数学问题与解答(1992年 第6期 问题解答)

286.三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC上分别有点A′、B′、C′,求证: V_(P-A′B′C′)/V_(P-ABC)=PA′·PB′·PC′/PB·PB·PC。证:如图1,过侧棱PC作一平面垂直于平面PAB,并设交线为PD,与A′B′、AB(连它们的延长线)分别交于D′和D。在平面CPD内,过点C′、C分别作C′H′⊥PD′,CH⊥PD。易知C′H′∥CH,C′H′/CH=PC′/PC。     

可用勾股定理证明的几个平几定理

勾股定理是一个古老而又重要的几何定理 ,它在几何计算及证明中有着广泛的应用。本文将用勾股定理证明平面几何中的几个重要定理、公式 ,供参考。一、证明切割线定理已知 :点 P是⊙ O外一点 ,PT是切线 ,T是切点 ,PB是割线 ,点 A、B是它与⊙O的交点 (如图 1)。图 1求证 :PT2 =PA· PB。证明 :连结 OT、OP、OA,过点 O作 OC⊥ AB于 C。因 PT是⊙ O的切线 ,故OT⊥ PT。由勾股定理可得 :PT2 =PO2 - OT 2=PC2 OC2 - OA2 (因 OA=OT )=PC2 - AC2=( PC- AC) ( PC AC)=PA( PC CB)=PA· PB。图 2二、证明帕普斯 ( Pappu…     

圆幂定理在中考计算中的应用

圆幂定理是相交弦定理、割线定理和切割线定理的统称。由于定理的结论均为比例式 ,所以直接用于解比例问题是它们的共同特点。根据教学大纲中关于“圆幂定理应注重于其在计算中的应用……”的精神 ,为帮助学生掌握好这一重要内容 ,本文现以近年来部分省、市中考题为例分类说明如下 ,供学生学习和复习时参考。一、应用切割线定理解中考计算题例 1　如下图 ,PA切○· O于A,PBC交○· O于 B、C,PA=4 3,PC =12 ,则 PB=。 (2 0 0 1年吉林省中考题 )解 :∵ PA=4 3,PC=12 ,由切割线定理得 :PA2 =PB· PC,∴ (43) 2 =12 PB,∴ 4 8=12 PB…     

几何重观 第二章 圆的一些性质

2.1 一点对于一圆的幂我们先回忆一下欧几里德的两个定理:①圆的两条弦 AA′和 BB′相交于 P 点,则 PA×PA′=PB×PB′(图2.1A).②从圆外一点 P 向圆作切线 PT 和割线 PA(PA 和圆交于 A,A′两点)则有 PA×PA′==PT~2(图2.1 B).如果我们把切线看成割线的极限情况,则可以把这两个结果结合起来:定理2.11 如果过 P 点的两条直线分别和一圆交于 A,A′(可能重合)和 B,B′(可能重合),则 PA×PA′=PB×PB′.     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐篷B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA=PA′,故有PA PB=PA′ PB,由“两点之间线段最短”可知最短的线路为A→P→B.图1图2拓展1如果     

一道平几赛题的新证及推广

2009年全国高中数学联赛陕西赛区初赛的一道平面几何题是： 如图1,PA,PB为圆O的两条切线,切点分别为A,B,过点P的直线交圆O于C,D两点,交弦AB于点Q,点Q,求证：PQ2=PC·PD—QC·QD．（1）     

数学问题与解答—2009年第2期问题解答

756．如图1，线段PA、PB与圆O相切，A、B为切点，PCD是不经过点O的圆O的割线，C在P、D之间，经过点C的圆O的切线交PA、PB于M、N，G是线段CD上一点，且∠CGM=∠CGN，求证：GC=GD．     

张角公式在竞赛中的应用

一、张角公式 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α＋β〈180°,那么 A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA.     

例谈切割线定理的妙用

平面几何中有切割线定理:如图1,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2= PB·PC;割线满足PA·PB=PC·PD;割线交于圆内     

由弗尔玛点想到图形的旋转

法国数学家弗尔玛(Fermat,1601~1665)曾提出一个征解题:"在已知△ABC的所在平面上,求作一点P,使PA+PB+PC为最小",后人称这样的点为三角形的弗尔玛点,结论是:以△ABC的三边各自向外作正三角形ABC′,ACB′,BCA′,连AA′,BB′,CC′.(1)当最大内角>120°时,P点为AA′,BB′,CC′的交点,在形外.     

巧推三角形的面积公式

题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长…     

圆幂定理在几何计算中的应用

初三学生都知道：相交弦定理、割线定理和切割线定理统称为圆幂定理．由于该定理的结论均为比例式，所以直接用于解比例式的习题是它们的共同特点．为帮助初三同学掌握好这一重要内容，了解其在解中考计算题中的应用，本文现以1994年部分省、市启治区的中考题为例分类说明如下：一、应用切割级定理解计算题例1如图1，过国外一点P作圆的一条切线PA和一条割线PBC，A为切点，割线与圆的交点为B、C．若PB＝2cm，弦BC＝6cm，则PA＝（1994年青海省中考题）分析∵PB＝2cm，BC＝6cm，∴PC＝8cm．故由切割线定理得：PA2＝PB·PC＝2×8＝16…     

切割弦定理有妙用

平面几何中有切割弦定理 :如图 ,圆O的切线PA(A为切点 )与割线PBC满足关系PA2 =PB·PC .该定理在不等式求最值、求轨迹方程等方面有许多巧妙应用 ,如均值定理 a b2 ≥ab(a ,b>0 )的证明 :在上图中割线PBC过圆心O时 ,设PB =a,PC=b ,则PO =a b2 ,由切割弦定理PA =ab ,显然PO >PA ,再结合a=b有a b2 ≥ ab .再举几例 :例 1　在平面直角坐标系中 ,在y轴的正半轴 (原点除外 )上给定两点A ,B ,试在x轴的正半轴上求点C ,使∠ACB取得最大值 .　　解析　本题有多种解法 ,利用切割弦定理十分简便 ,如图 1,过点A ,B作一个圆与x轴的正半…     

巧用托勒密定理解一类平几题

圆内接四边形两组对边乘积的和等于其对角线的乘积,这就是著名的托勒密定理.巧用这一定理解某些难度较大、层次较高的圆内接多边形问题,可收到构思新颖、步骤简明的奇特效果,下面举例说明.例1已知P是正方形ABCD的外接圆DC上任一点,如图1,求证:(PB PD)/PA PC)=(PA)/(PB) 证明 连结AC、BD,并设正方形边长     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

张角公式帮你解竞赛题

本文现将张角公式及其在数学竞赛解题中的应用介绍如下: 一、张角公式如图,设直线ACB外一视点P,对于线段AC、CB的张角分别为α、β,且α β<180°,则sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:∵△PAB=△PAC △PCB,∴1/2PA·PB·sin(α β)-1/2PA·PC·sinα 1/2PC ·PBsinβ。∴两边同除以1/2PA·PB·PC,即得欲证式。二、应用举例例1 连结正△ABC的外接圆劣弧AB上一点P的线段CP交AB于D,求证:1/PA 1/PB=1/PD(1990年山西省初中数学     

一个几何定理及其应用

本文在这里向读者介绍一个与面积有关的几何命题.定理由点 P 发出的三射线 PA、PB、PC,设L、M、N 分别在射线 PA、PB、PC 上,使得 PL/PA=λ_1,PM/PB=λ_2,PN/PC=λ_3(图1).则 L、M、N 三点共线的充要条件为S_(△PBC) S_(△PAB)     

从圆幂定理谈教育数学和信息技术与数学课程的整合

正1、我国教材中的圆幂定理圆幂定理是初中几何圆部分很重要的定理,在我国教材上是以相交弦定理、割线定理和切割线定理三个定理的形式呈现的,它们合称为圆幂定理.从相交弦定理(图1)出发,将点P移到圆外就可以得到割线定理(图2),最后移动C点或D点,使他们重合便得到切割线定理(图3).三个定理的证明方法类似,都是寻找相似三角形.如图1中,可以连AC和BD得到△APC和△DPB相似,从而得到(AP)/PC=(DP)/(PB)和PA·PB     

与费尔马点相关的一个开放题的研究与探索

引理(费尔马问题) 已知△ABC,使PA+PB+PC为最小的平面上的点P称为△ABC的费尔马点. 解:显见点P不可能在△ABC外. (1)若△ABC的每个内角都小于120°,将△ABP绕B点逆时针旋转60°至△A_1BQ的位置,如图1,则△BPQ为正三角形.于是PA+PB+Pc=A_1Q+QP+CP. ∵A_1、C为定点,欲使PA+PB+PC最小,P点应在A_1C上.     

圆锥曲线切线中的一个定值问题

初中平面几何中有下面的命题：如图1，从定圆O外一定点P引圆O的两条切PA，PB，A，B为切点，过圆上的任一点（异于A，B）引圆的切线分别交PA，PB于C，D，则∠COD是定值．[第一段]