一个不等式的加强及最佳结果

.若,:)2,则13,1 .1_l,3石1又二万万十二二一石十”’十石二又几-.‘任n十l“州卜“r.,(1)’二+、渝J这是许多书刊上选用的一个不等式,它是不等式:.若n)2,则(月+l)(,:十2)甲、.产、.声 门J.在︸口自.卜/.、i,1_1 ..1,.下又二二二~二十二了下十’‘’十石二-又1。‘一“一l”十“I.十…+(Zn一])·2,:的加强。 本文指出,不等式(l)还可加强为: 若n》2,则 4_11__1,J了 公(二二;二+二下+…+‘二花厂(一-二~。 7、”+1’陀+2”Zn、2’并且有最佳结果: 7_1_1-一1,一 鑫,落支竺-今一兰+…丰份斗了In2 12、n+1’”+2‘’2”、一一沙眼一洁)十(汤一…     

一次分式函数迭代循环的充要条件

设f:M~M.记f,(二)一f(二),fZ(二)~f(f(二)),…,人(二)一f(人、(l’)).若存在最小的整数,:>1,使得人(,)二r,则称f(x)为n阶循环函数. 方程。了+(d一a)二一b一O称为f(二)一a了十b‘一了+d(a,b,:,d任C,t’半O)的特征方程,a,尸为根,△~(d一a)2+4b。为判别式,记k-a—faa一,’月‘则有引理设f(x)~a工+b‘J十d(c半O,ad一be铸0).若△一O,则 (a十d)(x一a)人(二)一a+不决竺匕等一=千学.J·、-·一’2,。c(x一a)+a+d‘若△界O,则 (月k’一a)x一(k,一l)a月j.‘工夕一一.几下石一-万又一一下一万一-…不二下一一 戈尺一1夕了州卜尸一a况得证如存在g(x…     

周长为定值的整三角形个数的计数公式

边长为正整数的三角形称为整三角形.本文将推导出已知周长为正整数N的整三角形个数的计数公式f(N). 设三正整数a,b,‘满足 a(b镇c和a+b+c=N.① 由文〔1〕定理,这时a,b,:构成整三角形的充要条件是:a+b>c.② 由①,②立得最大边‘的取值范围为:,N+2、//尸N一1、L一一下一一J尧尧‘;资L一一下一一J。 J‘③又当‘取定其中任一值j时,中边b取值范二儿,N一j+1、/1/、,。、*,__胡围为G‘瑞昌‘〕簇b簇j.这样,对应于‘~j的~~、2‘~一~沙’一”’‘’刁’一刁-整三角形个数:·、一。时,〔午卜6,一l,fc午,~6m一l一哗竺二二弩卫2卫〕+1一。,一,.由…     

迎接“1994”——智力趣题一组

3.参照上题(2)可得 199219921992_1993二9931993 — —<——。 199319931993 门99419941994” 4·解:()用列表法求得: 1.巧妙的计算0‘1‘S“ (l)(+3+5+7+…+1993)一(2+4+6+…十]l‘l‘l‘l‘1994)SI]‘l‘‘‘l (2)1994X199319931993—1993X199419941994;L一一一一一J一二1一二上二二L二二 111 11 从表中看出未位数字是周期性变化,其周期是4。 (3)六\+六\十六二+…+,。”“一’””“”“—————一’“‘”‘“义“’一’“‘”‘——”” IX22X33X41993X1994”un。nn。。_。nn。 1_。。。。。_、1。。。—l。。、即J994十4一498…     

一个新的三角不等式

19蛇年,徐和郁〔’〕应用余弦降幂公式建立了:当几是奇数时,。‘,5.月+c谓_~,_~一3‘乃十C咙,C泛飞下犷, 乙(l)其中月,刀,e是三角形的三内角.在:=l时,(l)早,一一二。,,_‘刁。二一._._一3,。、见于书L“]的“·‘“:’相似文献   

题库(二十)

1.己知为》一l，‘>。，函数f(.、一)一:十b的图象与函数g〔.川一厂十b二卡:·的 图象相切. (l)求b与‘、的关系式(用〔，表示b). 陀)设函数F(‘门一/(曰g(J). ①当〔、一魂时，在函数F(、)的图象上是否存在点M(J、，，、)，使得F(川在 ~.，*，._，卜“一、bJ‘J_，，、_。。_，，‘__一_一，一、、，_，__. 点M的一切线斜率为令.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由. J’一尸“一~“”/俨3一曰’J一’一J一~J”“一~一’甲了‘目”J一’r门叮‘尹J~卜目 ③若函数F(J，)在(一二，+二〕)内有极值点.求‘的取值范围. 2.已知函…     

比例式中的设值法

初二《几何》教材中,推导等比性质“若含一备竺(b+d十f+·~一了一”‘~+n笋O),则“+c+e+…十mb十d+f+…十。一牛”时,所采用的方法“设粤~共一 口Oe蚤一一登一‘”是一种重要的解题方法·有些数学题·根据条件的结构特征,选用这种“设值法”,巧妙转化,往往能打通解题思路,迅速求解.下面举例说明. ~二__‘_.一__、,__ab‘.、、_ 例1已知a,b,‘,d都不为。,且羊一兰一斗.求证: “‘一/.。一一’一’一~一’/J一,一b cd’勺、~.令 倪 b一k,则k并O,a一bk,b=ck,c一dk, 二d 一一 占一ca一d一一“3+b3+e,夕+ca+d“一解题方法一十一护左式一(bk)(ck…     

一个恒等变形公式及其应用

由完全平方公式容易得到 矿+夕+护一ab一bc一‘a一喜「(。一。)2+(。一。)2+(二一二)2〕. 乙一一 公式(二)是轮换对称式,应用它解一类竞赛题,简捷明快.下面举例说明. 例1如果a、b、‘是△ABC的三条边的长,且满足a“十夕一劝一c(二+b一c),那么△ABC的形状是(). (哈尔滨市第十五届初中数学竞赛试题) 解将已知条件变形整理得 aZ+bZ+cZ一“b一be一c。=0. 由公式(,),得 (a一b)2+(b一e)2+(c一“)2一0. 由非负数性质,得 a一b一b一‘一‘一a~O。 :。a一b~c. 故△ABC是等边三角形. 例2已知口一b一2+甲厂云-,b一。一2一丫一5-,则矿十夕+护一ab一…     

一道初中数学联赛题的几种证法

l,,2年全国t]J‘{,数学联赛题: 如i冬}l,在乙娥一‘},,月矛‘二,丫一,z)点,刃是线段月刀士一点.且‘产认方二 求证:RI)一2口). 证法一:在刀召卜取一点F,使阶’=八召.连结办’,则有/扛、、。一匕、4刃一}一匕月B*,/,是底边理上一2艺厂盯)~匕沌 月刃一El.’二6F, 占乙。II,=万/研,, 泞八、,店一25叨, 兰业竺一兰卫:竺 泞八解I一s八从「雀’S八,。‘十.勺广、‘、I泞八,。‘斗一泞八、。S八‘、,,S广肋‘召八Kc廿、泞八解。_、广人加, 万乙‘。乙J一厂刀4刃一小一匕了、月六. 乙刀肋二‘击万J 了4刀}’二乙‘月八 △‘妨F里△‘方1刃. …     

第38届美国高中数学考试(AHSME)——(一九八七年三月三日进行,时间90分钟)

了.(l+:“)(1一x3)等于(A)1一工‘;(B)1一x”;(口)1+x“一劣3;(D)1一卜劣2一劣3一禽‘,(E)1十劣“一x“一x“. 2.如图所示,从边长为3的等边三角形AB口上切去边长为DB=EB=1的一角,则所剩四边形‘ID刀口的周长为协/(B)w一2歹一2之;(C)180。一u)一歹一之(D)2 zv一夕一艺;(E)180“一w一卜夕+之. 了.若a一l二b.*艺二c一3二岔+4,那么,一~一~、、~一‘, ~刁.‘、、J 方一二声多下/J,· \ \办~止;。在。,b,。,d四个值中最大的是 (A)a;(B)b;(C)e;(D)d;(E)不能确定.// //︸了.8.在下图所示的图形中,距离AD与距、no一﹃|11|州一﹁息 (l) (刀)…     

一类海伦数组美妙特征的证明

命题:以公式a.=nZ (” 1).b.=”(”2 艺” 2)e.=(” 1)(”2 ” 1)(1)构成的数沮(a。,b,,〔·,。)是海伦数组,且具有如下特征: (l)半周长S:=(” 1)3:(2)面积△,=”了” 1)2(nZ ” l);(3)e二边上的高h。=2”(” 1);(4)。.在e。上的射影,P二~2” !;b,在e,上的射影叭=价(” 2):(5)a。一h,~1,e,一b,=1.其中”~1,2,‘’‘ 证:而证e.>b.)a.,且a, b,一c,=2”(n l)>。,.’.(a。,久,c.)可作成三角形的三边长标入}冲“(1)(2)丫以(几,证略.△.=J‘(s,一。,)(,一6,)(“万万 ~f:(” l):(护 ,: 1)b.,c.)为边的三角形各边长和面积都是整数,二(a.,b.,c.)是…     

一题两巧证

例如图l,已知△ABC中,AC土BC,CD土AB于D,AB~‘,BC~a,AC一b,CD一h,求证:‘十h>a+b. 证法l(应用比例) ·:口b一‘h一25△ABc, ah、_..-.!--,-一一:.导一于,设此比值为k,则k<1. cb’~~卜。以ZJ‘、,乃切,一~二·:.a一kc,h~kb,:。a一h一k(c一b)<‘一b,即c斗一h>a一卜b.证法2(应用配方法)D图A …(c+h)“=hZ+Zhc+eZ=hZ+2口b十口2+bZ=hZ+(a十b)“,:.(c+h)2>(“十b)2.+h二>0,a+b),0,+h>a+b.(陕西省兴平市西郊中学张国瑞)一题两巧证@张国瑞$陕西省兴平市西郊中学~~…     

魏琴伯克不等式a~2+b~2+c~2≥4(3S)~(1/2)的再加强

若。、b、。为△,及,的三边,s是其面积,则。2十护十‘“多刁、/下剐等号当且仅当著名的魏琴泊克(认’ei比e,、‘沁ek)不等式·时成立).这就是文[1口对魏琴伯克不等式进行J’证明、推广与加强.加强结果如卜 ,\(a十b+‘·)2\.,.\/一:恤、a一卞O-一卜广拼弓—二多ao十伙,十自万二多二1侧j乃. n笔者通过三角形面积得到魏琴伯克不等式的再加强:,,.,\_伍+乃+()2\,.,.一_1,、二\,/下不一。一寸~心尸多二——多‘“口一厂明寸一川二‘井O又a伙’j3二多q、乃‘、 j事实_h,对于一个任意只角形,其三边分别为。,乃,‘、,面积为S,兰,可设其外接圆平径为…     

一道课本复习题的探究

题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所…     

每期一题

卜题:在四边形ABcD中,己知刀B二1, BC=1+训丁,AD=、/万,乙刃BC=120。, 匕刀AB=75”,求CD。 解一:连结月C.由余弦定理: AC二了月BZ十BCZ乙巨刀介动小c石几功厂二了6十3召二- 由正弦定理:艺D月厂二45“,刃E二2只Beos30“=训丁, 在△A刀E中,由余弦定理:刀E=亿丁。 故△大厂D是等腰汽角一二角形。 .’.艺C厂D二尸C/’i-.一j考价一’sin乙C左B“l了Csin12O“ 月C告、/丁 1 80。又丫C厂一30“一90。=60“。二刀E,…△CD刀是正三角一‘1+侧了)。二了丁。 召6十3侧丁=士亿丁。形,故CD 解四:二A刀.’.乙C月B二45。,匕刀才C二30。…     

错在哪里

高入‘=丫厄一,入‘=丫万~.求S△,‘. 解:如图,,sin。一豁一奈,.’.C=450互2 一一BD一BC 1、安徽休宁县临澳中学许恒德来偏(娜编;245411)皿在平面直角坐标系里,点A的坐标是(4,0),O是原点,在直线,一冬二十3上求一点Q使△QoA为六,.,,、’卜~~JZ一’-一,、‘,‘、场人~场一“/J等腰三角形. (解如下图(l),’:Q应在OA的垂直平分线.’.B=600slnC=.’.A“1800一(B+C)二75。。上,、:二一2,,一冬xZ+3一2,Q的坐标为(2,2)。 ‘,~_一一_~AC BC__根垢止,么正埋得妥涵一赢五,.’. AC刀CXsinB sinA 2又李丫了 乙.2一二-Z-二~=—=J丫乙一丫b…     

错在哪里

一、浙江永康二中胡岩火来稿 。”,一_、、,_。‘~戈2 .b: 题:尸“。,“。’为椭圆奋+小=‘一七的一点,过P作椭圆的切线交x、y轴于A、B两点,C点为P点关于原点对称的椭圆上一点,求当x。、u。取何值时,△A BC的面积最小。 解:设椭圆上C点坐标为(。050,bsino),它关于原点的。。=”一i。留二一、了了“·尸点坐标为(去召畜a,一于训丁幻。 解答错了,错在哪里? 错在漏解。原因在于:第一错误理解P点只在第四象限,第二忽视了用三角形顶点坐标表示的三角形面积公式要取绝对值,第三对参数0的取值范围不明。其实aeoso对称点P坐标为(一aeoso,一b si…     

复平面内正n边形的一个充要条件

定理在复平面内,点A,对应复数二.,k~1,…,n.则Al…A二为正n边形的充要条件是艺z,一c卜。,1咦少‘月、万、_户22乙J孔二止一七.二“,1‘尹<盛‘.丫、么乙二,一C签二三.‘-JJ二,甘(,)l‘j<盖相似文献   

不等式a~2+b~2≥2ab取等号条件的应用

众所周知不等式a艺十乙’卜2“b当且仅当a=b时取等号.1:面举例说明其应用. 例1.△ABC花条高为h、h。、h。,内切圆半径为:,若h才+hl,+h。=9:.则△ABC为lIi三角形. 证:设△AB口而积为S,则由已知条件得 25 25 259·25 不一+万一+。一=。十b十。,。。、‘:十。、·)(扣;·:)一,·、。+。·。)(;·;·:) /ba、二3十火。十b少、/c刀十.十/\叮当且仅当争异乡二抑一。二·时取等号. …△AB口为正三角形。 例2.解方程:二·‘nZ一‘n(誓一2·)二:.解:方程左边一4〔51一(飞一)勺·〔C。一‘n(梦一)〕..助............. 2簇4 ,万s‘n劣cosL万一劣)…     

数学问题与解答——1991年第3期问题解答

246.设△AIBIC,的三边长分别是sinA、sinB、sinC,其中A、B、c是△ABc的三内角, ·~~.…,~一.,.~~1求证:△AIBI矶的外接圆半径是音.,、~;~一1一f王“动/‘一~’~~2. 证:首先,用正弦定理易证长度为sinA、sinB、sinC的三条线段可以构成一个三角形. 设R:、R分别表示△Al及q、△ABC的外接圆半径.由正弦定理得 aSinA bSinB2R图1图2一sinC一~.,_‘,n。*月。。、‘一R。。。。。四此。~‘的乙直‘习,心,·进I,u瓦二‘几’“p几‘12 247.已知a、乙、e〔R+,且a+b+e=1,求证: 刃7。+1+刃7b+1+刁7e+1)4. 证:由题设可知a((O,1),…a>砂,a>砂.…