和不等式一起解答三角形

初中数学学习中,有一些与三角形的边或角有关问题的解答,还需要我们灵活运用不等式的知识.现举例介绍如下: 例1 一个三角形的两边的长分别为2和9,第三边的长是一个奇数,那么第三边的长是____. 分析:先确定第三边的取值范围,再根据题意,求出其长. 解:设第三边的长为x,那么 9-2＜x＜9+2. ∴7＜x＜ 11. ∵x为奇数, ∴x=9,第三边的长为9. 例2 若三角形的三边长都是整数且两两不等,最大边长为8,满足这样条件的三角形的个数为(). A.7个 B.8个 C.9个 D.10个. 分析:为方便起见,用字母分别表示其他两边的长,再构造与之有关的不等式.这样可确定这两边的长分别为多少. 解:设满足条件的三角形的其他两边分别为x、y,其中x＜y,则x＜y＜8. ∵x+y＜2y,x+y＞8, ∴8＜2y,y＞4. ∵y＜8, ∴4＜y＜8,y=5、6、7. 当y=5时,易得3＜x＜5.     

《反比例函数》单元测试题

一、填空题1.有一面积为60的梯形,其上底长是下底长的13.若设下底长为x,高为y,则y与x的函数关系是.2.若反比例函数y=kx的图象过点(1,6),则k=.3.y与(x-1)成反比例,且x=2时,y=2,则x=3时,y=.4.若正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x的图象没有交点,则k1和k2的关系是.5.如图,P点是反比例函数y=kx上一点,且图中阴影部分的矩形面积是2,则反比例函数的解析式为y=.第5题第6题6.在某一电路中,电源电压V保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如图所示.(1)I与R的函数关系式为.(2)当电路中的电流不得超过12A时,电路中电阻R的取值范围是.7.写出具…     

2003年5、6月号“数学创新月月练”参考答案

1.设此黄金矩形的长为二m,宽为ym.护=y(二+y),x十y=6.解得二=3斌歹一3,y=9一3、店几 即当把矩形的长设计为(3‘认5~.一3)m时,将成为黄金矩形,此时长方形面积s=xy=(3甲了一3)(9一3勺污ee)=36(、人歹一2),可获得的设计费为:36(勺佗「一2)x1000~8498(元).2.设压艺云的长为xcm,则4. 40x一40300一(二一40)一20 (x一40)+20即xZ一Zoox+9600=0,解得二,=120,x:=当二:二80时,两球等速,不合题意,舍去.故z石亚了的长为120 cm·(x802003年5、6月号“数学创新月月练”参考答案…     

03年各地中考数学试题精选(2)

1.用换元法解方程时,设x/x-1=y,则原方程化为关于y的方程是( ) (A)y2+5y+6=0. (B)y2-5y+6=0. (C)y2+5y-6=0. (D)y2-5y-6=0. 2.不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是( ) (A)有两个相等的实数根. (B)有两个不相等的实数根. (C)只有一个实数根. (D)没有实数根. 3.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( )     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1 x2 p=2x p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1 x2/2.……     

二元一次方程组

基础篇课时一　一次方程组有关概念及解法诊断练习一、填空题1.在方程:xy=4,x+y=2,x2-y=3,x+y=z,x+1y=1中,属于二元一次方程的是.2.方程3x+2y=-1的一个解中x=2,则这个解中y=.3.已知方程12x-13y=1,用含x的代数式表示y=.4.在求解二元一次方程组x=2y,2x-3y=4时,用的方法消去未知数x简便,消去未知数x后,就把问题转化为问题.二、选择题1.若关于x,y的二元一次方程2kx+y=1的解是x=2,y=-7.则k的值为(　　)(A)4.　(B)2.　(C)3.　(D)-2.2.下列方程组中是二元一次方程组的是(　　)(A)x+y=1,xy=3.　　(B)3x+y=2,2y+z=5.(C)x+3y=4,x+1y=3.(D)x=3,2x-3…     

对复合函数单调性的探讨

<正>考查复合函数f=f(g(x))的单调性.设单调函数y=f(x)为外层函数,y=g(x)为内层函数,(1)若y=f(x)增,y=g(x)增,则y=f(g(x))增.(2)若y=f(x)增,y=g(x)减,则y=f(g(x))减.(3)若y=f(x)减,y=g(x)减,则y=f(g(x))增.(4)若y=f(x)减,y=g(x)增,则y=f(g(x))减.结论:同增异减.     

一个最值问题的探究

《中学数学》2007年1月给出的征解题是:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值.笔者经探讨,获得以下一般性结论:定理设x、y、z为非负实数,且x y z=k(k>0),记P=x3y y3z z3x,则P≤22576k4①当且仅当x=0,y=3z=43k或y=0,z=3x=43k或z=0,x=3y=43k时,①式取等号.为方便①式的证明,先给出如下引理:引理设x、y、z为非负实数,则当x≥y≥z或y≥z≥x或z≥x≥y时,x3y y3z z3x≥xy3 yz3 zx3②当x≤y≤z或y≤z≤x或z≤x≤y时,②式反向成立.证明②式等价于:[y (x-y)]3y y3[y-(y-z)] [y-(y-z)]3[y (x-y)]≥[y (x-y)]y3 y[y-(y-z)]3 [y-(…     

数形结合思想的应用

一、解决函数问题例1.求函数y=x-1-2x√的值域.解:由函数解析式易知,此函数定义域为x≤12.令y1=x,y2=-1-2x√,由图1可知,当x=12时,ymax=12,故所求值域为(-∞,12).〔评注〕函数的图象是函数对应规律的几何表示,能直观地反映函数的性质,是解决函数问题的有力工具。其关键是把函数的性质与图象的性质结合起来,即数形结合。二、解决解析几何问题例2.已知x2+4y2=4(x-4)2+y2=r2 表示两曲线有公共点,求r的最值.解:将方程x2+4y2=4化为标准式x222+y2=1,它表示中心在0(0,0),长半轴为2在X轴上,短半轴为1在y轴上的椭圆.方程(x-4)2+y2=r2表示圆心在A(4,0…     

初一数学单元测试

一、填空题1.已知方程x+(1/2)y=0,用x的代数式表示y,则y=——. 2.当x=——时,方程3x+2y=6中,y=3. 3.在x=1,y=1;x=2,y=-1;x=4,y=-5.中,方程组2x+y=3,3x-4y=0 的解是——.     

椭圆的一个几何特征

圆锥曲线有很多优美的几何特征,随着对其研究的逐步深入,新的几何性质不断被发现.下面就是笔者新近发现的椭圆的一个独特性质.定理椭圆的长半轴为a,短半轴为b,中心为O,过椭圆上一点P作长轴的垂线交辅助圆于点A,B,延长半径OA交P点的法线于点C,半径OB交P点的法线于点D,则OC=a b,OD=a-b,CP=PD.图1证明如图1,分别以椭圆的长轴、短轴所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.设椭圆的方程为b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0),辅助圆的方程为x2 y2=a2.设P点坐标为P(x0,y0),则b2x20 a2y20=a2b2,过切点P的法线方程为a2y0x-b2x0y=(a2-b2)x0y0.因为AB垂直于x…     

2004年2月号“趣题有奖竞答”答案

《谁大谁小》解:设李华出生的月份为x,出生的日期为y. 根据题意,得31x 12y=732,当x=11时,31x=341,12y=391,y=327/12>30,故x≤11时,题设不成立.当x=12时,31x=372,12y=360,y=30,符合条件.故x=12,y=30.也就是李华出生的月份为12月,出生的日期为30日.因     

2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)

一、填空题(每小题4分,共32分)1.已知:｜x｜=3,｜y｜=2,且xy<0,则x+y的值等于.2.设a-b=2+3,b-c=2-3,则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为.3.已知实数x1,x2满足x21-6x1+2=0和x22-6x2+2=0,求x2x1+x1x2的值为.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数y=3n-xx的图象相交于点12,2,那么该直线与双曲线的另一个交点为.5.如图1,要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形,得到正六边形,则它的边长为.6.如图2,直角梯形ABCD的中位线EF的长为a,垂直于底的腰AB的长为b,则图中阴影部分的面积为.7.如图3,在ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,CM的延长线交AB于N,…     

构造长方体 巧证不等式

正例1已知x,y,z都是正数,且x2+y2+z2=1.求证1-x2(1/2)+1-y2(1/2)+1-z2(1/2)3-(x+y+z)证明由已知条件x2+y2+z2=1联想到长方体的对角线公式.如图1,构造长、宽、高分别为x,y,z的长方体,其对角线AC1的长为1.则AB1=y2+z2(1/2)=1-x2(1/2).而AB1+B1C1=1-x2(1/2)+xAC1=1 1同理AD1+C1D1=1-y2(1/2)+yAC1=1 2AC+CC1=1-z2(1/2)+zAC1=1 3     

《二元一次方程组》单元测试题

(时间:90分钟;满分:100分)一、选择题(每题3分,共24分)1.下列方程是二元一次方程的是()A.3x2 x=1B.2x 3y-1=0C.x y-z=0D.1x y 1=02.设甲数为x,乙数为y,则“甲数的3倍比乙数的一半少2”列方程是()A.3x 12y=2B.3x-12y=2C.21y-3x=2D.21y 2=3x3.在方程3x 4y=9中,用含x的代数式表示y     

过抛物线上两点的直线方程及其应用

命题　若一直线与抛物线 C:y2 =2 px(p>0 )相交于 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )两点 ,则直线 AB的方程为 :2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 .证明　∵点 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )在抛物线 C:y2 =2 px上 ,∴ y21 =2 px1 ,y22 =2 px2 .作差得 :y21 - y22 =2 p(x1 - x2 ) ,当 x1 ≠ x2 时 ,k A B=y1 - y2x1 - x2 =2 py1 y2 ,∴直线 AB的方程为 :y- y1 =2 py1 y2(x- x1 ) ,即 2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 . 1当 x1 =x2 时 ,直线 AB为 :x=x1 ,此时y2 =- y1 ,故 1仍成立 .综上 ,命题成立 .特别地 :若 A(x1 ,y1 )与 B(x2 ,y2 )重合 ,即可得到过点 A…     

函数最值问题中错解剖析

一、忽视条件中隐含条件致误例1已知3x2 2y2=6x,求x2 y2最大值.错解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,故当x=3时,x2 y2取最大值为29.剖析:由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2,也就是说x=3是取不到的.原因是忽视条件中x的隐含条件是0≤x≤2.正解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,又由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2.故当x=2时,x2 y2取最大值为4.二、运用判别式而致误例2求函数y=x $5-x2的最值.错解:移项平方整理,得2x2-2yx (y2-5)=0.由Δ≥0,即4y2=8(y2-5)≥0.得-$10≤y≤$10.所以ymin=-$10,ymax=$10.剖…     

函数y=f(x)的反函数为何要表示成y=f-1(x)形式

现行中学数学试验教材中反函数是这样定义的: 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y).如果对y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y).     

数学竞赛单元训练题（初中）——十进制整数的性质

一、选择题1 .x表示一个两位数 ,y表示一个三位数 ,若把x放到y的左边组成一个五位数 ,那么这个五位数可表示为 (　　 ) .A .x y　　　　　B .1 0x yC .1 0 0x y　　 D .1 0 0 0x y2 .若一个两位数x5与一个三位数 3 yz的乘积等于785 0 ,则数字x、y、z分别是 (　　 ) .A .x =2 ,y =1 ,z =2　　B .x =2 ,y =1 ,z =4C .x =3 ,y =1 ,z=2　　D .x =4,y =1 ,z=23 .一个两位数中间插入一个一位数 (包括 0 )就变成一个三位数 ,例如 72中间插入 6后成了 762 .有些两位数中间插入某个一位数后所成的三位数恰好是原来两位数的 9倍 ,这样的两位数…