探求二元函数最值的解题策略

近两年各地的高考试题在不等式证明或者不等武恒成立的问题中,经常涉及到求“二元函数”最值问题．但“二元函数”的最值在中学没系统讲述,考生对这类问题求解比较困难,笔者利用一个典型考题来探求“二元函数”最值的解题思路,以帮助学生掌握这类问题的求解方法．     

用“两个最短”求最值

求最值是中考试题中的热点．求最值有多种方法,而当涉及几何图形时,常用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”来求最值．     

巧用“1”代换，妙求最小值

巧用“常数”代换是解决某些代数式最值问题的常见方法，同时也体现了常数代替字母的灵活性、技巧性和创新性．其中利用“1”代换求分式型的最小值是求最值问题中的一个热点问题，现举例解析如下．     

多元对称式“非常规最值”的探讨

（本讲适合高中） 多变元对称和式S=f（x1,x2,…,xn）常在“变元取非负实数”“变元和（或积）为定值”等条件之下,证明（或求解）最值不等式．S≥A（或S≤A）．它们中绝大多数是当x1=x2=…=xn时达到最大（或最小）值．这类最值问题称为“常规最值”．反之,当变元不全相等时所达到的最值问题称为“非常规最值”．本文只对这类非常规最值的解法作一介绍．     

局部换元法求解一类多元“根式和”问题

在各级各类竞赛中,经常出现目标式为关于多个变量的“根和式”的不等式证明或求最值等一类问题.这类问题结构简明,形式优美,但内涵丰富,抽象程度高,综合性较强,探究这类问题的解法颇有必要.本文通过具体实例介绍运用“局部换元”方法求解数学竞赛试题.     

赛题简解

类似“已知函数f（x）的最值求参数值”这类题都可以转化为恒成立问题,但切记等号可取．     

浅谈“折叠”与“展开”的应用

<正>在立体几何教学中经常出现求最值问题,其中采用"折叠"与"展开"求最值是这类问题的难点之一.在此,想用下面几个例题来分析这类问题.一、在旋转体中如何展开求其表面上的最短距离例1圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD,求圆柱侧面上从A点到C点的最短距离.分析曲面上的最短距离AC与侧面展开图中的A,C两点间距离相等.解把圆柱沿母线CD剪开后展开在平     

如何求平面几何中的最值

求平面几何中的最值问题是一类常见的题型，它涉及的知识面广．综合性强，并且一般都有“最大”、“最小”等关键词．在几何中，常见的最大、最小量有：直径是圆中最大的弦：两点之间线段最短；垂线段最短等等．解这类题需要有灵活的技巧．下面介绍这类问题的常用解法．     

“二次函数求最值”在物理中的应用

灵活运用数学知识解决物理中的最值问题，不仅可以避开一些特定的物理条件，而且能培养学生应用数学知识解决物理问题的能力．为此，本文就初中数学中关于“二次函数求最值”在物理问题中的运用略抒己见．     

简析高中物理中的“临界问题”

在高中物理习题中，经常遇到求某物理是应满足的条件或确定某物理量的取值范围，或求某物理量的最大（或最小）值等“临界问题”。学生解这类问题甚感困难，本文对这类问题的解析方法举例作简要阐述。     

用均值定理求最值为什么要规定“二定”

我们在用均值定理求某些函数的最值时,一般都能按照均值定理的3个要求：“一正、二定、三相等”来求函数的最大值或最小值．然而,我们在领略到它的方便快捷之后,不禁产生困惑：“一正”、“三相等”都好理解,为什么要规定“二定”？为什么函数式中含变量的各项的和或积必须是定值,才能使用该定理？或者只有a＋b,ab有一个为定值才能用该公式？当然不是,该定理使用只有在求最值的时候,才需要注意“二定”问题．那么如何理解求最值时,要考虑“二定”的问题呢？     

例析中考试卷中的最值问题

在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称之为“最值问题”．现结合2009年全国各地中考数学试卷中的一些最值问题来谈谈求最值问题的方法．     

例析“先定位 再求解”法解一类极值题

“先定位，再求解”是解析几何中常用的，重要的解题方法．也是一种基本的思想方法．它与“先求最值，后确定最值时刻”的方法不同，是一种先确定最值时刻，再求最值的方法．这里列举几例．[第一段]     

巧凑“定和”，“定积”

利用均值不等式求最值是常用的重要方法之一,凑“定和”或“定积”往往有一定的技巧,因而成为使用这种方法的关键．本文归纳九种常见技巧,供参考．     

“知和求和”题型最值的求法

【点评】（1）解法一是运用“减元”的思想,将已知转化为一元函数,然后使用基本不等式;解法二是运用“1”的代换,从而避免了两次运用基本不等式,解法简单、迅捷、明了．（2）我们不妨称上述例题为“知和求和”型求最值,可以看出,这类题运用“1”的代换的方法解决来得最为简单．     

“条件极值”题型多种解法策略

已知f(x,y)=0,求g(x,y)的最值,这是高中数学新教材中常见的一类“条件最值”题.这类题在高考和数学竞赛中也频繁考及,其解法由于教材中没有系统论述,且思维灵活性较强,学生往往难于入手.本文先通过一道课本习题,多层面探究其解法,并总结出解这类题的若干数学思想,然后通过相关习题运用数学思想,体验“最值”解法,以达到灵活应用的目的.     

运用数学思想,“多”解“条件最值”

已知f(x,y)=0,求g(x,y)的最值,这是高中数学新教材中常见的一类“条件最值”题.这类题在高考中常出现,其解法由于教材中没有系统论述,且思维灵活性较强,同学们往往难以入手.本文试通过一道课本习题,多层面探究其解法,并总结出解这类题的若干数学思想,然后通过相关习题运用数学思想,体验“最值”解法,以达到灵活应用的目的. 一、一题多解,体现数学思想例1已知x2+y2=16,求x+y的最大值和最小值.(选自人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P89第6题)     

立体几何最值问题的类型及求解方法

立体几何中经常碰到一类求最值问题 ,对于这类问题的求解不少学生感到困难重重 ,其主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题来达到求解的目的。本文通过具体的例子来说明对这类问题的求解方法 .一、体积的最值问题对于这类问题求解的常用方法是 :根据题意列出几何体体积的“目标函数” ,再求此“目标函数”的最值 .1 用基本不等式求解若根据题意列出体积的目标函数 ,是关于某个变量的一元三次函数式 ,则求其体积的最值只能用基本不等式求解 .例 1　已知圆锥的高为Ｈ ,底面半径为Ｒ ,求内接于这个圆锥体 ,并且体积最大的…     

例谈求“线段和最小值”问题

在近几年的中考试题中,经常出现求“线段和最小值”的问题,由于这类题型综合性强、灵活性大,使得相当一部分考生感到非常棘手,也是考生较易丢分的题型．事实上,如果考生能抓住这类问题的特征及解题方法,就会发现这类问题其实并非像想象的那么难．本文将结合实例对这类问题进行探讨．     

初中数学解答“作平移求最值”问题的技巧

<正>初中几何中的求最值是中考试卷中的常见题型,也是解题难点．同学们在解答此类题时会产生两方面的困难:一方面,对相关数学模型的理解不到位;另一方面,试卷中的求最值问题往往是以动态形式呈现,同学们因为未能掌握数量关系,难以入手解答．基于此,本文以“作平移”方法为例,阐述如何作辅助线求出几何最值．