一堂《利用均值定理求最值》课的感悟

不久前，笔者听了一节《均值定理求最值》的复习课．授课老师先复习了均值定理及其成立的条件并做了一些简单的练习后，就以求y=sinx/2＋2/sinx（0〈x〈π）的最小值为例说明它不符合均值定理成立的条件，从而断定此题不能用均值定理求它的最小值．于是这位老师设t=sinx/2，利用函数y=t＋1/t单调性来求得结果是5/2，但立即就有学生问：怎么知道函数y=t＋1/t在（0，1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数？[第一段]     

抓住特点 灵活转化

数学解题是一个探索过程,有效地实现解题的关键在于对具体问题作具体分折,深入全面地观察题设及结论,抓住特点,找出联系,灵活转化.例1 求函数 y=sinx 2/(sinx),x∈(0,π)的最小值.分析注意到本题的特点是“sinx”及求最小值,可联系上0相似文献   

巧构函数模型妙解数学题目

一、巧构函数模型求最值先看下面的问题：当x∈（0,π/2]时，试求函数y=sinx/2＋2/sinx的最小值．如果利用均值不等式，可得sinx=±2，显然是错误的．那么，如何解决这类问题呢？     

当“取等”失效后…(高二、高三)

题求y=2/sinx sinx/2(0相似文献   

运用“添绝对值”解题

在解含有绝对值的不等式时,通常我们去掉绝对值再求解,但在有一些问题中,添加绝对值也会取得求解的途径。下面给出两个例题加以说明。例1 求函数y=sinx+Z/sinx的值域。分析:在定义域x≠kπ(k∈Z)内,用“均值不等式”或用“函数的有界性”求此函数y的值域,均难奏效;若用“换元法”令t=sinx,则y=f(x)=t+Z/t,t∈E[-1,0)∪(0,1],转化由函数y=f(t)的单调性求值域,计算过程冗长;但由y=(sin~2x+2)/sinx两边添上绝对值,则可用“均值不等式”简明解出。解:由y=(sin~2x+2)/sinx得     

警惕“陷阱”莫上当

注意:利用均值不等式时,注意一正、二定、三相等,均值不等式中也体现了“配”、“凑”的思想。三、换元法【例5】求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的值域。     

求三角函数最值的几种模式

在三角函数这一章节求最值是常见的题型 ,也是近几年高考常考的内容 ,但解决此类问题的方法灵活 ,学生往往不易掌握 .下面介绍几种易于操作的解题模式 .一、y =asinx b型此类题直接根据三角函数的有界性 ,即 | sinx|≤ 1就可求解 .例 1　求函数 y =2 sinx - 3的值域 .解 :∵ - 1≤ sinx≤ 1 ,∴ - 2≤ 2 sinx≤ 2 ,- 5≤ 2 sinx - 3≤ - 1 ,即值域为 [- 5 ,- 1 ].二、y =asin2 x bsinx c型解此类题的方法是把 y看成关于 sinx的一元二次函数 ,对 sinx进行配方 .例 2　求函数 y =2 cos2 x 5 sinx - 4的最值 .解 :y =2 cos2 x 5 sinx - …     

浅谈“sinx cosx的值”

在三角函数中由"sinx cosx的值"求sinx-cosx或sinxcosx的值时,很多学生往往因不清楚"sinx cosx的值"隐含着什么,从而导致了求sinx-cosx或sinxcosx的值出现差错。下面我们就谈一谈"sinx cosx的值"。     

三角不等式的证明

三角不等式的证明,由于课本中没有专门章节叙述,因此学生往往不知从何下手。本文将三角不等式的证明方法加以归纳分类,供参考。一、利用三角函数的性质|sinx|≤1、|cosx|≤1 证题例1.求证: 2+sinx+cosx≥2/(2-sinx-cosx)。证明:(2+sinx+cosx)-(2/(2-sinx-cosx)) =((2+sinx+cosx)(2-sin-cosx)-2)/(2-sinx-cosx) =(4-(sinx+conx)~2-2)/(2-sinx-cosx)     

浅议求三角函数极值的教学

求三角函数的极值,学生常因忽略正弦(或余弦)函数具有周期性和有界性的特点而导致错误。因此在求三角函数极值的教学中,我们要根据|sinx|<1,|cosx|≤1的特点,首先要求学生掌握最基本的解法——把三角函数式进行恒等变形,使它变成只含有一个sinx(或cosx)的函数式来解,然后,在学生熟练掌握基本解法的基础上,再学习判别式法、基本不等式法等方法。把三角函数式变形成只含有一个sinx或cosx的函数式,通常有如下几种类型。一、变形成f(x)=asinx b型或f(x)=acosx b型。只含有sinx和cosx的一次式的函数,可应     

分类解含〔X〕的两个方程

对于不能“一概而论”所解决的问题,分类强化条件,达到“各个击破”的目的。例1 求方程[sinx]·{sinx}=sinx的解。解:由|sinx|≤1,可分类讨论: 1°若sinsx=±1,则{sinx}=0,这时方程无解; 2°若sinx=0,此时方程的解为:x=kπ,K∈Z; 3°若0相似文献   

三角函数中的“三兄弟”

下面以三角函数中的 sinx cosx、sinx-cosx和 sinxcosx 三者的联系为例,谈谈对以上观点的认识。定理1,若sinxcosx=t(|t|≤12),则sinx cosx=± 1 2t,sinx-cosx=± 1-2t证明:因为sinx cosx=t,所以sin2x=2t,又|sin2x|≤1,故|t|≤12.设sinx cosx=y,两边平方得1 2sinx cosx=y2,y2=1 2t,y=± 1 2t,即sinx cosx=± 1 2t(正负号由x的范围确定).同理可证sinx-cosx=± 1-2t.定理2,若sinx cosx=t(|t|≤ 2).则sinx cosx=t2-12,　sinx-cosx=± 2-t2证明:因为sinx cosx=t,所以 t= 2sin(x π4),得|t|≤ 2.两边平方得1 2sinx cosx=t2,则sinx cosx=t2-1…     

错在哪里

题 设关于sinx的方程 sin~2x-(a~2 2a)sinx a~3 a~2=0有实数解,求实数a的取值范围。 解 原方程变形为 (sinx-a)[sinx-(a~2 a)]=0, ∴sinx=a或sinx=a~2 a。∵-1≤sinx≤1, 即。     

巧用(x~2)~1/2=|x|求一类函数的周期

函数y=|sinx| |cosx|的最小正周期T=π/2,使许多学生困惑不已.若用函数周期性的定义来证明,则显得复杂.下面采用恒等式(?)=|x|,通过适当的等价变形,求解此类函数的周期.例1 求函数 y=|sinx|的最小正周期     

2007年江西卷中的一对姊妹花

文科第8题：若0〈x〈π/2,则下列不等式成立的是 （A）sinx〈2/πx （B）sinx〉2/πx （C）sinx〈3/πx （D）sinx〉3/πx     

巧用数形结合法解数学题

一、巧解函数题例１求y＝１－sinx２sinx－１的值域．解析由y＝１－sinx２sinx－１得sinx≠１２，y≠－１２．又∵－１≤sinx≤１，∴－１≤sinx＜１２或１２＜sinx≤１．在双曲线上取点A（１，０），即sinx＝１时，y＝０．作出它的大致图象如下．显然函数的值域有两部分．当sinx＝１时，y＝０；当sinx＝－１时，y＝－２３．∴函数的值域为（－∞，－２３犦∪犤０，＋∞）．二、巧解复数题例２设｜z－i｜＝１，argz＝π４，求复数z．解析如图，｜z－i｜＝１表示以点O１（０，１）为圆心、１为半径的圆，argz＝π４表示射线y＝x（x≥０）．…     

电子计算机辅助教学初试

我讲正弦函数y=sinx的图象和性质这节课时,采用了电子计算机作为辅助手段,取得了较好的效果。在其他老师和同学的帮助下,事先完成了y=sinx的几何作图,y=sinx,y=sinx 1,y=2sinx,y=1/2sinx,x∈[-4π,4π]的图象的程序设计。课上根据教学需要,把有关图象通过彩色屏幕显示出来。这样,     

用均值不等式求最值易陷于的一些误区

均值不等式是解决最值的重要工具,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时常常顾此失彼,导致解题失误.下面以同学们易陷于的误区举例分析如下:一、忽视等号成立条件例1求y=sinxcosx+sinx1cosx(0相似文献   

七法求三角函数最值

1．分离常数 例1 求函数f（x）=3sinx-1/sinx＋2的最大值和最小值． 解法1 f（x）=3sinx-1/sinx＋2 =3-7/sinx＋2,     

一个巧思妙解的来龙去脉

文[1]对问题：求3/cosx＋2/sinx（0〈x〈π/2）的最小值给出了用基本不等式的解答,其关键是对3/cosx＋2/sinx构造了辅助因式3√2sinx＋3√3cosx,