中线分别为mc,ma,mb,不妨设a≤b≤c,则有ma≥mb≥mc(易证从略),于是命题变为去证明:i)当△ABC为任意三角形时,有mc≤R+r;(1)ii)当△ABC为非钝角三角形时,有ma≥R+r.(2)令对以上(1)、…     

2006年全国高中数学联赛一试题解答集锦

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知△ABC,若对任意 t∈R,|-t|≥||,则△ABC( ).A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形C.必为直角三角形 D.答案不确定基本解法:令∠ABC=α,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.由|-t|≥||,得||~2-2t·+t~2||~2≥||~2.取t=,代入上式,得||~2-2||~2cos~2α+||~2cos~2α≥||~2,即||~2sin~2α≥||~2,亦即sinα≥.从而≥.又≤,所以=,即 D与C     

“新题”赏析(高二、高三)

1.背景新 题1 已知△ABC内有2005个点,其中任意三点不共线,把这2005个点加上△ABC的三个顶点,共2008个点作为顶点,组成互不相叠的小三角形,则一共可组成小三角形的个数为( ) (A)2004.(B)2009.(C)4011.(D)4013. 分析 设△ABC内有n个点时,小三角形有an个. 现增加一个点,则此点必落入某一个小三角形内,且此点把此小三角形分成三个与原来     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

三角形中的内接三角形

(本讲适合初中)若点 D,E,F 分别、在△ABC 的边 BC,CA,AB上,则称△DEF 为△ABC 的“内接三角形”,而△ABC 为△DEF 的“母三角形”.关于“母子三角形”的面积关系,有下述重要结论.定理如果△DEF 为△ABC 的“子三角形”,且     

相似三角形测试题

(时间:45分钟;满分:100分)一、坟空题(每空4分,共32分),榨L 1.若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形2.已知△ABC与△A’B’C的相似比为2:3,则△A’君C与△ABC的相似比为月乙。D :乙F应图户,侧Z即盛巧B,‘、工,、︶A净..essees山D )C 3.如图I,△ABC叻△DEF,则相似比     

剖分三角形法解一类数学竞赛题

什么叫剖分三角形法?笔者一下子也给不出个确切定义,其实也未必有这个必要,还是请读者通过下面的例子自己去领会吧. 例1.如图,P,Q,R将△ABC周长三等分,且P,Q∈AB.求证S_(△PQR)>2/9S_(△ABC).(88年全国高中数学竞赛题) 解如图,将△ABC各边三等分,把△ABC剖分为9个全等的小三角形,显然有     

三角形的中间角

三角形内角和等于180°.把△ABC三个内角按大小排列起来,若∠A≤∠B≤∠C,我们称∠B为△ABC的中间角.容易验证,中间角有如下性质: 1.任何三角形都有中间角,且中间角必为锐角; 2.三角形中间角不小于该     

三角形的中间角

把△ABC的三个内角A、B、C按大小顺序排列起来得A≤B≤C,则∠B就是△ABC的中间角.容易验证三角形的中间角有如下的性质:1.任何三角形都有一个中间角,且三角形的中间角必为锐角;2.三角形的中间角不小于该三角形的最小角,不大于该三角形的最大角;3.若一个非等腰三角形有一个角为60°,则这个60°的角必为该三角形的中间角.     

返本归真寻根溯源

题2006年全国高中数学联赛一试的第一小题是一个选择题,原题如下:已知△ABC,若对任意t∈R,BA-t BC≥AC,则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定1题解回放文[1]给出了此题的一个“基本解法”和一个“巧思妙解”.两种解法的起点都是向量模的计算