利用解析几何知识解代数问题例谈

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科.反过来,用解析几何的知识和方法(解析法)来研究、解决代数问题,也应是解析几何教学的一项重要任务,它对于培养学生的思维灵活性,建立用解析几何的观点分析、解决代数问题的意识,具有重要意义.近年来,全国高考、竞赛及各地模拟考试题中,有不少代数问题,均可巧妙地运用解析几何知识转化为几何问题,加以迅速解决.本文拟举数例予以说明.     

平面解析几何

在解析几何中,人们建立了几何与代数之间的对应关系．几何中的基本概念及定理可以代数地描述和证明;代数中的基本概念和过程可以几何地解释．当一个几何问题看起来比较困难时,可考虑相应的代数问题．如果在这个特殊情况下,代数工具更加有效的话,我们就先代数地解决这个问题,而后把结果翻译成几何语言．但常常是沿相反的方向进行的．     

解析几何之体味

在解析几何创立以前,几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破,而笛卡尔直角坐标系的建立使这种用代数方法研究几何问题的方法得以实现。在解析几何知识的学习和运用中,要始终体现课程对问题的分析、研究和解决的特色思想,这是学好这门课程的所应具有的决定性素质。     

平面几何知识在平面解析几何问题中的妙用

在平面解析几何初步的学习中,同学们将在平面直角坐标系中,建立圆和直线的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及相互间的位置关系.数形结合是一种重要的数学思想方法,在解决一些解析几何问题时,借助几何直观,即通过对代数关系的几何解释,可以促进对代数关系的理解,使解题过程一目了然、准确无误.     

一道解析几何题的几种解法

解析几何是用代数方法研究几何问题的数学分支,题目可能涉及到代数、几何、三角等各种数学知识,这就决定了一个解析几何问题可能有不同的解法.解析几何题的一题多解会有利于提高思维的灵活性,进而有利于提高解决数学综合问题的能力.例　如图,抛物线ｘ2=4ｙ,过定点Ｐ(0,2)作一条直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点.求弦ＭＮ的中点的轨迹方程.解法1:设过Ｐ点的任意一条弦ＭＮ的中点为Ｑ(ｘ,ｙ),且Ｍ(ｘ1,ｙ1),Ｎ(ｘ2,ｙ2),则弦ＭＮ的斜率必然存在∴　ｘ21=4ｙ1,ｘ22=4ｙ2,ｘ1+ｘ2=2ｘ,ｙ1+ｙ2=2ｙ.①②③④①-②,得(ｘ1+ｘ2)(ｘ1-ｘ2)=4(ｙ1-ｙ2),ｙ1-…     

用平面几何方法解答解析几何问题

众所周知,解析几何是一门用代数的方法研究几何问题的学科.但任何事物都是一分为二的,事实上,解析几何中的问题并不总是用代数的方法解决来得方便、有效,对于有些问题的求解,若能回归平面几何的本质,不仅有     

利用平面几何知识处理解析几何题

<正>解析几何是一门用代数的方法研究几何问题的学科.事实上,解析几何中的问题并不总是用代数的方法研究来得方便、有效,对于有些问题的求解,若能回归几何法的本质,不仅有利于渗透数形结合的思想,而且也能减少计算,给解题带来方便,使问题获得巧解、妙解,有时常常会带来事半功倍的效果.下面例说解析几何中出现的这些问题.一、利用平面几何知识求点的坐标例1 (2018年江苏高考题)在平面直角坐标系x Oy中,A为直线l:y=2x上在第一象     

解析几何减少运算的策略

<正>解析几何是在坐标系的基础上,用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科,因此代数运算就不可避免地出现在其中.如何运用解题的思维策略,选择恰当的思维起点与方法,以最大限度地减少运算量是一个重要的问题.本文针对这一问题提出几种策略.策略1合理利用圆锥曲线的定义例1(2007年福建高考题)如图1,已知     

解析几何中数形结合思想的应用

解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题的一门数学学科，它开创了数形结合的研究方法．数形结合法是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即将代数问题几何化，运用图形的几何性质来解决；或将几何问题代数化，运用代数特征进行运算解决，其方法是以形助数，以数助形，数形渗透，相互作用．其目的是将复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，以便迅速、简捷、合理地解决问题．[第一段]     

向量与解析几何的综合性问题初探

向量既具有代数的抽象与严谨特征又兼备几何的直观性.向量用坐标为"数"与"形"搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的纽带.向量在解决解析几何问题的过程中是重要的工具,现举例说明高考中向量与解析几何综合的问题.     

用向量法解高考解析几何题

用平面向量解高考试题中的解析几何问题,它能够把较复杂的几何推理转化为简单的代数运算,能够充分体现数学中的数形结合思想,达到了避繁就简,化难为易,事半功倍的效果,亦为解决平面解析几何问题开辟了一条新途径,下面举例说明“向量法”在高考解析试题中的用武之地.1 利用两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(其中b≠0)平行的充要条件a∥b x1y1-x2y1=0.     

中学解析几何的核心结构——“中学数学中的解析几何”之三

1 解析几何在中学数学课程中的地位和作用从前文所述可见,解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何,数形结合的思想和方法不但使代数、几何获得了前所未有的进展,而且还使微积分的发明水到渠成.因此,解析几何既是沟通代数与几何的桥梁,也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁.由于人类活动的需要,解决天体运动、抛射体运动、单摆运动等各种运动问题成为数学的重大课题.而运动可以从两个角度看:一是作为点的轨迹;二是作为位置与时间的关系.数学史上,在函数概念还没有充分认识之前,函数被当做曲线来研究.例如,正弦曲线是在旋轮线的研究中作为它的"伴侣曲线"而进入数学的.后来,人们使用运动的概念来引进曲线,例如,伽利略证明了斜抛体的运动轨迹是抛物线,因而     

减少解析几何题运算量的六种策略

解析几何是用代数方法研究几何问题,开创了形、数结合的研究方法.用解析法解决关于曲线的问题,思路比较简单,规律性较强,但是,这种方法运算过程往往比较繁复.因此,设计合理的运算途径、选择适当的数学方法,是简化运算过程而达到迅速、准确解题的关键问题. 一、回归定义 波利亚说:“当你不能解决一个问题时,不妨回到定义去!”定义是解决问题的原生力量,不可忽视定义在解题中的作用. 例 1 给定 A(-2,2),已知B是椭圆x2/25 y2/16=1上的动点,F是它的左焦点,当|AB| 5/3|BF|取最小值时,求B的坐标.     

解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是数学中的典型问题,是高考和高考模拟的热点,不少学生面对这类问题常常感到困惑.笔者经过深入探讨,发现解决此类问题常见方法有两种:代数法和几何法.一般首先注意代数方法的运用,利用函数、方程、不等式等知识来求解.但是还须考虑问题的实际意义,利用平面几何知识去解决问题.     

大道至简，以简驭繁——以解析几何压轴题解法的优化为例

<正>一、提出问题什么是解析几何？解析几何是指用代数方法研究曲线概念、性质、位置关系的一门几何学分支.大家知道解析几何的创立者是法国数学家笛卡尔,其实笛卡尔创立解析几何前一直在思考探索的是,如何找到一种普遍的方法进而解决科学中的所有问题,而这种普遍的方法即是数学方法,即笛卡尔实际上提出了科学数学化的任务.笛卡尔曾经设想过“万能方法”,即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题：第一、把任何问题都转化为数学问题;第二、把任何数学问题都转化为代数问题;第三、把任何代数问题都归结为解方程.     

解析几何学习中常见的四种错误

平面解析几何的特点,在于以代数方法研究几何图形的性质。由于受代数中数式运算的条件限制,学习解几时,稍不小心就会出现这样或那样的错误。笔者根据学生平时作业中出现的问题,对解几中常见的错误进行了归纳。现列举其中四种类型供参考: 一、求直线方程时,忽视斜率不存在的情形。例1.求经过点(-1,-2)且与圆x~2+y~2=1相切的直线方程。解设所求直线方程为 y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0     

例谈以解析几何为背景的函数问题

近年来,高考加强了对以逻辑思维能力为核心的能力考查,强调综合性与应用性,重视学科的内在联系及以学科的整体高度考虑问题,在代数、立体几何、平面解析几何知识网络交汇处设计试题.因此,以解析几何为背景的函数问题已经成为高考命题的热点之一.为此,在复习中,要提高我们对问题的阅读,理解能力,要能综合应用所学的解析几何知识及代数中函数等知识,运用数学思想方法解决这类问题.这类问题     

解析几何应用问题分类解析

解析几何是建立直角坐标系后用代数的方法研究几何问题 ,使数和形结合达到了完美的统一 .借助解析几何的工具可以解决某些应用问题 .本文就解析几何应用问题分类解析如下 .一、构建直线方程的模型求解例 1　市场调查知 ,当煤气灶的价格 P为 2 0 0元时 ,需求量 Q为 30 0 0台 ,煤气灶价格 P提高 2 0元时 ,需求量 Q就减少 50 0台 ;当煤气灶价格 P为 2 15元时 ,煤气灶厂的供应量 S为 34 2 5台 ,煤气灶价格 P每提高 4 0元 ,煤气灶厂就多生产并增加供应 2 80台 ,试问( 1)价格 P为多少时 ,销售收入 R最多 (销售收入=价格×销售量 ) ;( 2 )需求…     

从高考试题谈解析几何复习

解析几何大题在高考中得分率较低,为什么?从客观上看大题的位置一般在理21文22题,再加上考生答题时间上前松后紧而影响解析几何题的解答,另外,考试说明中解析几何对计算的要求也很高.教师对这部分知识该怎么教?教什么?学生应掌握什么? 新课程标准要求在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想贯穿于平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会"数形结合"的思想.     

关于解析几何教学方法的思考与研究

提出了在采用坐标法的基础上运用代数方法研究对象的一种思想,这也是解析几何的最突出的特点,但是将它运用到实践当中却需要丰富的经验和扎实的基本功,要求有很强的综合运用能力.直线和二次曲线是我们目前阶段研究的主要对象.一次方程和二次方程是我们应用代数方法解决此类问题的主要途径.因此,本文从解析几何的教学实践当中总结出这门课程的基本特点,并相应地提出了针对这些特点的一些方法思路.